混凝土二維隨機骨料模型的改進

陳浩　宓永寧　岳川　畢建成

摘要：在越來越高的模擬精度要求下，針對隨機骨料結構中粒徑分布控制和黏結界面層生成環節中存在的問題，基于Walraven公式推導出改進的骨料分布函數，就橢圓形骨料和任意凸多邊形骨料提出生成均勻界面層的方法，有效提高隨機骨料模型的仿真程度，為混凝土細觀數值模擬研究提供更優質、更合理的骨料模型。

關鍵詞：混凝土，隨機骨料模型，粒徑分布，黏結界面層，算法改進

中圖分類號：TU528 文獻標識碼：A 文章編號：1674-1161（2015）03-0049-04

為研究混凝土細觀結構與其力學性能的關系，根據骨料在混凝土結構空間內隨機分布的特性，提出混凝土隨機骨料模型。隨機骨料模型理論認為，混凝土是由粗骨料、水泥砂漿和二者間的粘結界面組成的三相復合材料，借助蒙特卡羅方法，在投放空間內隨機確定骨料的形狀、位置和尺寸，產生的隨機骨料結構。近年來，研究人員在二維隨機骨料生成算法方面做了大量研究，取得了豐富的成果，從不同角度解決了隨機確定骨料形狀和位置的問題，其中高政國、孫立國、嚴兆等先后提出了不同的二維隨機骨料生成算法。隨機骨料結構中骨料粒徑分布通常借助Walraven公式來確定，其方法有代表粒徑法和反函數法，但前者是一種簡化方法，對粒徑分布的描述較為粗略；后者將隨機概率值Pi直接代入Walraven公式求取粒徑值Di。然而，事實上Walraven公式中的概率值是面積百分率，與顆粒數目百分率是不等同的，由此生成的骨料結構中大粒徑顆粒嚴重偏多。

針對這兩種方法存在的缺陷，以Walraven公式為基礎推導混凝土結構橫斷面骨料數目累積分布函數PN（D），并用統計學方法對該骨料分布函數的合理性進行論證，然后通過模型對比證明該方法能夠有效提高隨機骨料模型的仿真程度。

在混凝土隨機骨料結構中，黏結界面層可視為粗骨料與硬化水泥砂漿之間的一個過渡薄層，相當于在原有骨料顆粒表面均勻地向外延伸一個厚度。許多研究表明，黏結界面層的力學特性在很大程度上決定混凝土的宏觀強度，因此在進行混凝土結構的細觀數值模擬時，生成的界面層是否合理將直接影響模擬結果的準確性。在實際建模中，通常的做法是通過投放比要求顆粒粒徑稍大的顆粒，然后按比例縮小，完成界面層的生成。但這種處理方法僅適合圓形骨料，橢圓形和任意多邊形骨料很難保證界面層厚度的均勻性。在網格尺寸以微米計量的有限元分析中，這種非均勻性導致的誤差對結果的影響是不容忽略的。為此，針對橢圓形骨料和任意凸多邊形骨料的幾何形狀特征，提出各自的界面層生成算法，以期達到提升模型精度的目的。

1 骨料粒徑分布的隨機性改進

1.1 混凝土三維骨料級配的平面轉化

20世紀80年代，Walraven.J.C將混凝土三維試件中的骨料顆粒簡化為以骨料形心為圓心、以骨料粒徑為直徑的球體，根據Fuller級配曲線和骨料在試件空間等概率分布的幾何學概念，推導出三維骨料級配的平面轉化公式，即Walraven公式：

式中：PC（D）為截面上任意一點位于粒徑小于D的骨料顆粒上的概率，即截面上直徑小于D的截面圓面積占截面面積的百分比；PK為骨料（粗骨料和細骨料）體積與混凝土總體積的百分比；Dmax為骨料最大粒徑。

1.2 骨料粒徑分布的隨機性改進

近年來，隨著混凝土數值模擬研究的逐漸深入，模擬的精度也不斷提升，由代表粒徑法生成的骨料形狀多樣、骨料粒徑特定的隨機骨料結構已經不能滿足應用要求。反函數則由于混淆了兩個概率值，因此確定的骨料結構嚴重偏離實際，也存在嚴重不足。為實現隨機骨料結構中骨料尺寸的隨機確定，提高建模水平，亟需找出一種可實現骨料粒徑隨機生成的數學控制方法。

此處需要加以說明的是，在數理上面積百分率與數目百分率是完全不同的概念，例如單個大粒徑骨料在粒徑-面積率和粒徑-數目百分率累積曲線上的Y軸增量明顯不一致，因此一些研究直接將隨機概率值代入Walraven公式求解粒徑值的做法是不合理的。

