對一道試題的商榷及命題建議

☉南通大學附屬中學 尤榮勇

對一道試題的商榷及命題建議

☉南通大學附屬中學 尤榮勇

一、試題再現

上學期我校高二年級期末試卷是請兄弟學校的老師命的題，其中第15題（解答題第1題，共計6個解答題）是這樣的：

題目已知p：1＜2x＜8，q：不等式x2-mx+4≥0恒成立，若﹁p是﹁q的必要條件，求實數m的取值范圍.

參考解答：由1＜2x＜8，得0＜x＜3，即p：0＜x＜3.

二、教者爭議

我們高二數學備課組老師在做該試題時，大家意見卻出現了分歧.部分老師有如下答案：

解法1：與參考答案類似.

解法2：p：0＜x＜3，﹁p是﹁q的必要條件，即p是q的充分條件，則x2-mx+4≥0對任意x∈（0，3）恒成立.令f（x）=x2-

綜上（1）、（2）、（3）所述，m∈（-∞，4］.

解法3：設集合A=｛x|x∈p｝，集合B=｛x|x∈q｝，由條件﹁p是﹁q的必要條件，則A?B.顯然：A=（0，3）.

綜上所述：m∈（-∞，4］.

我們組也有部分老師對該題有不同意見，不妨把上述解法稱為正方的解法，那么下面截然不同的意見則是反方的意見：語句q應該是一個獨立的命題，不等式x2-mx+4≥0恒成立，那么該不等式是關于變量x還是變量m的不等式呢？不得而知！若不等式是關于m的不等式，設g（m）=-xm+x2+4，則依題意x=0，因為語句p：0＜x＜3，顯然p不是q的充分條件，﹁p不是﹁q的必要條件.顯然該不等式只能是關于x的不等式恒成立，此時Δ= m2-16≤0，即-4≤m≤4時，x∈R，此時p：0＜x＜3是q：x∈R的充分條件，即﹁p是﹁q的必要條件.綜上m的范圍為-4≤m≤4.

正反雙方各執一詞，各自認為自己的意見是對的，爭議的焦點是：正方認為，語句p是語句q的充分條件，當然q中的不等式是關于x的不等式，且在p成立的條件下恒成立，而反方認為，語句q中沒有說明是關于哪個變量的不等式，即便是關于x的不等式，我們說不等式x2-mx+ 4≥0恒成立，一般就是x2-mx+4≥0對一切x∈R均成立的意思，顯然這樣正方的答案有失科學性.但評卷時，還是尊重參考答案，按照正方的標準評分.我們不妨再來看看學生的答題情況.

三、學生解答及問卷調查

本小題滿分14分，我校理科8個班共有308人，年級理科均分5.77分，筆者隨機抽樣了30份試卷.將其答案、得分大致分類如下表：

試卷份數解答情況1 p：1＜x＜3，…屬于完全解錯型，得0分. 4 p：0＜x＜3，﹁p：（-∞，0］∪［3，+∞），q：Δ=m2-16≤0.屬于以下空白型，得3分. 5﹁p：（-∞，0］∪［3，+∞），﹁q：Δ=m2-16＞0，m∈（-∞，-4）∪（4，+∞），﹁p是﹁q的必要條件，﹁q?﹁p，即m∈（-∞，-4）∪（4，+∞）.得3分. 11﹁p是﹁q的必要條件，則p是q的充分條件，由p：0＜x＜3，q：Δ=m2-16≤0，即-4≤m≤4，x∈R，此時符合題意，則-4≤m≤4.得3分. 3解答類似正方解法1.得14分. 4解答類似正方解法2，其中2人結果錯誤.2人14分，2人得12分. 2解答類似正方解法3，其中1人無理不等式解錯.1人14分，1人得5分.

針對本題學生的解答、得分情況，筆者對抽樣試卷對應的30名同學又進行了一次問卷調查：

問卷調查中的問題多次閱讀，還有讀不懂題意的感覺你認為本題為容易題已將﹁p是﹁q的必要條件轉化為p是q的充分條件或轉化為語句p構成的集合是語句q構成集合的子集你看過參考答案后，你對本題題目仍然有異議由于本題解答沒把握，較大影響了你后續解答題的求解人數占調查總人數的比例28 93.3% 2 6.6% 24 80% 10 33.3% 23 76.6%

四、對該試題的幾點商榷

該試題學生反映讀不懂題意，即便是老師，解答本題也頗有爭議，那么本題是否存在科學性問題呢？筆者認為，試題表述確有值得商榷之處.

