初中數(shù)學“實驗切片”銜接教學的實踐與思考

孫朝仁 朱桂鳳

數(shù)學實驗為理解數(shù)學提供了內源幫助。蘇科版初中《數(shù)學》教科書中提供了大量的數(shù)學實驗素材，為破解難點、突出重點、消除盲點提供了研究載體;江蘇科技出版社出版的《義務教育數(shù)學教科書·數(shù)學實驗手冊》為初中開展數(shù)學實驗提供了教學載體。但由于課時長度、教學容量、實驗條件的即時性局限，課堂無法完整銜接既定的數(shù)學實驗。如何做好教學上的適應性銜接，值得研究。實踐證明：以“實驗切片”形態(tài)呈現(xiàn)更契合初中數(shù)學課堂現(xiàn)實，有利于數(shù)學實驗教學的常態(tài)化開展。

一、數(shù)學實驗切片教學的價值探問

在中小學數(shù)學教育中需要培養(yǎng)學生的建構思維，這是王光明教授的數(shù)學教育命題觀。而建構思維的常態(tài)培養(yǎng)離不開實驗切片的隨機切入，因為切入的過程就是認知建構“瞬時”內源化的過程。這里的“建構”包括認知建構的外源化（意義建構雙基）、辯證化（再發(fā)現(xiàn)已有概念和命題）和內源化（形成個性化特征的數(shù)學思想方法），而建構內源思維是切片實驗努力的主流方向，是數(shù)學認知理解的動力源和原動力，具有創(chuàng)造的突發(fā)性并與直覺思維相聯(lián)接。因此，數(shù)學實驗切片（實驗碎片）可以調和教學需求和容量有限的矛盾沖突，實現(xiàn)主實驗有效切入“四基”序列并邏輯化的實驗初衷，能常態(tài)落實“積累活動經(jīng)驗”的輔助教學功能。

就后現(xiàn)代教育心理學而言，數(shù)學思維的過程就是學習心理縱向活動的過程。由于實驗切片承載縱向知識理序化的銜接功能（由數(shù)學到數(shù)學），因此實驗“切片”的過程就是垂直化學習心理幡然醒悟的過程，也是心理學習水平漸次攀升的過程。《知識與控制》一書的作者倫敦大學的Michael Young教授將知識分為水平知識（日常生活經(jīng)驗的知識）和垂直知識（系統(tǒng)的概念性知識），認為課程知識要超越日常生活知識，垂直知識教學要懸置學生經(jīng)驗。這里的“超越”意味著概念心理水平的抬升，而較高層次心理水平的垂直變遷離不開切片實驗的直觀鋪墊，因此切片實驗造就垂直化學習心理樣態(tài);這里的“懸置”反映胡塞爾的哲學思想，意味著“因獨立而存在，因存在而依存”的個概念經(jīng)驗，唯有騰出原本騰不出的時空讓學習者經(jīng)歷切片實驗，方能契合因垂直而理解并系統(tǒng)化銜接個概念的學習心理。

二、數(shù)學實驗切片教學銜接的案例分析

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》在實施建議中指出，積極開發(fā)和有效利用各種課程資源，注重課程內容的整合，鼓勵教師自制教具以彌補教學設施的不足。這里的“利用”“整合”“彌補”反映課程教育對限量課堂的一種效益期待，“效益”離不開難點破解和重點把握，而實驗切片能實現(xiàn)原有的教學手段難以達到甚至夠不到的效果，因此切片實驗貼合“問學”課堂教學內需的現(xiàn)狀。由于概念、符號、方法規(guī)律的認知屬于灰色區(qū)域，對分析思維尚未健全的初中生而言，研究銜接概念型、符號型、方法型切片實驗案例尤為迫切和必要。

1.概念型實驗切片

在實驗切片“在數(shù)軸上表示無理數(shù)”中，設置實驗流程為：（1）拼一個面積為2的正方形;（2）在數(shù)軸上表示這個面積為2的正方形的邊長所對應的點;（3）經(jīng)歷操作，你得到怎樣的結論？該實驗切片是由蘇科版《數(shù)學》“2.3數(shù)軸”第1課時的教學環(huán)節(jié)剪切而來。這節(jié)課共設計四個活動，“做一做和練一練”引導學生通過“自做”“自研”“合研”等外源方式習得有理數(shù)與數(shù)軸上點的對應關系;“試一試和說一說”則是“實驗切片+反思歸結”，引導學生通過“心做”“手做”“嘴做”等內源方式理解無理數(shù)與數(shù)軸上點的對應關系，從而實現(xiàn)個概念的水平化理解，示范概念型實驗切片隨機銜接的課堂樣態(tài)。

