工科專業“線性代數”課程的教學改革探討

吳笑千，高劍明

(東華大學 理學院，上海 201620)

在工科專業“線性代數”課程教學中，經常有學生反映該課程內容比較抽象、概念難以理解、計算繁瑣、內容枯燥等。為了克服目前“線性代數”課程教學存在的內容抽象、課時少、有難度、少應用這一現狀，同時讓有意從事科研工作的工科學生打好理論基礎，我校(東華大學)開展了關于工科專業“線性代數”分層次教學的改革。

一、分層次教學

我們將“線性代數”課程按理論和應用培養方向分為A、B兩個層次。

A班教材仍選用由同濟大學主編的《線性代數》(第5版)［1］，教學上側重于培養學生運用抽象思維和邏輯推理的能力，融入一些考研的典型題目，注重一題多解，以開闊學生的解題思路，使所學知識融會貫通，并能靈活地解決問題，達到拓展知識視野、啟迪創新思維的目的。同時提高學生探索和理解數學概念、過程和關系本質的能力，著力于嚴格的數學推理和證明，養成思維的嚴密性，使學生在考研時，其數學能力和水平有明顯提高。

B班教材選用由David C.Lay編著的《線性代數及其應用》［2］(原書第3版)，教學上側重于培養學生應用“線性代數”知識解決實際問題的能力，減少繁復的計算和理論推導，更多地通過應用實例進行講授，使學生掌握“線性代數”的基本知識，理清思路，激發學生求知探索的欲望，提高其實際應用能力和科技創新能力。

二、教材選用

1.David C.Lay教材的編寫

1990年，為了解決“線性代數”課程抽象、枯燥、應用少等問題，美國的數學教育家提出了五條改革建議［3］:(1)“線性代數”課程要面向應用，滿足廣大非數學學科的需要;(2)它應該是面向矩陣的;(3)它應該是把學生作為初學者，根據學生的水平和需要來組織;(4)它應該利用最新的計算技術;(5)對數學專業要另設課程提高其抽象性。

David C.Lay是美國馬里蘭大學教授，是美國國家科學基金會資助的“‘線性代數’課程研究組”創始人之一，也是美國“線性代數”課程改革的領導者之一，曾經獲得美國數學協會授予的杰出數學教學獎。根據上述5條改革建議，David C.Lay編寫了 Linear Algebra and Its Applications(中文版《線性代數及其應用》)這一教材。這是一本優秀的現代教材，它提供了最新的“線性代數”的基本概念和許多有趣的應用例子，目的是幫助學生掌握“線性代數”的基本概念及應用技巧，為后續課程的學習和工作實踐奠定基礎。此外，這本教材還包含大量的例題和習題，以便于讀者學習參考。總的來說，這本教材的內容深入淺出，且論述清晰。

2.David C.Lay教材的優點

David C.Lay教授編寫的《線性代數及其應用》教材具有以下優點:

(1)強化了線性方程組求解的思想。把“線性代數”中最重要的問題——求解線性方程組放到最前面來介紹，突出它的重要性。這是因為在后面將要講授的向量線性無關性、向量空間、逆矩陣、特征向量、二次型等內容大量用到了線性方程組的求解思想和計算。并把“行初等變換化矩陣為行階梯形的計算”貫穿始終。

(2)強化了矩陣分塊的思想。在教材第一章中，就直接把矩陣方程定義成列向量的線性組合。矩陣的乘法定義不是由分量形式給出，而是由乘積的后一矩陣的列向量(分塊形式)線性組合給出，從而使矩陣乘法的分量形式可以由列向量形式計算得到。這樣可以使得矩陣方程、矩陣的乘法定義等簡潔明了，容易記憶，減少了學生計算出錯的可能性。

(3)弱化行列式的定義和計算。不用排列、逆序數的定義，而是用行列式展開(降階)來定義。行列式的逆序數定義是不容易理解的，而且在后面的“線性代數”教學內容中根本沒有用到。少數工科專業如果需要逆序數定義的話，學生可以自主學習。并且隨著科技的發展、計算機能力的提高，線性代數求解問題的主流——求解線性方程組、最小二乘問題、特征值問題已經與行列式的計算沒有很多聯系。而行列式的數值計算已經歸結為LU分解(行初等變換)，不再是用富有技巧的性質去求解行列式;特征值的數值計算是由Krylov子空間迭代法得到，不再是求解含參數的行列式(特征多項式)的根;甚至多項式根的數值計算也是由Krylov子空間等迭代法求解。

