“先學后教”讓概念教學綻放異彩
——以葉中位數堯眾數曳的教學為例

因福建省順昌實驗小學 黃美芳

“先學后教”讓概念教學綻放異彩
——以葉中位數堯眾數曳的教學為例

因福建省順昌實驗小學 黃美芳

采用“先學后教”的模式組織概念教學，使概念教學富于活力、張力。它有助于提高問題的有效性；有助于準確把握概念的本質；有助于建構與這一概念相關的“概念圖”。

先學后教；概念教學；概念圖

余文森教授提出的三條教學“鐵律”：鐵律之一，當學生已經能夠自己閱讀教材和自己思考的時候，就要讓他們自己去閱讀和思考；鐵律二，當學生不能獨立閱讀和思考問題的時候，教師要把教學著眼點放在教學生學會閱讀和學會思考上面；鐵律三，一切教學都必須從學生的實際出發。在這一理念指導下，筆者進行“先學后教”的教學實踐。這里以概念教學為例，談談自己的體會。

概念是數學的基本細胞，概念之間形成“網絡”就構成了數學的基本內容，小學數學中涉及許多基本的數學概念，它們是數學大廈的基石。而以往靠記憶、背誦概念、模仿的教學方式，“使數學這位光彩照人的科學女王變成X光下的骷髏”（張奠宙教授語），其結果是學習過程生澀無趣，學習內容如“無水之源”，學習效果可想而知。“先學后教”的教學模式把“骨感”的概念教學變得鮮活而富于張力,調動學習主動性，同時落實課程標準提出的“增強發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力”“提高學習數學的興趣”等培養目標。

一、“先學后教”有助于提高問題的有效性

美國教育家胡佛指出：“整個教學的最終目標是培養學生正確提出問題和回答問題的能力，任何時候都應鼓勵學生提問。”可教學實踐告訴我們：標新立異或缺乏思考的問題會使課堂陷入低效的沼澤。怎樣才能正確提出問題？實踐證明：對問題有一定感知的前提下，才能“正確提出問題”，從而提高課堂問題的有效性。

以《中位數、眾數》為例進行說明：通過教學前測，筆者發現預習后學生能模仿例題正確找眾數，僅有個別學生能正確的找中位數。訪談中發現，學生對眾數這一概念的理解達到事實性水平，而對中位數概念把握不夠準確。教學中安排兩個環節：環節一，反饋預習，找準起點。學生提出“什么是中位數？什么是眾數？”這兩個問題并圍繞這兩個問題展開交流；環節二，復習鋪墊，引發思考。回答“XXX同學前5單元數學平均成績是97分，你從這個97可以分析出哪些信息？平均數怎樣計算的？”這兩個問題，先復習平均數的相關知識，再啟發學生思考：平均數能代表一組數據的一般水平，學習中位數、眾數有什么用處？中位數、眾數本質是什么？中位數、眾數和平均數之間的聯系、區別是什么？

有了預習基礎，學生有“話”可說，較快地進入學習的狀態，課堂生成也為教師將“如何教”提供一個真實有效依據。復習鋪墊環節激活學生思維，通過復習舊知引導學生展開聯想，教學生從追問“是什么”“有什么用”“有什么聯系”等方面提出問題，不僅培養學生提出問題的能力，也為后續構建網絡教學提供準備。

二、“先學后教“有助于把握概念的本質

荷蘭數學教育家弗蘭登塔爾有過這樣精辟的論述：“在實際的科學研究工作中，多數定義不是事先想好的，而是組織、推理的結果。學生應該有這個權利，讓他們自己來發現，這樣既直觀、自然，又有相對性，可以充分體會定義的必要和作用，并且掌握等價的定義。”“先學后教”的教學模式能讓學生“自己來發現”并理解定義的“相對性”“體會定義的必要與作用”，從而準確把握概念的本質。《中位數、眾數》的教學筆者分為兩個階段。

第一階段：“發現”平均數的局限性

情境一：“張村有個張千萬，隔壁九個窮光蛋，平均起來算一算，人人都是張百萬。”問題串：從統計的角度你能讀出哪些信息？平均數“張百萬”能代表這些人財產的一般水平嗎？請說明理由？用幽默夸張的打油詩調動學生學習的興趣，讓學生從統計角度收集信息，分析信息的合理性，在這個過程學生產生強烈的認知沖突。通過“窮光蛋”“張百萬”的對比認識到“平均數”的局限性，為中位數、眾數概念產生的必要性提供鮮明、生動的現實原型。