商榷1：語句p中的x就是語句q中的x嗎？正方的解答都是默認了語句p中的x就是語句q中的x，這個值得我們推敲.例如A=｛y|y=x2-1｝，B=｛x|x＞0｝，能說集合A，B中的x是同一個x嗎？顯然不能.如果語句q中的x未必是語句p中的x，那么在p是q的充分條件下，不等式x2-mx+4≥0對任意x∈（0，3）恒成立也就無從說起，當然參考答案（包括正方答案）也站不住腳了.

商榷2：即便語句p中的x就是語句q中的x，那么語句q中的不等式x2-mx+4≥0恒成立，正如反方的意見，這個不等式是關于x的還是關于m的不等式呢？提供的參考答案及正方答案，都是將其看成是x的不等式，為什么要看成關于x的不等式？是否有點牽強？不能因為問題是求m的范圍，就把它視為關于x的不等式.

商榷3：這道題的重點不僅考查了充分條件、必要條件的判斷，還考查了一元二次不等式在某區間上恒成立問題，但題意表述上人為“挖坑”痕跡明顯，似乎有故意將學生往“死路”上引，極不自然，難以讓人認同，應該不算一個好題.不妨將該試題修正為：已知p：1＜2x＜8，q：關于x的不等式x2-mx+4≥0的解，若﹁p是﹁q的必要條件，求實數m的取值范圍.這樣不容易引起歧義，學生也容易讀得懂，下得了手.

五、命題建議

1.別讓試題的表述成為學生解答的路障

以檢查學生學業情況的一份試卷只有確保每一道試題本身科學無誤，才能使考查產生最基本的可信度，這也是命題的最基本要求，同時我們命制試題也不能過分追求“新”、“異”，而落入“偏”且“怪”的境地，而該題的命題意圖是追求題意簡潔還是為了“難”而“刁難”學生呢？我們反對拖沓冗長地表述題意，但題意表述應該在保證內容正確的前提下清楚、簡潔、嚴謹、科學，盡量做到無懈可擊，不能過分追求簡潔而失去邏輯性與嚴謹性，試題中不能出現知識性的錯誤及有爭議的地方，一道題，學生讀了多次也沒有讀得懂，甚至連教師理解題意都有困難與分歧，讓學生怎么去求解呢？

2.基礎年級階段性試卷難度不宜過高

從問卷調查結果可知，學生對充分條件、必要條件的判斷這個知識點已經基本掌握，但仍然丟了分.即使是理解了命題者意圖的9名學生中仍然有3人丟了分.其實“簡易邏輯”這部分內容重在充分條件、必要條件的判斷，但本題命題意圖除了判斷充分、必要條件外，又著重考查了基本不等式、一元二次方程根的分布、恒成立，甚至還用到含參不等式的解法等問題，這些當然是高考要求，但不是本學期的學習重點，學生的能力也還沒有達到，若修正一下如商榷3的表述，放在高三測試，的確是一道好題.但放在基礎年級測試，則對教師教學的導向性不好，容易使老師平時上課盲目拔高.在階段性考試中，有時我們命題下手比較重，160分的試卷學生平均分在80分左右，6道解答題從第一道就開始難，這樣不但起不到激勵學生學習的作用，反而讓學生心理受到打擊，也許學生就因這一次考試而失去學習數學的興趣.事實上，基礎年級階段性考試有別于升學選撥考試，不是高考，是對平時教學情況的一次反饋，是一次過程性檢查，目的是讓學生達到鞏固、理解階段性基礎知識，因此命題標準要符合相應教學要求和新課程標準的要求，而有別于高考要求，千萬不能一提到考試就往高考要求上靠，這樣得不償失！

1.南通大學附屬中學2014-2015學年第一學期期末試題高二數學（理科）.

2.任志瑜.別讓高考題的表述成為“路障”［J］.數學通報，2014（4）.F