品味不等式

榮彩云

【摘 要】數(shù)學(xué)中的不等式是一個比較常用的解題方法，同時運用不等式也是種簡便的解題方法，但運用不等式卻是一種技巧，想要熟練的掌握不等式的應(yīng)用就要多思考、多總結(jié)，本文列舉了數(shù)學(xué)中常用的不等式，并通過幾個例子對不等式的運用進行了說明。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)分析；不等式；證明

在數(shù)學(xué)中，不等式不僅僅是一個重要并且有效的工具，也是數(shù)學(xué)中重要的研究對象。在許多證明和分析的過程中充分的體現(xiàn)了不等式的靈活性和巧妙性，例如在解決三角函數(shù)相關(guān)問題、求函數(shù)最值、解方程等方面都有重要作用，它使得一些比較復(fù)雜的問題迎刃而解。也正因為不等式的這種多變性，使得不等式在證明過程中不只有一種形式，只有正確的掌握了不等式的運用方法才能使解題更簡單。算數(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)及均值定理是不等式這章的難點，如何靈活應(yīng)用則是難點，本文通過幾個例子來具體說明不等式在證明過程中的運用。

一、均值定理的三個條件

用均值定理解題時，必須具備“一正二定三等”三個條件。函數(shù)式中，各項必須都是正數(shù)。

例如：，不能錯誤地認為成立，這是因為沒有這一條件。

函數(shù)式中，含變量的各項的和或積必須是常數(shù)，若不是定值，必須進行變形使之變?yōu)槎ㄖ担@也就是靈活應(yīng)用均值定理這一難點（下文作詳細講解）利用均值定理求最值時，必須能取到等號。

二、靈活應(yīng)用均值定理

利用均值定理求最值主要考察三個條件中的“二定”，即通過變形達到和或積為定值。

例1：求的最小值。

【分析】因為x2與的積不是定值，故把x2變?yōu)閤2+1。

解：=

當且僅當即x=±1時等號成立。∴當x=±1時，xmin=1

【點評】在利用積定，求和的最值時，要注意怎樣“湊”出積的定值這一過程。

三、均值不等式征服生活難題

1.應(yīng)用均值不等式解決度量類問題

例1：一段長為36m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，問這個矩形的長、寬各位多少時，菜園的面積最大？最大的面積是多少？

解：設(shè)垂直于墻的一邊為xm，則平行于墻的一邊為（36-2x）m，其中0

S=x·（36-2x）

當且僅當2x=36-2x，即x=9時菜園面積最大，即菜園平行于墻的一邊為18m，垂直于墻的一邊為9m時，菜園面積最大值為162m2。

2.應(yīng)用均值不等式解決造價費用問題

例1：某工廠要建造一個長方體無蓋貯水池，其容積為4800m3，深為3m，如果池底每1m2的造價為150元，池壁每1m2的造價為120元，問怎樣設(shè)計水池能使總造價最低，最低造價是多少元？

解：設(shè)水池底面一邊的長度為xm，則另一邊的長度為，又設(shè)水池的總造價為l元，根據(jù)題意，得：

當，即=40時，l有最小值。因此，當水池的底面是邊長為40m的正方形時，水池的總造價最低，最低總造價是297600元。本題利用這個不等式，簡潔方便，清晰明了。

3.應(yīng)用均值不等式處理決策判斷類問題

例1：某養(yǎng)殖場需定期購買飼料，已知該廠每天需要飼料200公斤，每公斤飼料的價格1.8元，飼料的保管與其他費用為平均每公斤每天0.03元，購買飼料每次支付運費300元，假設(shè)養(yǎng)殖場每次均在用完飼料的當天購買。

（1）求該養(yǎng)殖場每多少天購買一次飼料才能使平均每天支付的總費用最小；

（2）若提供飼料的公司規(guī)定，當一次購買飼料不少于5噸時其價格可享受八五折優(yōu)惠（即原價的85%）.問該養(yǎng)殖場是否考慮利用此優(yōu)惠條件，請說明理由。

解：（1）設(shè)該養(yǎng)殖場每x（x∈N*）天購買一次飼料，平均每天支付的總費用為y1元.因為飼料的保管與其他費用每天比前一天少200×0.03=6（元），所以x天飼料的保管與其他費用共是：6x+6（x-1）+…+6=3x2+3x（元），從而有，當且僅當，即x=10時，y1有最小值。每10天購買一次飼料才能使平均每天支付的總費用最小。

（2）若該養(yǎng)殖場利用此優(yōu)惠條件，則至少每25天購買一次飼料，設(shè)該養(yǎng)殖場利用此優(yōu)惠條件，每x天（x≥25）購買一次飼料，平均每天支付的總費用為y2元，則：

，

因此。所以當x≥25時，y'>0，即函數(shù)y2在（25，+∞]上是增函數(shù).所以當x=25時，y2取得最小值為396，而396<423。因此該養(yǎng)殖場應(yīng)該接受此優(yōu)惠條件。

通過以上的例題，我們不難發(fā)現(xiàn)均值不等式在生活中的應(yīng)用只要是和定積大與積定和小兩方面的應(yīng)用，在這其中，又摻雜了二元均值不等式與三元均值不等式在生活中的應(yīng)用.我們已經(jīng)應(yīng)用均值不等式解決一系列問題，但是均值不等式形式眾多，變化多樣，只要我們善于思考，必將發(fā)現(xiàn)均值不等式在生活中有更多更廣的應(yīng)用價值。

參考文獻：

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