發(fā)散思維教學(xué)法在高中“圓錐曲線和方程”教學(xué)中的應(yīng)用

【摘 要】文章簡要講解發(fā)散思維的概念，從三個方面闡述在高中數(shù)學(xué)課堂中培養(yǎng)發(fā)散思維的方法，并以一道典型的圓錐曲線和方程的例題來進(jìn)行詳細(xì)講解，為同行提供參考。

【關(guān)鍵詞】發(fā)散思維 高中數(shù)學(xué) 圓錐曲線和方程

【中圖分類號】G【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A

【文章編號】0450-9889（2015）10B-0086-02

數(shù)學(xué)是一門工具學(xué)科，數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)對于其他學(xué)科的學(xué)習(xí)也有著很大的幫助。隨著素質(zhì)教育的推進(jìn)，新時期的教育越來越重視學(xué)生綜合能力的培養(yǎng)。發(fā)散思維能力是創(chuàng)新思維的重要內(nèi)容，尤其是在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維能力的意義重大。為此筆者以“圓錐曲線和方程”一課為例，探索在高中教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維能力的方法。文章從一道典型的圓錐曲線和方程例題為切入點(diǎn)，總結(jié)和歸納數(shù)學(xué)課堂發(fā)散思維教學(xué)的策略和方法。

一、發(fā)散思維的概念

思維是人類大腦對客觀事物規(guī)律和特性做出的直接或間接概括性反應(yīng)，是人類在經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上對客觀事物的進(jìn)一步認(rèn)知。發(fā)散性思維就是能夠在已有信息和知識結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上進(jìn)行思維發(fā)散，從更多的角度和方向去思考問題。體現(xiàn)在數(shù)學(xué)問題以及數(shù)學(xué)能力中，就是能在已知數(shù)學(xué)知識體系和結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，使用更多的方法或者思路去解決數(shù)學(xué)問題。發(fā)散思維不僅是創(chuàng)新能力的組成，同時也是判定一個人創(chuàng)新能力的重要標(biāo)準(zhǔn)，對學(xué)生的未來發(fā)展有著重要的意義。

二、高中課堂教學(xué)中發(fā)散思維能力的培養(yǎng)方式

發(fā)散思維能力的培養(yǎng)有著重要的意義，發(fā)散思維能夠輔助創(chuàng)建良好的教學(xué)氛圍和情景，通過一題多解、一題多變、一圖多用等多種變換的方式激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和積極性，充分調(diào)動學(xué)生的求知欲，讓學(xué)生的思維更加活躍。

（一）從情感上給予啟迪

每個人都有個人的情感，思維是在情感活躍的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，人的情緒受到壓抑或阻礙下是很難進(jìn)行思維發(fā)散和創(chuàng)新的，這一點(diǎn)在教學(xué)中是必須要注意的地方。為此在教學(xué)中必須注意對學(xué)生進(jìn)行情感上的啟發(fā)，具體的做法大致有以下幾種：首先構(gòu)建良好的師生關(guān)系，其次能夠有效地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動力和探索激情，最后讓學(xué)生維持學(xué)習(xí)的熱情。在課堂上讓學(xué)生情緒和思維處在一個活躍的狀態(tài)，是發(fā)散思維教學(xué)的重點(diǎn)。

（二）培養(yǎng)思考問題的方式

很多時候?qū)W生拿到題目后就下手做題，這種方式通常來說比較湊效，但是這種方式并不利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力。為了讓學(xué)生能夠在短時間內(nèi)使用最為合理有效的方式解決問題，必須對學(xué)生進(jìn)行發(fā)散思維能力的培養(yǎng)，積極引導(dǎo)和鼓勵學(xué)生從多個角度來分析和思考問題，抓住問題的核心和關(guān)鍵點(diǎn)，盡量避免從單一原因或者單一解題思路去解決問題。打破傳統(tǒng)的、中規(guī)中矩的思維模式，讓學(xué)生養(yǎng)成多角度思考問題的習(xí)慣，并在思維中尋求最佳的解決方案。特備是在高中階段，這對教師提出了更高的要求。教師可以通過逆向思維、探究思維等多種思維模式進(jìn)行積極嘗試，培養(yǎng)學(xué)生思考問題的方式。

（三）創(chuàng)新解決問題的方式

解題的過程是學(xué)生思維運(yùn)用的過程，通過培養(yǎng)學(xué)生一題多解、一題多變的能力，來提高學(xué)生的創(chuàng)新能力，從而提高學(xué)生的發(fā)散思維能力。在一題多解的教學(xué)過程中，大家公認(rèn)的解題方式和解題角度是有創(chuàng)新點(diǎn)的，所以要鼓勵學(xué)生充分地發(fā)散思維，找出與其他人不同的解題思路和方法。因?yàn)槊總€人的知識基礎(chǔ)和掌握知識的重點(diǎn)不同，會從不同的角度來思考問題，也會從中找到不同的解決問題的方法。通過這種方式在課堂上集合眾人之力，集思廣益，找出創(chuàng)新的思維和解題方法，達(dá)到發(fā)散思維的教學(xué)目的。

三、基于培養(yǎng)發(fā)散思維的教學(xué)案例分析

這里以高中數(shù)學(xué)人教版2003A版中第二冊復(fù)習(xí)參考題B組的一道題為例，通過該題的階梯方法教學(xué)過程，進(jìn)行總結(jié)和歸納，探討高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中發(fā)散思維能力的培養(yǎng)方法。

〖題目〗過拋物線 y=2px（p>0）焦點(diǎn)的直線與拋物線的交點(diǎn)分別為A和B，過A和B與拋物線的準(zhǔn)線做垂線，垂足分別為A'和B'，求證：∠A'FB'為直角。（見圖1）

