利用空間向量法培養學生解題能力的研究

屈秀環

摘 要：講新授課時，空間向量法引入的時機要恰到好處因為向量法提前介入立體幾何教學會造成學生能力的缺失、思維的僵化、學習意愿的下降，喪失了空間立體感培養的機會，為高考留下了隱患。

關鍵詞：學生;空間向量法;空間立體感

中圖分類號： G633.63文獻標志碼：A文章編號：1008-3561（2015）12-0040-01

高中階段立體幾何的教學被分成了兩部分，第一部分被安排在數學2的第一章“空間幾何體”和第二章“點、直線、平面之間的位置關系”，主要是培養學生的空間想象能力、推理證明能力;傳授解決立體問題傳統方法——幾何法，一般在高一進行教學;在第一階段的學習中，應該重視基礎的幾何方法，如做垂線;掌握研究立體幾何問題的傳統方法，逐步提升學生的空間想象力和推理能力。第二部分被安排在選修2-1的第三章“空間向量與立體幾何”，主要介紹向量法在立體幾何中的應用，一般在高二進行教學。第二階段，在傳統幾何方法的基礎上，從空間向量入手，引導學生從代數的角度研究幾何問題。它的最大優勢是讓學生從眼花繚亂的點線面位置關系中解脫出來，不添加任何輔助線，直接通過向量運算“輕松”解決立體幾何教學中的位置關系、角度、距離等問題。目前很多學校按照必修課本1、4、5、3、2的順序教學，這就使得必修2與選修2-1銜接到了一起，這樣的做法無疑是想要讓“一塊兒”的內容成為一個系統。那么這樣的做法是利大于弊，還是弊大于利呢？該怎樣把握空間向量法的引入“時機”才能對立體題應對自如呢？

一、應試中“空間向量法”的優勢

如下圖，在底面是直角梯形的四梭錐S-ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90O，SA⊥平面ADBC，SA=AB=BC=1，AD=，E為SC中點。

（1）求證：DE∥平面ABS。（2）求平面SCD與平面SBA所成二面角的正切值。這道題是一次數學期中考試題，這次考試恰在剛剛講完傳統幾何法還未開始空間向量法的節點上。但在網上判卷過程中，卻發現有一部分學生是利用空間向量法解決這道題的，這讓很多老師非常吃驚。這道題對于初涉立體幾何的學生來說，確實有點兒難;但是這道題沒有在如何建立坐標系上設置難度，若采用空間向量法會顯得非常輕松。最后的結果也表明：采用空間向量法的得分率遠遠高出傳統幾何法。利用向量法處理立體幾何問題確實常常可以起到化繁為簡、化難為易的效果，也因此深受廣大師生的青睞，向量法也逐步成為當前考試應試的主流方法。

二、急功近利導致學生空間立體感缺失，空間向量法在解題中凸顯尷尬

本次考試之后，學校開展了向“優秀成績班級學習”的活動，很多教師到已經講了空間向量法的班級去聽課。在課上，教師拋出一道例題：在三梭錐P-ABC中，PA=PB=AB=BC，∠PBC=90O，D為AC中點，AB⊥PD.（1）求證：平面PAB⊥平面ABC。（2）求二面角B-PD-C的余弦值。看到很多學生遲遲不肯動筆，教師有些著急。教師：這道題你們打算用什么做法？學生：向量法。教師：為什么不動筆？學生：找不到坐標系。教師：為什么不嘗試傳統幾何法？學生：不知從哪開始……由此可見，學生對于做輔助線等基本方法還知之甚少，運用定理證明能力相差甚遠。但是為了應付考試，教師對于向量法的教學采用了“速成”的做法：刪減了傳統幾何法的教學時間，提前向學生傳授了向量法，但只局限于最常用的坐標運算，對于建系問題并沒有進行深入的探討，學生對于向量法的理解也只停留在“皮毛”上。這樣急功近利的做法暴露出了嚴重的后遺癥：如學生的想象能力過于薄弱，不會構造最基本的幾何輔助線;學生推理能力缺失，顯而易見的幾何關系不會想到去證明。而這兩大能力是否也可以在立體幾何的后續教學中加以補救呢？若教師依然以向量法為重頭戲，對這兩大能力的培養顯然起不到任何作用;若教師有心回轉到傳統幾何法的教學中，恐怕學生的學習意愿會大大折扣，嘗過了向量法的甜頭，他們還會有動力重新學習傳統的幾何法嗎？恐怕是傳統幾何法會更加招學生”煩”。

三、向量法引入過早，導致學生學習空間立體感缺失

如右圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，平面A1BC⊥側面A1ABB1。（1）求證：AB⊥BC。（2）若直線AC與平面A1BC所成的角為θ，二面角B-A1C-A的大小為Φ，當A1A=AC=2BC=2時，求sinθ·sinΦ的值。這是這屆學生升入高三后，高三強化訓練中的一道考試題，原本傳統幾何法要比空間向量法簡單得多，但是卻無一人選擇傳統幾何法。由此可見，學生根本沒有耐心審題，然后根據具體的題目選擇恰當的做法，而是毫不猶豫地選擇坐標法，一味地通過“建系——埋頭苦算”的固定方式解決靈活多變的立體幾何問題。學生的思維已經趨向僵化，如果不采取有效措施，后果會非常嚴重。至此，我們可以明確，向量法的提前介入對學生來說并非好事。一方面，由于基礎知識的鋪墊不夠，從而直接影響向量法的后續學習;另一方面，學生過早接觸向量法后，面對強大的向量法，艱澀的傳統方法必然被學生所拋棄，那么第一階段的學習成果也就付之東流了。于是乎，向量法成了學生的救命稻草，這也就意味著學生在立體幾何學習上開始故步自封了。這樣，學生的解題思維也就僵化了。

向量法的教學必須遵循規律，放眼長遠，任何短視的行為，最終都要出代價。因此，傳授解決立體問題傳統方法是：第一階段，應在高一進行幾何法教學。在第一部分的學習中，應該重視基礎的幾何方法，掌握研究立體幾何問題的傳統方法，逐步提升學生的空間想象力和推理能力;第二部分主要介紹向量法在立體幾何中的應用，一般在高二進行教學。第二階段，在傳統幾何方法的基礎上，從空間向量入手，引導學生從代數的角度研究幾何問題。這樣，穩扎穩打，學生做立體題才能靈活選擇、運用自如，不留遺憾。

參考文獻：

[1]楊建筑.例談運用空間向量法解立體幾何題 [J].中學生數理化，2011（04）. ?[2]蒙瑞森淺析用向量法解立體幾何問題[J].中學教學參考，2010（20）.