就《義務教育教科書·數(shù)學實驗手冊》七年級上冊“實驗2：在數(shù)軸上表示無理數(shù)”設計方案而言，切掉計算機模擬環(huán)節(jié)和“在數(shù)軸上表示圓周率所對應的點”操作環(huán)節(jié)，將其放在課后作為兒童發(fā)展思維的載體;就教材呈現(xiàn)的實驗素材而言，將“2.2有理數(shù)與無理數(shù)”的“議一議”活動素材（將兩個面積為1的正方形沿對角線剪拼成面積為2的正方形）剪切做成實驗切片的流程（1），而流程（2）則是教材呈現(xiàn)的主實驗，只不過在做的過程中學生呈現(xiàn)兩種方案（將小直角三角形的斜邊或直角邊放在數(shù)軸上，一端與原點重合并拼出符合條件的圖形），而教材僅呈現(xiàn)一種直觀方案（即前一種方案）。執(zhí)教者這樣切片實驗目的有二，一是基于時空受限課堂無法銜接完整實驗的客觀現(xiàn)實;二是基于學生現(xiàn)有分析思維無法直接夠到“在數(shù)軸上表示無理數(shù)”的理解事實。實施該實驗切片，體現(xiàn)“理論”為“直觀”讓步的教學機智，進而達成因切片實驗而破解難點的本質初衷，解決了理論課堂與直觀實驗在邏輯化關聯(lián)過程中產生的時空矛盾，實現(xiàn)常態(tài)課堂與適應性主實驗的有機接軌。

2.符號型實驗切片

在實驗切片“翻牌游戲”中，實驗流程設置為：請取出7張撲克，全部正面朝上放在桌上，每次翻3張（包括已經(jīng)翻過的）。你能夠經(jīng)過若干次翻牌，所有的撲克都正面朝上嗎？若每次翻2張能成功嗎？為什么？本實驗切片由近期《數(shù)學實驗手冊》使用培訓會的一節(jié)研討課剪切而來。原實驗是一節(jié)完整的數(shù)學實驗課，共設置4個由特殊到一般的雙向思維活動。筆者僅剪切前兩個活動作為破解“有理數(shù)乘法符號定性”這一難點的研究載體。就蘇科版《數(shù)學》七年級上冊第59頁呈現(xiàn)的數(shù)學活動“算24”而言，該實驗由玩撲克活動經(jīng)歷內顯變式并適度拓展而來;就《數(shù)學實驗手冊》設計的“實驗5：撲克牌游戲”是對抽象算式的直觀化探尋和釋義，在本質層面也是對“算24”思維活動的水平拓展和垂直延伸。就實驗切片作為直觀理解的工具而言，筆者認為翻牌游戲的主價值在于“確認有理數(shù)乘積符號”這一結論的直觀意義，不在于流程的完備和元認知的反復介入，因為數(shù)學實驗起于直覺終歸于理解。

蘇科版《數(shù)學》七年級上冊“2.6有理數(shù)的乘法與除法”第1課時，難點是有理數(shù)乘法運算“結果符號的確定”，而“有理數(shù)乘法法則”理解的難點也是抽象的“同號得正、異號得負”。為此教材編者作了直觀上的努力，以水文觀測中的水位上升和下降為直觀背景，通過“做一做”“試一試”“議一議”螺旋上升的活動，引導學生探索法則的合理性（重在認證符號規(guī)定的合情性），其難度可見一斑。盡管新蘇科版教材因容量的限制刪掉“有理數(shù)乘法符號法則”（幾個有理數(shù)相乘，積的符號由負因數(shù)的個數(shù)確定。當負因數(shù)的個數(shù)為奇數(shù)時，積為負;當負因數(shù)的個數(shù)為偶數(shù)時，積為正），但在運算過程中學生依然必須內化理解它，方能正確解答。為了后續(xù)相關學習的需要，筆者剪切該實驗切片，在課尾讓學生在翻牌中體驗“7翻3成功，而7翻2不成功”的直觀原因（-1×（-1）3=1，-1×（-1）2=-1），從而內化“符號規(guī)約”的合理性，釋放實驗切片適切銜接應有的直觀價值。

3.方法型實驗切片

在實驗切片“借助拼圖把握配方法”中，實驗流程設置為：（直觀表示一元二次方程x2+6x-7=0的配方過程）（1）任意畫出一個長為（x+6），寬為 x的矩形;（2）將該矩形剪成一個邊長為x的正方形和長為x、寬為3的兩個全等的矩形;（3）不重合、不黏貼、不再剪切的情況下能拼成正方形嗎？若想拼成正方形還需添加什么條件？（4）若原矩形的面積是7，新拼成的正方形面積是多少？此時，能得到怎樣的關系式？該實驗切片是由新蘇科版《數(shù)學》九年級上冊“1.2一元二次方程的解法”第2課時（配方法）“數(shù)學實驗室”素材變式加工而來。教材站在平方根的基礎上講述一元二次方程的解法直接開平方法，又在直接開平方的基礎上呈現(xiàn)配方的方法論體系。尤其是在配方過程中，對“方程的兩邊總要加上一次項系數(shù)一半的平方”這一硬性規(guī)定的理解，學生處在“知其然，但不知其所以然”的“悱憤”狀態(tài)，所以切入直觀的圖式語言尤為必要和關鍵。為此，筆者隨機切入該實驗切片，可以達成以下兩個目標：一是通過剪拼圖形將抽象的配方過程直觀顯示，讓學習者體驗配方規(guī)約的合情性;二是通過割補矩形構造正方形的過程，直觀顯化“二次項系數(shù)為1的方程，兩邊加上一次項系數(shù)一半平方”的合理性。另外，筆者一直認為“照單全收”不是藝術的剪切，由大量的模仿操練獲得的解題技術不具有長久性，會因“消化不良”而漸次放空。因此“巧做”遠比“派送”來得深刻，這與詩人陸游“紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行”的“致用”思想血脈相連。