第二階段：“體會”眾數、中位數的必要性及作用

（1）體會眾數的必要性及作用追問：這組信息中誰更能表示他們的財產水平？為什么？通過思考，學生得出9個人都是“窮光蛋”，“窮光蛋”更能代表大多數人的財產水平，所以用“窮光蛋“更合理。平均數”張百萬“顯然不能“用”了，而像“窮光蛋“這樣的量又叫什么？眾數的本質是學生經歷著“火熱”的思考的結果。在這個過程中枯燥的眾數的定義變得直觀、生動起來：它指統計數據中出現頻次最多的數據，它也用來代表數據的一般水平。

（2）體會中位數的必要性及作用

“窮光蛋”的財產水平究竟是多少呢？讓學生認識到數字的精確性，結合生活調查，把文字信息轉化為數據信息。情境二：1000萬、15萬、32萬、26萬、13萬、16萬、35萬、48萬、20萬、23萬。問題串：估一估他們平均每戶財產是多少萬元？能用平均數表示這10戶人財產的一般水平嗎，請說明理由？多少萬元能代表他們財產的一般水平？從數據角度再次突出平均數的“局限性”，使學生在“發現、好奇”中產生探索的動力。“多少萬元能代表他們財產一般水平？”平均數不合適，沒有眾數，只有中位數，看來中位數也是用來代表一組數據的一般水平的，中位數的必要性與作用不是由教師告知，而是解決問題的需要，學生內部的需要使學習更加深刻。

反饋中位數計算結果：個別認為是24.5萬，大部分支持14.5萬。在分歧中暴露學生的困惑：是否要排序？排序的作用？在教學前測中發現大部分同學找中位數時忽略排序這一環節，產生問題的根本原因是沒有理解中位數的本質。根據余文森教授的鐵律二，指導學生再讀文本后展開討論，他們發現如果不排序，誰都可以是中位數，這樣中位數就沒有意義了。學生眼里的中位數像一條分界線，把數據平均分成比它大和比它小的兩類，有的時候比平均數更“真實”（相對性）。這樣對中位數概念本質的把握更準確、深刻。

三、“先學后教“有助于建構概念圖

教育家蘇霍姆林斯基認為：“兒童在學習中遇到困難的原因之一就是知識往往變成了不能移動的重物，知識被積累起來似乎是‘為了儲備’,它們不能進入周轉……。”“先學后教”遵循“一切從學生實際出發”的理念，有限的40分鐘關注知識的困惑處，還關注運用（知識周轉）的困難處，通過梳理建構概念圖，幫助學生搭起“學會”到“活用”的橋梁。在《中位數、眾數》教學中，筆者安排這道練習實現概念圖的建構：美國某市競選市長，每個候選人已經算出了這座城市有代表性的居民收入并希望以此來助選。A是原市長這次再次參選，他說：“這座城市去年經濟發展很好，每人的周平均收入是2000美元。我能讓他保持這種發展。”挑戰候選人B說：“這座城市去年經濟發展不錯，每周人均收入只有100美元，我能讓它發展得更好！”。挑戰候選人C說：“我要重建這座城市，它太可怕了，人們的平均周收入是0美元！我有能力重建這座城市。”

他們都沒有撒謊，這座城市只有16位居民，他們的周收入是0美元、0美元、0美元、0美元、0美元、0美元、0美元、0美元、200美元、200美元、200美元、200美元、200美元、200美元、200美元、30600美元。

（1）解釋三位競選人是怎樣得到他們各自的平均收入的。通過計算你同意他們中的哪位？

（2）這座城市是否有人的收入是平均數？為什么？

（3）是否有的人收入是眾數？為什么？

（4）你是怎樣看待居民代表性的收入的？為什么？

（5）如果有4個人從其他地方搬到這座城市，他們每人的周收入是200美元，那么平均數、中位數、和眾數會有怎樣的變化呢？

“解釋一下他們是怎樣得到各自平均收入的？”平均數、中位數、眾數出現在同一個情境中，讓學生追本溯源的過程中，鞏固各個概念的形成，還讓學生在認識它們的共性：統計中用來反映一組數據趨勢的量（“一個代表性的數”）。“你同意他們中的哪位？”讓學生運用學過的知識從理性的角度進行分析，作出判斷，這一過程是活用知識的過程，學生體驗到數學知識的靈活性，同一信息可以從不同角度去思考，可做到有“理”有據。辨別真理與歪理需要理性的思考，從而培養數學的理性精神及批判能力。學生解決第（5）個問題后引導學生與第（1）題對比，發現引起三個統計量變化的因素是什么。這個情境的問題串的設計讓學生在解決實際問題中理解各個概念，準確把握各概念的本質同時實現概念圖的建構。

“好風會借力，送生上青云。”實踐證明，學生預習后的“會”只是對知識有個初步感知，妥善引導利用，這個“會”能激起學習熱情；這個“會”將是終身學習的基礎；這個“會”讓課堂充滿智慧，生成更多的精彩。

（責任編輯：陳志華）