題相似法不同
——由幾道中考題解法談起

☉江蘇省寶應(yīng)縣城北初級中學(xué) 朱立業(yè)

題相似法不同
——由幾道中考題解法談起

☉江蘇省寶應(yīng)縣城北初級中學(xué) 朱立業(yè)

最值問題是一個(gè)古老而永恒的話題，命題者的精心雕琢使近幾年中考試卷涌現(xiàn)出一批創(chuàng)意新穎的試題，其中具有代表性的是“線段”型最值問題，筆者把它們歸納成幾種類型，探究解決最值問題的方法，以饗讀者.

一、“一動(dòng)點(diǎn)+一定點(diǎn)”型

圖1

例1（2012·萊蕪）如圖1，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，若點(diǎn)P在邊AC上移動(dòng)，則BP的最小值是_________.

分析及簡解：點(diǎn)B為定點(diǎn)，P為動(dòng)點(diǎn)，根據(jù)垂線段最短，當(dāng)BP⊥AC時(shí)，BP有最小值.過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D.因?yàn)锳B=AC=5，BC=6，所以BD=3，AD=4.根據(jù)AD·BC= BP·AC，得到4×6=5BP，解得BP=，即BP的最小值是

圖2

【評注】應(yīng)用“垂線段最短”是解決“一動(dòng)點(diǎn)+一定點(diǎn)”型最基本的方法.

例2（2014·成都）如圖2，在邊長為2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD邊的中點(diǎn)，N是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，將△AMN沿MN所在的直線翻折得到△A′MN，連接A′C，則A′C的長度的最小值是______.

分析及簡解：連接MC，則MA′、MC都為定值，且MC的位置確定，A′C≥MC-MA′，等號僅當(dāng)點(diǎn)A′落在MC上時(shí)成立，此時(shí)可求出A′C的長度的最小值.

過點(diǎn)M作MF⊥DC于點(diǎn)F.

【評注】例2難度很大，直接求解無路可尋，通過構(gòu)造三角形，利用“三角形兩邊之差小于第三邊”，僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)第三邊取得最小值，這是求“一動(dòng)點(diǎn)+一定點(diǎn)”型最值問題的一個(gè)重要方法.

二、“兩動(dòng)點(diǎn)”型

例3（2012·揚(yáng)州）如圖3，線段AB的長為2，C為AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別以AC、BC為斜邊在AB的同側(cè)作兩個(gè)等腰直角三角形ACD和BCE，那么DE的長的最小值是__________.

圖3

分析及簡解：點(diǎn)D、E都是動(dòng)點(diǎn)，直接求DE的長的最小值有困難，設(shè)法轉(zhuǎn)化為“一動(dòng)點(diǎn)+一定點(diǎn)”型最值問題.延長AD、BE交于點(diǎn)G（為定點(diǎn)），則四邊形GDCE為矩形，DE=CG，只需求出CG的最小值即可，顯然，當(dāng)GC⊥AB時(shí)，GC最小，且故DE的最小值為1.

圖4

例4（2013·咸寧）如圖4，在Rt△AOB中，OA=OB，⊙O的半徑為1，點(diǎn)P是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作⊙O的一條切線PQ（點(diǎn)Q為切點(diǎn)），則切線PQ的最小值為_______.

分析及簡解：首先連接OP、OQ，根據(jù)勾股定理知PQ2=OP2-OQ2，O為定點(diǎn)，P為動(dòng)點(diǎn)，可得當(dāng)OP⊥AB時(shí)，線段OP最短，從而線段PQ最短，然后由勾股定理即可求得答案.

由PQ是⊙O的切線，得OQ⊥PQ.

根據(jù)勾股定理知PQ2=OP2-OQ2.

則當(dāng)PO⊥AB時(shí)，線段PQ最短.

【評注】對于“兩動(dòng)點(diǎn)”型最值問題，一般可通過等量代換轉(zhuǎn)化為“一動(dòng)點(diǎn)+一定點(diǎn)”型最值問題，再利用“垂線段最短”求解.

三、“一動(dòng)點(diǎn)+兩定點(diǎn)”型

例5（2014·宿遷）如圖5，正方形ABCD的邊長為2，點(diǎn)E為邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在對角線BD上移動(dòng)，則PE+PC的最小值是________.

圖5

分析及簡解：點(diǎn)E、C是定點(diǎn)，P為動(dòng)點(diǎn)，且E、C在BD的同側(cè)，求PE+PC的最小值是一個(gè)基本圖形與常見問題，一般用對稱法求解.由點(diǎn)C關(guān)于BD的對稱點(diǎn)為點(diǎn)A，得PE+PC=PE+AP.

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，可得AE就是AP+PE的最小值，由正方形ABCD的邊長為2，E是BC邊的中點(diǎn)，得BE=

例6（2014·莆田）如圖6，菱形ABCD的邊長為4，∠BAD=120°，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AC上的一動(dòng)點(diǎn)，則EF+BF的最小值是________.

圖6

分析及簡解：點(diǎn)B、E是直線AC同側(cè)的兩個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)F是AC上的一動(dòng)點(diǎn)，求EF+BF的最小值是一個(gè)基本圖形與常見問題，一般用對稱法求解，注意到點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于AC對稱，所以連接BD、DE.根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，DE與AC的交點(diǎn)就是點(diǎn)F的位置，DE就是最小值.作DH⊥BA交AB的延長線于H.

