在高中函數教學中滲透數學思想方法的四種策略

【摘 要】分析數學思想方法的涵義及其重要意義，講解在高中函數教學中應用四種數學思想方法的策略：數學模型的數學思想方法，數形結合的數學思想方法，化歸、類比數學思想方法，分類討論數學思想方法。

【關鍵詞】高中函數 數學模型 數形結合 化歸類比 分類討論

【中圖分類號】G【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2015）10B-0082-02

近些年，隨著我國新課程的逐步深入，在具體教學中對教育工作者使用的教學方法提出更高的要求，多數教育工作者對教學方法展開深入研究。高中數學函數貫穿整個高中數學的學習過程，是學生學習的重點和難點部分。在高中數學函數教學中運用數學思想方法，有助于學生構建完善的知識體系，提升學生解決問題的能力。文中根據高中數學教學例題，在高中數學函數教學過程中滲透分類討論、化歸、數形結合等思想，不斷提升學生的數學思維能力，為日后學習更復雜的相關知識奠定良好的基礎。

一、數學思想方法的涵義及其重要意義

數學思想方法是指針對某一數學問題進行分析及探索過程中，形成最佳的解決問題的思想，為準確、客觀分析、解決數學問題提供合理、操作性強的方法。函數是高中數學的主要內容，也是考試的重點。復習函數時必須有針對性、有效性地了解高考常見的命題的特點和要點，重點進行復習，做到心中有數。將數學思想方法當做數學基礎知識是新課標提出的要求之一，教師在教學過程中，要重視滲透數學思想方法。目前，從歷年高考的試題來看，高考考試的重點是查看學生對所學知識的靈活應用及應用的準確性。數學科目考查的關鍵點是學生數學思想方法及解題的能力，因此，數學思想方法具有重要的作用。

二、在函數教學中應用數學思想方法的策略

（一）借助熟悉的數學模型解決問題的數學思想方法的應用

數學知識的學習與掌握必須由聽講、練習、復習等過程鞏固，數學思想方法必須經過反復練習才能讓學生真正領悟。通過反復練習、逐步完善讓學生形成利用數學思想方法來解決問題的意識，構建自我數學思想方法解題系統。開展函數教學，重點是培養學生的分析、綜合思維方法，訓練學生依據已知條件，分析、討論問題，并對知識進行整合，借助數學模型來解決問題。如下面的例子。

〖解析〗這是一道較為典型的函數例題，老師可根據數學思想的要求傳授給學生解題的方法，同時，可以以此對其他相關例題的解題方法進行概括性地講授，確保學生遇到這類題目時可以快速、準確地找出解題方法。

本例題構造出奇函數g（x），然后再借助奇函數定義來進行解題，非常容易地解答出來。解這道例題時構造的數學思想方法，在以后的實際解題中都可應用。對此類題目，我們一般會構造一個比較熟悉的模型，從而將不熟悉的轉化為所熟悉的問題來進行思考、解答。例如，學習三角函數時，經常會運用輔助角公式構造一角一函數的已有模型。由此可知，構造法有助于學生多方位地思考問題，對提升學生學習的深度和廣度具有重要意義。

（二）數形結合的數學思想方法的應用

數形結合是數學解題中比較常見的思想方法，運用這種方法可將部分抽象的數學問題轉變成直觀的內容，促使問題的求解更加簡潔。

根據圖1可知，無論a取任何值，函數圖象均要過定點（0，1），且函數值大于0。如果底數a取大于1的值，函數在定義域R上為增函數，如果其自變量趨于正無窮時，函數值也趨于正無窮，a值越大，趨近速度越快；如果0

例3 已知y=f（x+）+5為奇函數，求出y=f（x）的對稱中心。

解 根據題意可知，y=f（x+）+5的對稱中心是（0，0），而y=f（x+）+5下移5個單位之后，向右邊移動個單位得出函數y=f（x），∴y=f（x）的對稱中心為（，5）。

