“實際問題—拱橋”教學的數學思考

吳建忠

【摘 要】一些數學知識之間存在著實質性的聯系，這種聯系不僅體現在相同的內容領域，而且也體現在不同的內容領域。幫助學生理解類似的實質性聯系，是數學教學的重要任務。

【關鍵詞】平面直角坐標系;數形結合;認知結構;知識與方法

人教版課標教材九年級下冊“26.3實際問題與二次函數”25頁的探究3有這樣一個問題：圖中的拋物線形拱橋，當水面在l時，拱頂離水面2m。水面寬4m。水面下降1m，水面寬度增加多少？

本題學生根據自身的知識基礎、能力水平和解題習慣，自主地建立不同的平面直角坐標系。

根據學生直角坐標系建立的不同以及解釋方法的不同，將學生整體的思維活動直觀化，展現了學生真實的、獨特的思維方式，學生的數學思想方法水平和數學能力結構層次得以充分體現，展示了學生真實的數學能力結構。

現實生活中的實際問題在二次函數這一章中占有相當的比例，教材力求讓學生明白“函數來源于現實生活，而又服務于現實生活”這樣一個道理。在研究“二次函數”這一數學模型時，一直滲透著“數形結合”的思想和方法。探究3被安排在本章內容最后一節的最后一個探究，足見其價值，充分體現了初中函數教學“螺旋上升”的最高境界！

為進一步完善學生的認知結構，提高學生的數學素養，培養學生的問題意識、應用意識和創新意識，我們常進行如下類似鞏固練習：

例：如圖，公園要建造圓形的噴水池，在水池中央垂直于水面處安裝一個柱子OA，O恰在水面中心，OA=1.25m。水流在各個方向沿形狀相同的拋物線路線落下，為使水流形狀較為漂亮，要求設計成水流在離OA距離為1m處達到距水面最大高度2.25m。

（1）若不計其他因素，那么水池的半徑至少要多少米，才能使噴出的水流不致落到池外？

（2）若水流噴出的拋物線形狀與（1）相同，水池的半徑為3.5m，要使水流不落到池外，此時水流最大高度應達多少米？（精確到0.1m）

學生經過慎思后往往選擇建立如圖所示的平面直角坐標系，如下圖所示：

簡解：（1）由于拋物線的頂點為（1，2.25），因此設y=a（x-1）2+2.25，又圖象過點（0，1.25），所以a=-1，

所以y=-（x-1）2+2.25。令y=0，得x1=-0.5（舍去），x2=2.5。 所以水池的半徑至少要2.5m。

（2）因為拋物線形狀與（1）相同，所以設y=-（x-h）2+k，將點（0，1.25）、（3.5，0）代入，解方程組得h= ，k=3 ≈3.7。 所以此時水流最大高度達3.7m。

恰當地讓學生經歷這樣的過程，對于他們理解數學知識與方法，形成良好的數學思維習慣、增強應用意識、提高解決問題的能力有著重要的作用。選用這些素材，不僅有利于學生理解所學知識的內涵，還能更好地揭示相關數學知識之間的內在關聯，有利于學生從整體上理解數學，構建數學認知結構。

止步于此，筆者認為對于發展學生思維的廣闊性和靈活性還不夠，上述一系列數學問題的解決只是關注了平面直角坐標法在二次函數中的應用。但我們更應注意到一些數學知識之間存在著實質性的聯系，這種聯系不僅體現在相同的內容領域，而且也體現在不同的內容領域。幫助學生理解類似的實質性聯系，是數學教學的重要任務。

后續教學中，拓展類似的問題是很有必要的。例：（2013年福建·龍巖卷，第9題）如圖，邊長分別為4和8的兩個正方形ABCD和CEFG并排放在一起，連結BD并延長交EG于點T，交FG于點P，則GT=（ ?）

（A）. ?（B）.2 ?（C）.2 ?（D）.1

本題運用正方形的性質，等腰直角三角形的性質和判定可以求解;運用相似三角形的有關知識也可以求解。筆者認為運用平面直角坐標系法也是一個不錯的選擇。如圖，可根據點的坐標求出直線BP與直線GE的函數解析式，然后求出交點T的坐標，再用兩點間的距離公式求出GT的長。

又例：（2014年黑龍江·農墾卷，第28題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB于點D。點P從點D出發，沿線段DC向點C運動，點Q從點C出發，沿線段CA向點A運動，兩點同時出發，速度都為每秒1個單位長度，當點P運動到C時，兩點都停止.設運動時間為t秒。

（1）求線段CD的長;

（2）設△CPQ的面積為S，求S與t之間的函數關系式，并確定在運動過程中是否存在某一時刻t，使得S△CPQ：S△ABC=9：100？若存在，求出t的值;若不存在，說明理由。

（3）當t為何值時，△CPQ為等腰三角形？

分析：（1）利用勾股定理可求出AB長，再用等積法就可求出線段CD的長。

（2）過點P作PH⊥AC，垂足為H，通過三角形相似即可用t的代數式表示PH，從而可以求出S與t之間的函數關系式;利用S△CPQ：S△ABC=9：100建立t的方程，解方程即可解決問題。

（3）可分三種情況進行討論：由CQ=CP可建立關于t的方程，從而求出t;由PQ=PC或QC=QP不能直接得到關于t的方程，可借助于等腰三角形的三線合一及三角形相似，即可建立關于t的方程，從而求出t。

對于（2）、（3）兩個問題，筆者認為建立如圖所示的平面直角坐標系，可得Q（0，t）。過點P作PH⊥CB，垂足為H（作y軸的垂線也可），利用相似三角形的知識可以求出PH=0.6（4.8-t），CH=0.8（4.8-t），所以P（0.8（4.8-t），0.6（4.8-t））。問題（2）：利用S△CPQ：S△ABC=9：100建立t的方程迎刃而解。問題（3）：CQ=t，CP=4.8-t，運用兩點間的距離公式得QP2=〔0.8（4.8-t）〕2+〔0.6（4.8-t）-t〕2。然后分三種情況建立關于t的方程求解即可。這樣的解題思路很流暢，一氣呵成，可謂心曠神怡。

由此，我們可以看到：利用平面直角坐標系可以把數與圖形有機地結合起來，有利于用代數方法研究幾何問題，也有利于借助圖形直觀地探索數量關系的規律性。在義務教育階段的數學學習中，我們希望學生除了獲得必要的數學知識與技能外，還能感悟數學的基本思想，回歸數學的本質，發揮數學教學的最大價值。

【參考文獻】

[1]中華人民共和國教育部制定.義務教育數學課程標準（2011年版）.北京師范大學出版社，2012.1

[2]馬復，凌曉牧.新版課程標準解析與教學指導（初中數學）.北京師范大學出版社，2012.7

（作者單位：江蘇省海門市常樂初級中學）