(4)不要求“沙路法”計算三階行列式，只是通過習題給出這一方法。可以減少學生的記憶量，降低解題技巧。

(5)弱化秩的定義。不用最高階主子式的抽象定義，而用行階梯形非零行行數來定義。之所以這樣處理，同樣是因為行列式的應用比較少，最高階主子式這一定義在后面的教學中沒有涉及。

(6)在“對角化方陣”方面，習題中如果要求三階或以上方陣的特征向量，是直接把特征值的具體數值作為已知條件，不要求通過行列式求三階及以上的復雜方陣求出特征多項式，進而求解特征值，降低了解題技巧和難度。

(7)用直觀的幾何解釋抽象的代數。行列式、矩陣、特征向量分別由面積或體積、線性變換、經過線性變換仍然不變的向量這樣的幾何概念來解釋，可以讓學生直觀感受到線性代數的一些概念、性質，增加對線性代數的學習興趣，降低學習和記憶的難度。

(8)在教材的每一章開始部分都有一個介紹本章的應用例子，而且每章都有至少一節是講應用問題。這些豐富的應用問題可以使學生對于線性代數產生濃厚的興趣，增加對于相關概念和性質的理解。

3.教學內容的取舍

本文主要介紹我?！熬€性代數”B班課程的改革情況。由于美國教材與我校的教學大綱不一致，而且我?！熬€性代數”課時少，共32學時，想要采用David C.Lay的教材，勢必要做相應的改變。

我們做的主要工作是:縮減 David C.Lay教材的內容，降低授課的難度，減少艱深的理論推導和繁冗的手算，增加幾何直觀和各種應用，利用數學軟件和信息化手段，增加學生對“線性代數”課的理解和學習興趣。

由于我校的“線性代數”課時少，而這本教材的內容極為豐富，因此只能選用教材中的部分內容進行講解。在每一章中，我們都選講至少一個典型且應用廣泛的數學模型，例如化學方程式的配平、幾何圖形的線性變換(反射、旋轉、放縮、剪切)、行列式的幾何意義和性質、離散動力系統、最小二乘問題、二次型主軸的幾何意義等。為了與我國現行的“線性代數”課程教學大綱一致，刪除了經濟學中的投入產出模型、向量空間、迭代法估計特征值、內積空間、條件優化、奇異值分解等內容。刪除的部分可以由學生自行閱讀，有一些應用會在“高等數學實驗”課上講解，數值計算部分可以讓學生在課后閱讀。這樣在有限的教學時間內，保持了“線性代數”課程教學體系的完整性和內容的豐富性。

三、運用數學軟件進行教學

關于應用數學軟件和數學實驗進行“線性代數”課程的教學，特別是采用MATLAB軟件進行“線性代數”教學、編寫相關的教材以及教師培訓方面，西安電子科技大學的陳懷琛教授做出了很大貢獻［4－6］。數學軟件是一把雙刃劍。用數學軟件學習“線性代數”，可以讓學生通過直觀、動態的幾何圖形例子來加深對概念的認識、性質的理解，能夠克服手算計算量大的困難，直接求解大型的應用數學模型。但如果提前讓學生用數學軟件來求解線性代數問題，有可能會削弱他們對于線性代數概念、計算方法的掌握。

為了避免學生在掌握線性代數運算之前用軟件解題，我們的做法是，在“線性代數”課上先不教學生使用軟件，而由教師用軟件演示實驗;課下或學期末可以給學生布置簡單的應用題目、案例，做數值實驗，并演示講解如下例子:

(1)將化學方程式配平轉化成線性方程組求解，來了解線性方程組的應用。

(2)高階線性方程組分別用Cramer法則和行初等變換計算，查看運行時間，分析它們的計算量，顯示行初等變換的優越性。并提醒學生不僅要能解出題目，而且要用盡量快的方法求解。