〖解析〗數形結合思想是數學教學的重要思想之一，主要包括“以形助數、以數輔形”這兩方面的內容。以形助數和以數輔形可以讓繁雜的問題變得更加直觀、形象，提升數學問題的嚴謹性和規范性。因此，當某些問題從數量關系觀察無法入手解題時，如果將數量關系轉變為圖形，運用圖形的性質規律就能更直觀地描述數量之間的關系，從而將復雜的問題簡單化。因此，對部分抽象的函數題目，數學教師應正確引導學生運用數形結合的思想方法，使得解題思路峰回路轉，變得清晰、簡單。

（三）化歸、類比數學思想方法的應用

化歸、類比思想是指將抽象、復雜的數學問題轉化成簡單、熟知、直觀的數學問題，提升解決問題的速度和準確性。函數中多數問題的解決都離不開化歸、類比思想的應用。其中化歸思想是分析、解決問題的基本思想，可提升學生的數學思維能力。

〖解析〗這一例題解決的過程將x<0轉換成-x>0，展現出化歸的數學思想。化歸與類比是基礎的、重要的數學思想方法，高中數學老師必須熟悉化歸思想，有意識地利用化歸和類比思想解決相關的數學問題，并將這種思想滲透到學生的思想意識內，訓練和加強學生解決數學問題的應變能力，提升學生的數學思維能力。

（四）分類討論數學思想方法的應用

分類討論思想就是依據數學對象的本質屬性中的共同點，把數學對象劃分成多個種類而實施求解的一種數學思想。在高中數學函數教學中使用分類思想方法，有利于學生形成縝密、嚴謹的思維習慣，養成良好的數學品質。解決數學函數問題時，如果無法從整體角度入手解決問題時，可以先從局部層面解決多個子問題，一步一步地解決它，那么最終就能有效地解決整體的問題。

例5 求解函數f（x）=1g（ax-k2x），（a>0且a≠1，k∈R）的定義域。

解 如果函數f（x）有意義，則ax-k2x>0，可以得到（）x>k。

由于指數函數的值域為（0，+ ∞），若k≤0時，該式子恒成立；如果k>0，對（）x>k兩邊取對數。根據對數函數的性質可知，當底數大于1時，對數函數為增函數；當底數大于0小于1時，對數函數為減函數。本例題指數的底包含參數，必須對其實施分類討論。如果a=2時，k<1。當k值處在0

分類討論是對部分數學問題進行討論，當題目所給出的對象不能展開統一研究時，必須依據數學對象本質屬性的特點，把問題對象劃分為多個類別，隨之逐類展開討論和研究，從而解決問題。在高中數學函數教學過程中，經常會根據函數性質、定理、公式的限制展開分類討論。當問題內的變量或包含的參數需要討論時，必須實施分類討論。

例6 f（x）是定義在R上的偶函數，其在（-∞，0）區間上單調遞增，求解不等式

解 由題意可知， f（x）在區間（0，∞），單調遞減∴2a2+1>a2+3

即 不等式的解集為

〖解析〗本例題解法可以根據函數圖象，借助偶函數圖象關于y軸對稱進行解決，也可以根據兩個變量所處的區間，利用分類討論的思想來解決。對復雜的問題進行分類和整合時，分類標準與增設的已知條件要相等，以完成有效的增設。把大問題轉換成小問題，優化解題思路，降低解決問題的難度。分類討論數學思想方法要求將各類情況各種結果考慮全面，依次研究各類情況下可能出現的結果。解不等式和導數經常用來考查分類思想討論方法，為此，日常教學中必須對學生滲透分類討論思想方法。

總之，函數是整個高中數學教學中的重要部分，對其日后學習高等函數具有重要作用。高中數學函數知識涵蓋多種數學思想方法。因此，老師必須對函數實施合理的教學，讓學生更全面地掌握數學思想方法，提升學生的綜合思維能力。

（責編 盧建龍）