在△ABD中，AD=AB，∠DAB=120°，則∠HAD=60°.又DH⊥AB，

【評注】“一動(dòng)點(diǎn)+兩定點(diǎn)”型最值問題，與課本上的一個(gè)基本圖形密切相關(guān)，一般用對稱法求解，是各地中考試卷最常考的最值問題.

四、“兩動(dòng)點(diǎn)+一定點(diǎn)”型

例7（2012·鄂州）如圖7，在銳角三角形ABC中，BC=，∠ABC=45°，BD平分∠ABC，M、N分別是BD、BC上的動(dòng)點(diǎn)，則CM+MN的最小值是________.

圖7

分析及簡解：點(diǎn)C是定點(diǎn)，而M、N都是動(dòng)點(diǎn)，可設(shè)法`利用BD平分∠ABC，得到MN關(guān)于BD的對稱線段.

在BA上截取BE=BN，連接EM.由∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D，得∠EBM=∠NBM.在△AME與△AMN中，BE=BN，∠EBM=∠NBM，BM=BM，則△BME≌△BMN（SAS），則ME=MN.

CM+MN=CM+ME≥CE.

當(dāng)CE⊥AB時(shí)，CE取得最小值，從而CM+MN有最小值.

圖8

例8（2014·盤錦）如圖8，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC= 20，CB=10，D、E分別是AC、AB上兩點(diǎn)，求ED+EC的最小值.

分析及簡解：點(diǎn)C是定點(diǎn)，而D、E都是動(dòng)點(diǎn)，先設(shè)法找到CE關(guān)于AB的對稱線段EG，轉(zhuǎn)化為求EG+DE的最小值，這只需點(diǎn)G、E、D三點(diǎn)共線，且GD⊥AC時(shí)，GD最小，從而求得ED+EC的最小值.

作點(diǎn)C關(guān)于AB的對稱點(diǎn)G，CG交AB于點(diǎn)M，作GH⊥AC于H，則GH就是所求的最小值.

【評注】“兩動(dòng)點(diǎn)+一定點(diǎn)”型最值問題難度較大，一般可先將一條線段用關(guān)于某條直線的對稱線段代換，轉(zhuǎn)化為“三點(diǎn)共線”，再利用“垂線段最短”求解.

五、“三動(dòng)點(diǎn)”型

例9（2012·臺(tái)州）如圖9，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，點(diǎn)P、Q、K分別為線段BC、CD、BD上的任意一點(diǎn)，則PK+QK的最小值為（）

圖9

分析及簡解：點(diǎn)P、Q、K均為動(dòng)點(diǎn)，可先作點(diǎn)P關(guān)于直線BD的對稱點(diǎn)P′，連接P′K、P′Q，則P′K=PK，于是PK+ QK=P′K+QK≥P′Q，等號僅當(dāng)點(diǎn)K落在P′Q上時(shí)成立，作QH⊥AB于H，則P′Q≥QH，即QH為所求最小值.

由四邊形ABCD是菱形，得AD∥BC.又∠A=120°，則∠ABD=180°-∠A=180°-120°=60°.

例10（2014·無錫）如圖10，菱形ABCD中，∠A=60°，AB= 3，⊙A、⊙B的半徑分別為2和1，P、E、F分別是邊CD、⊙A和⊙B上的動(dòng)點(diǎn)，則PE+PF的最小值是________.

圖10

分析及簡解：連接BF、AE，則BF=1，AE=2，將求“PE+ PF的最小值”轉(zhuǎn)化為求“PA+PB的最小值”，這就轉(zhuǎn)化為“兩定點(diǎn)+一動(dòng)點(diǎn)”型問題.作點(diǎn)A關(guān)于CD的對稱點(diǎn)A′，連接A′B，交直線CD于點(diǎn)P，則點(diǎn)P與D重合，PA+PB的最小值就是A′B的長.

易知∠BAA′=90°，∠A′=30°，所以A′B=2AB=6，即PA+PB的最小值為6，于是PE+PF的最小值為6-3=3.

【評注】例9、例10都是“三動(dòng)點(diǎn)”型最值問題，例9是轉(zhuǎn)化為“三點(diǎn)共線”，再利用“垂線段最短”求解；例10是轉(zhuǎn)化為“三點(diǎn)共線”，再利用對稱法求解.

感悟：波利亞說：“數(shù)學(xué)問題的解決僅僅只是一半，更重要的是解題的反思與回顧.”幾何最值問題，數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)未直接提及，教材中更是難見一道習(xí)題，然而，各地中考試卷卻賦予了幾何最值新的活力，精品試題層出不窮，有效地考查了學(xué)生分析問題和解決問題的能力.解決此類問題，需要用運(yùn)動(dòng)與變化的眼光去研究和觀察圖形，把握運(yùn)動(dòng)中的不變量，針對題目的特點(diǎn)，合理地利用“垂線段最短”“兩點(diǎn)之間，線段最短”等原理和基本圖形，將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單的常見問題，當(dāng)然上述類型中的解法不是孤立的，有時(shí)一道題用幾種方法求解都能奏效，而有時(shí)一道題卻需要同時(shí)用幾個(gè)方法才能解決，個(gè)中滋味，只有悉心體會(huì)，在解題中學(xué)習(xí)解題，才能實(shí)現(xiàn)解題的智慧托舉.Z