(3)初等矩陣和初等變換的關系。通過分別左乘和右乘初等矩陣，讓學生觀察到這樣的乘法與相應初等變換的關系。

(4)通過幾何圖形的線性變換(反射、旋轉、放縮、剪切)，了解特殊矩陣的乘積與線性變換的關系。

(5)通過不同的線性變換作用于向量，觀察變化前后的向量位置和縮短或伸長，來了解特征值、特征向量的幾何意義。

課后組織提高班、討論班，或在高等數學實驗課讓學生動手做實驗，用數學軟件來解決比較復雜或計算量很大的應用題目、數學建模案例，并把線性代數知識推廣到其他科目。例如:

(1)通過多項式插值導出的病態線性方程組的計算，改變基向量或基函數，從而獲得良態的線性方程組，由此了解數值分析的穩定性概念。

(2)通過已知的大量數據建立不同變量之間的函數關系，可以歸結為超定線性方程組的計算，從而了解數值分析的最小二乘法。

(3)通過狀態轉移矩陣的計算，來理解特征向量的意義，由此了解隨機過程中的Markov鏈的性質。

(4)通過學習由線性方程組計算三次樣條插值，了解計算機圖形學的光滑曲線的構造。

(5)通過演示差分法或有限元法求解微分方程，學習線性方程組的應用，從而了解數值分析中的微分方程數值解法。

(6)讓學生自己建立關于營養均衡食譜滿足的條件，并通過數學軟件計算結果，可以歸結為求解線性方程組或矩陣不等式(線性規劃)問題。

我們還制作了“線性代數”課程網站、電子教案、教材中大部分習題的解答、我校網上論壇(易班)，并安排了習題課。另外，每學期在我校的兩個校區合計安排3～8次專題講座，每次2小時，由線性代數方面富有教學經驗的教師做理論和應用兩個方向的講座。

四、今后的改革

今后“線性代數”課程教學的改革方向是:

(1)增加平時成績的比重。把由原來的期末考試成績和平時作業成績決定的課程成績，改為單獨或多人合作做簡單的線性代數應用項目，由撰寫的項目報告、期末考試和平時作業成績共同決定課程成績。通過多元化方法來確定學生的課程成績，可以增強學生對“線性代數”課的興趣，避免因考試臨場發揮不好等因素而影響課程成績。

(2)可以在校園或網絡論壇上張貼關于介紹線性代數知識和學習方法的海報、做線性代數問題的有獎征答。上課時，介紹線性代數的歷史、數學家簡介和概念的來源。從教材中選擇部分應用例子，讓學生課后自行閱讀，寫讀書報告、心得體會，培養他們的自學能力。

(3)組織線性代數學習小組和學科交叉項目。一方面讓學生組織學習小組，一起討論線性代數方面的概念、性質和學習中容易出錯的問題;另一方面讓他們一起研究與線性代數、微積分、微分方程、工程技術等相關的簡單學科交叉項目，鍛煉學生的獨立思考、自我學習、團隊合作等能力。

(4)盡量均衡試卷中要考的知識點，降低試卷中的計算量和難度，適當增加線性代數應用或建模問題。讓工科學生把線性代數學習的重心從單純的理論推導和手算，轉移到為了求解應用問題，以及運用線性代數相關知識來推導對應的性質、計算對應的結果，并對結果進行定性或定量的分析上來。

［1］同濟大學數學系.線性代數［M］.5版.北京:高等教育出版社，2007.

［2］LAY D C.線性代數及其應用［M］.3版.劉深泉，洪毅，馬東魁，等譯.北京:機械工業出版社，2005.

［3］CARLSON D，JOHNSON C R，LAY D C，et al.The Linear Algebra Curriculum Study Group Recommendations for the First Course in Linear Algebra［J］.The College Mathematics Journal，1993，24(1):41－46.

［4］陳懷琛，高淑萍，楊威.工程線性代數:MATLAB版［M］.北京:電子工業出版社，2007.

［5］陳懷琛，高淑萍，楊威.科學計算能力培養與線性代數改革［J］.高等數學研究，2009，19(3):23－25.

［6］陳懷琛.線性代數要與科學計算結成好伙伴［J］.大學數學，2010，26(S1):28－34.