一類具有HollingIII型捕食功能反映的捕食系統的穩定性研究

【摘 要】本文研究了一類具有Logistic型增長率和Hollingш型功能反應函數的捕食系統，得到了系統在正平衡點處的局部穩定性和全局穩定性的條件，并通過極限環研究了全平面上解的結構。

【關鍵詞】Logistic型增長率；Hollingш；捕食系統；穩定性

簡介：在生物學中很多研究了很多單種群模型。然而，在自然界中種群并不是獨立存在的，而是與其他種群共存的。它們與其他的種群相互競爭、相互合作，形成了復雜的生態系統。在這篇論文中，我們討論了一個包含有兩個種群的生態系統模型。

在對生態學的研究中，捕食系統的研究已經有了很多的成果。本文研究了如下捕食模型：

，

其中x，y分別表示食餌系統和捕食系統種群的種群密度，k，A，B，Ci，Di（i=1，2）都是正常數：

（1）簡化系統參數：

令x1=ax，y1=by，t1=lt

令

∴

再令

則有

（2）求奇點：

經過求解，系統有3個奇點。

它們分別是E0（0，0），E1，E*其中第三個奇點需滿足：a3>1且。

（3）奇點的穩定性：

Px

Px

系統在奇點處的一次線性近似方程的系數矩陣為

（i） E0=（0 0）

其特征根為：λ1=a1>0，λ2=-1>0， 則E0為鞍點；

（ii）

λ1=-a1<0

討論正負：若為正，則為鞍點；若為負，則為穩定點。

①當時，即時，E1為穩定點，即E1漸進穩定；

②當時，E1不穩定。

（iii）對E*

可得其特征方程為：

，

且要滿足Tr（E*）<0。

即將（x*，y*）代入，整理得到有

若，則有

① ，則E*不穩定；

②，則E*穩定。

（4）為了研究極限環的存在性，我們要構造外境界線。

當y>0時，由于，所以當軌線與相遇時，均從直線的右方穿入左方；

考察直線l：y+x-k=0，

當k足夠大時。

故軌線與直線l=0相遇時均從其右上方穿入左下方。

直線x=0，y=0均是軌線。這樣直線，y+x-k=0，x軸和y軸圍成了區域G的境界線，G內除E*點外無其他奇點。?G上的奇點O（0，0）與E1（x1，0）都是鞍點，G內的軌線正向不能進入。系統在G內至少存在一個包含E*點的穩定極限環。

參考文獻：

[1]Bao Shi and Chao-yan Huang. The differential equation of the foundation and its application. Beijing： Science Press，2007

[2]W F Lucas. Differential Equation Models. New York：Springer-Verlaag，1983

[3]En-zhi Ma. Mathematical modeling and Study on the population ecology. Hefei： Anhui Education Publishing House，1996

作者簡介：

劉松亭（1991.09～），女，安徽省阜南縣人，現供職單位：南京財經大學應用數學學院，本科學位，研究方向：應用數學。