品味不等式

榮彩云

【摘 要】數學中的不等式是一個比較常用的解題方法，同時運用不等式也是種簡便的解題方法，但運用不等式卻是一種技巧，想要熟練的掌握不等式的應用就要多思考、多總結，本文列舉了數學中常用的不等式，并通過幾個例子對不等式的運用進行了說明。

【關鍵詞】數學分析；不等式；證明

在數學中，不等式不僅僅是一個重要并且有效的工具，也是數學中重要的研究對象。在許多證明和分析的過程中充分的體現了不等式的靈活性和巧妙性，例如在解決三角函數相關問題、求函數最值、解方程等方面都有重要作用，它使得一些比較復雜的問題迎刃而解。也正因為不等式的這種多變性，使得不等式在證明過程中不只有一種形式，只有正確的掌握了不等式的運用方法才能使解題更簡單。算數平均數與幾何平均數及均值定理是不等式這章的難點，如何靈活應用則是難點，本文通過幾個例子來具體說明不等式在證明過程中的運用。

一、均值定理的三個條件

用均值定理解題時，必須具備“一正二定三等”三個條件。函數式中，各項必須都是正數。

例如：，不能錯誤地認為成立，這是因為沒有這一條件。

函數式中，含變量的各項的和或積必須是常數，若不是定值，必須進行變形使之變為定值，這也就是靈活應用均值定理這一難點（下文作詳細講解）利用均值定理求最值時，必須能取到等號。

二、靈活應用均值定理

利用均值定理求最值主要考察三個條件中的“二定”，即通過變形達到和或積為定值。

例1：求的最小值。

【分析】因為x2與的積不是定值，故把x2變為x2+1。

解：=

當且僅當即x=±1時等號成立。∴當x=±1時，xmin=1

【點評】在利用積定，求和的最值時，要注意怎樣“湊”出積的定值這一過程。

三、均值不等式征服生活難題

1.應用均值不等式解決度量類問題

例1：一段長為36m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，問這個矩形的長、寬各位多少時，菜園的面積最大？最大的面積是多少？

解：設垂直于墻的一邊為xm，則平行于墻的一邊為（36-2x）m，其中0

S=x·（36-2x）

當且僅當2x=36-2x，即x=9時菜園面積最大，即菜園平行于墻的一邊為18m，垂直于墻的一邊為9m時，菜園面積最大值為162m2。

2.應用均值不等式解決造價費用問題

例1：某工廠要建造一個長方體無蓋貯水池，其容積為4800m3，深為3m，如果池底每1m2的造價為150元，池壁每1m2的造價為120元，問怎樣設計水池能使總造價最低，最低造價是多少元？

解：設水池底面一邊的長度為xm，則另一邊的長度為，又設水池的總造價為l元，根據題意，得：

當，即=40時，l有最小值。因此，當水池的底面是邊長為40m的正方形時，水池的總造價最低，最低總造價是297600元。本題利用這個不等式，簡潔方便，清晰明了。

3.應用均值不等式處理決策判斷類問題

例1：某養殖場需定期購買飼料，已知該廠每天需要飼料200公斤，每公斤飼料的價格1.8元，飼料的保管與其他費用為平均每公斤每天0.03元，購買飼料每次支付運費300元，假設養殖場每次均在用完飼料的當天購買。

（1）求該養殖場每多少天購買一次飼料才能使平均每天支付的總費用最小；

（2）若提供飼料的公司規定，當一次購買飼料不少于5噸時其價格可享受八五折優惠（即原價的85%）.問該養殖場是否考慮利用此優惠條件，請說明理由。

解：（1）設該養殖場每x（x∈N*）天購買一次飼料，平均每天支付的總費用為y1元.因為飼料的保管與其他費用每天比前一天少200×0.03=6（元），所以x天飼料的保管與其他費用共是：6x+6（x-1）+…+6=3x2+3x（元），從而有，當且僅當，即x=10時，y1有最小值。每10天購買一次飼料才能使平均每天支付的總費用最小。

（2）若該養殖場利用此優惠條件，則至少每25天購買一次飼料，設該養殖場利用此優惠條件，每x天（x≥25）購買一次飼料，平均每天支付的總費用為y2元，則：

，

因此。所以當x≥25時，y'>0，即函數y2在（25，+∞]上是增函數.所以當x=25時，y2取得最小值為396，而396<423。因此該養殖場應該接受此優惠條件。

通過以上的例題，我們不難發現均值不等式在生活中的應用只要是和定積大與積定和小兩方面的應用，在這其中，又摻雜了二元均值不等式與三元均值不等式在生活中的應用.我們已經應用均值不等式解決一系列問題，但是均值不等式形式眾多，變化多樣，只要我們善于思考，必將發現均值不等式在生活中有更多更廣的應用價值。

參考文獻：

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[3]田祥高.教材動態全解（高二數學）.第二版.長春：東北師范大學出版社，2006年