就教材呈現(xiàn)的數(shù)學實驗素材而言，借助拼圖特例直觀表達一元二次方程配方流程的合理性。教材編者為研究x2+2x-24=0的配方過程，借助“變形+轉化”方法構造可配方的形態(tài)：x（x+2）=24。這樣具體運演配方的過程，就可看成一個長是（x+2）、寬是x、面積是24的矩形割補成一個正方形。這樣的直觀思考改造，就為形式運演切片實驗的適應性制作提供可資借鑒的研究范式。就配方法在教材中的地位而言，具有“萬能”稱號的配方法對解答一元二次方程是不可或缺的，研究方法論意義重大。后續(xù)的一元二次方程根的判別式、二次函數(shù)的頂點式、一元二次不等式、余弦定理、圓的標準方程等基于定向變形構造完全平方式的結構體系都與配方法通體相關。就配方法的數(shù)學理解而言，初中生的經(jīng)驗思維和直覺思維尚占主導地位，理解抽象的配方法其難度可想而知。銜接直觀實驗切片成為解除理解困惑的內在需求，所以簡單的操練必須為直觀的理解讓步，方能讓技藝性模仿形成產生式系統(tǒng)，否則無法形成由“知”到“識”的技能。因此，在課末銜接適應性實驗切片意義非凡。

三、數(shù)學實驗切片教學的銜接觀點

實驗切片具有直擊主流思維的優(yōu)勢，但因其輔助工具的地位，不應是教學主流，所以只在必須處插入其理解功能，實現(xiàn)必要的理解幫助和幫助理解。就目前研究結論而言，筆者認為在以下三個時機必須切入適應性實驗切片。

1.數(shù)學內部知識無法垂直聯(lián)結時需要銜接實驗切片。數(shù)學內部知識的邏輯形態(tài)是梯級攀升的，垂直聯(lián)結相關概念的過程，就是理解把握科學形態(tài)數(shù)學概念的再造過程。對于上述概念型切片實驗涉及的有理數(shù)與無理數(shù)兩概念，前者與小學算術緊密銜接，水平化理解有理數(shù)概念不困難，但從有理數(shù)走向無理數(shù)卻是認識論層面的躍遷（垂直聯(lián)結），沒有切片實驗的直觀分析和數(shù)據(jù)量化實驗，讓兒童感知“找不到一個數(shù)的平方等于2”和感受“無限”的過程，就很難接收“無理”的無理數(shù)。因此，垂直概念無法邏輯貫通時需要切片實驗的適應性幫助。

2.思維內源認知無法通達運演時需要銜接實驗切片。數(shù)學力的培養(yǎng)應以思維概括力的作用為基礎，概括力釋放的過程就是內源認知思維通達運演的過程。正如上述鋪成的符號型切片實驗，是借助翻牌研究有理數(shù)乘法符號法則。按條件翻牌的過程就是學生內源認知概括符號論斷的過程，也就是抽象的符號規(guī)約在直觀運演時得以通達化，進而形成定性的內源認知產生式（負數(shù)的個數(shù)決定符號的性質）。因此，內源認知打結時需要直觀的切片實驗捷足先登，方能實現(xiàn)由“識”到“能”的縱向運演而通達。

3.客體現(xiàn)實經(jīng)驗無法調和并軌時需要銜接實驗切片。中學數(shù)學課程是數(shù)學概念、原理和方法的體系，掌握方法遠比中空訓練來得有價值。而方法體系的產生依托于客體（學生）現(xiàn)實經(jīng)驗客觀化，客體個經(jīng)驗調和并軌的過程就是客觀經(jīng)驗形態(tài)的形成過程。由算術平方根到直接開平方是橫向知識的序列化，而由直接開平方到配方法卻是縱向知識的邏輯化。切片實驗割補圖形的過程，就是并軌“條件方程兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方”個經(jīng)驗的認識過程。唯有借助切片實驗的直觀調和，方能達成由“能”到“力”集體經(jīng)驗的變遷。

此外應注意的是，對新事物的認識需要有自己的判斷力，數(shù)學實驗概莫能外。實驗切片更有能力擔當輔助工具的責任，《義務教育數(shù)學教科書·數(shù)學實驗手冊》需要在后續(xù)的改造中進行適應性革新，讓其貼著課堂現(xiàn)實行走。

（孫朝仁，連云港市教育科學研究所，222006;朱桂鳳，連云港市新浦中學，222003）

責任編輯：趙赟