1.3 統計驗證

生成Fuller級配曲線的三維混凝土球形隨機骨料模型，對模型各截面上不同直徑截面圓數目和累積面積率進行數理統計，得出統計D-PS和D-PN關系曲線，同時繪制骨料粒徑分布函數PS（D）和PN（D）的函數曲線，如圖1所示。

圖1（a）中，PS（D）函數曲線和統計D-PS曲線極為吻合，這說明PS（D）能夠準確描述骨料累積面積率和粒徑的函數關系；圖1（b）中，PN（D）函數曲線和統計D-PN曲線非常一致，這表明PN（D）對骨料累積數目和粒徑函數關系的描述符合實際。由此可見，推導的骨料分布函數能準確描述混凝土實體結構橫斷面的骨料粒徑分布規律，具備數理上的合理性。

1.4 模型對比

分別運用兩種常用方法和本文提供的改進方法建立隨機骨料模型，生成的骨料結構分布如圖2所示，其中圖2（a）為二級配混凝土，骨料粒徑代表值為12.5，30.0 mm。從三維模型中隨機截取一個截面作為實體對照，其骨料結構如圖2（d）所示。

圖2（c）的骨料粒徑分布與圖2（d）非常相似，骨料含量也很接近。相對而言，圖2（a）的顆粒數目較少且級配較差，圖2（b）大粒徑顆粒過多、骨料數目最少且級配也最差。上述對比顯示，改進方法生成的骨料結構對混凝土骨料級配及含量的數值化表現更為準確合理。

2 界面層厚度的均勻性改進

在綜合考慮運算規模及計算效率的情況下，混凝土細觀結構模型中的界面層厚度一般會偏大于實際界面層厚度，通常取0.05～0.10倍粒徑。目前，大多通過按比例放大粗骨料來獲得一個厚度近似均勻的界面層，但實際上橢圓和任意凸多邊形骨料（尤其是扁度偏大的橢圓和各邊長相差較大的凸多邊形）生成的界面層在厚度上存在明顯差異。就橢圓形骨料而言，其差異最大為半長軸a與半短軸b差值的0.05～0.10倍（當a=40，b=20時，為1～2 mm）。在較高的模擬精度要求下，這些差異對模擬效果的影響難以忽略。

2.1 橢圓形骨料均勻界面層的生成

以式（14）為參數方程，便可生成一個厚度均勻一致的界面層，如圖4（b）所示。圖4（a）是通用方法所生成的橢圓形骨料界面層。

從圖4（a）可以明顯看出，通用方法獲得的界面層在厚度上很不一致，橢圓長軸兩端界面層最厚，而短軸兩端則最薄；而圖4（b）所示的骨料界面層厚度完全均勻一致。

2.2 任意凸多邊形均勻界面層的生成

在工程實際中，配置混凝土時最常用的粗骨料是碎石。因而在建立混凝土隨機骨料模型時，一般會將骨料形狀設定為任意凸多邊形。圖5（a）是采用放大骨料的方法生成的單個凸多邊形骨料結構，骨料表面不同部位的界面層厚度差異顯著。

均勻界面層生成思路是：將多邊形各邊的端點延垂線向外側等距平移，再用半徑等于界面層厚度的圓弧連接各相鄰線段的端點，將平移后的孤立線段封閉成一個等厚度包裹在凸多邊形表面的圓角多邊形，如圖5（b）所示。和圖5（a）相比，圖5（b）中黏結在骨料表面的界面層厚度完全均勻一致。

3 結論

受網格質量以及計算規模的限制，混凝土細觀數值模擬的研究重點仍限于二維層面。合理構建三維級配和二維骨料粒徑分布的轉化關系，是二維隨機骨料生成方法中的核心問題。

改進二維隨機骨料生成方法彌補了傳統方法的缺陷，真正實現了骨料粒徑的隨機生成，生成的隨機骨料結構中，骨料粒徑分布和含量更符合混凝土結構橫斷上骨料的分布實況。此外，改進的均勻界面層的生成算法，提高了模型數理上的精確性。

這兩方面的改進可顯著提高隨機骨料模型的仿真程度，使混凝土細觀數值分析在更高精度下進行，為揭示混凝土細觀結構和宏觀力學性能的關系提供模型基礎。

參考文獻

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[4] WALRAVEN J C， REINHARDT H W. Theory and experiments on the mechanical behavior of cracks in plain and reinforced concrete subjected to Abstract： With the requirement of simulation accuracy increasing， the method of generating uniform interface layer by managing ellipse aggregate and arbitrary polygon aggregate based on improved aggregate distribution function derived by Walraven formula is presented. It solves the problems existing in the control of particle size distribution in random aggregate structure and the links of bonding interface layer generating， and effectively improved the simulation level of random aggregate mold， provided a aggregate mold of more logical and higher quality for the research of mesoscopic numerical simulation of concrete.

Key words： concrete； random aggregate mold； particle size distribution； bonding interface layer； algorithm improving