〖教學(xué)分析〗

在拿到這個題目的時候，教師不應(yīng)該急于上手讓學(xué)生做題，而是要展開發(fā)散思維，讓學(xué)生思考此題的解法。教師可以在課堂上提問：什么定理和性質(zhì)與直角有關(guān)系？有的學(xué)生回答直線和圓的關(guān)系，有的回答成直角的直線斜率乘積為-1等，教師要注意發(fā)現(xiàn)學(xué)生思維中的閃光點(diǎn)，充分留給學(xué)生時間進(jìn)行思考。素質(zhì)教育的核心就是培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，發(fā)散思維是創(chuàng)新意識的基礎(chǔ)，啟動思維，讓一題多解，一題多變。

〖解法教學(xué)〗

方法2，向量法：

向量法的證明重點(diǎn)是歸納到FA·FB=0。

方法3，斜率法：

通過兩條直線的斜率乘積等于0證明可得。

方法4，勾股定理法：

由反向勾股定理求得。

這道例題的目的在于，通過一道典型的圓錐曲線的多種解題思路為學(xué)生構(gòu)建一個發(fā)散思維的環(huán)境和氛圍，來激發(fā)學(xué)生發(fā)散思維的興趣和動力。環(huán)境和氣氛對學(xué)生的影響很大，是一個教學(xué)引導(dǎo)的重要階段，突出教學(xué)的重點(diǎn)方向。隨后我們對這道題目進(jìn)行了發(fā)散，對題目進(jìn)行了變換。同一道題目進(jìn)行變換的好處在于，在已知知識點(diǎn)和充分熟悉本題的基礎(chǔ)上，形成知識的內(nèi)在聯(lián)系，讓學(xué)生充分掌握知識點(diǎn)的同時，能夠發(fā)散思維，充分發(fā)揮學(xué)生的現(xiàn)象力。教學(xué)如下：

變題1：在原題的基礎(chǔ)上，過AB的中點(diǎn)M向準(zhǔn)線做垂線，垂足為M'，證明∠AM'B為直角。

這里讓學(xué)生考慮，開始我們用到的幾種解法還適用嗎？讓學(xué)生自己完成計(jì)算和驗(yàn)證，如有學(xué)生說可以，則讓這部分學(xué)生到黑板板書自己的解題過程。

變題2：以AB為直徑做一個圓，求證圓與切線相切，且切點(diǎn)為M'。（如右圖2所示）

這里主要考察學(xué)生對圓空間關(guān)系和圓錐曲線知識的綜合運(yùn)用。

變題3：如果將題目中的拋物線換成其他的圓錐曲線，那么同樣的方式以焦點(diǎn)弦做一個圓的話，該圓和準(zhǔn)線的位置關(guān)系如何，請求證。

變題3對綜合能力的考察是最強(qiáng)的，是本次發(fā)散思維教學(xué)的重要延伸，也就是通過審視一道題目，在充分理解題目的基礎(chǔ)上進(jìn)行發(fā)散思維。而不再僅僅限制在題目本身，知識的教學(xué)也不再僅僅限制在常規(guī)的教學(xué)模式下，而是一場探究式的教學(xué)，是師生共同研究和發(fā)現(xiàn)問題的過程。對于同一個題目要鼓勵學(xué)生嘗試多種解題方法，讓學(xué)生思考同一個題目是否還有多種變化，是否有多種其他的考題和知識點(diǎn)。這里回到教學(xué)中，變題3的解法該如何解決呢？這里提出了其中一種解法如下。

然后結(jié)合e的取值范圍就可以知道以不同的圓錐曲線的焦點(diǎn)弦為直徑的圓和對應(yīng)準(zhǔn)線之間的位置關(guān)系了，通過這些變題可以讓學(xué)生充分地發(fā)散思維，利用圓錐曲線和方程的知識點(diǎn)進(jìn)行發(fā)散思維教學(xué)。

〖教學(xué)評價〗

教學(xué)評價是常規(guī)教學(xué)活動中重要的環(huán)節(jié)，教學(xué)評價是判定本次教學(xué)目標(biāo)和目的是否完成的過程。本次教學(xué)的核心任務(wù)是培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力，我們在了解學(xué)生對基礎(chǔ)知識點(diǎn)掌握情況的基礎(chǔ)上，檢測學(xué)生是否從中得到啟發(fā)，通過學(xué)生回答評定本次教學(xué)的效果。

〖課后思考〗

讓學(xué)生思考，當(dāng)圓錐曲線是雙曲線的時候，焦點(diǎn)弦對應(yīng)的圓心角有什么特點(diǎn)？（實(shí)際上為一個定值，留給學(xué)生課后思考）

〖教學(xué)總結(jié)〗

首先，本次教學(xué)中我們一開始就為學(xué)生營造了一個良好的探究式的氣氛。其次，發(fā)散思維的學(xué)習(xí)能極大地促進(jìn)學(xué)生打破常規(guī)思維方式，打破思維定式，在充分理解概念和基礎(chǔ)知識上取得更好的學(xué)習(xí)效果。最后，能夠拓寬學(xué)生的知識面，本次教學(xué)中對圓錐曲線題目進(jìn)行了很大的擴(kuò)充，包含了多個知識點(diǎn)的靈活應(yīng)用，讓學(xué)生在讀題、解題的過程中對知識點(diǎn)進(jìn)行橫向和縱向?qū)Ρ龋瑢⒅R點(diǎn)充分聯(lián)系起來，為思維總結(jié)和歸納創(chuàng)新的基礎(chǔ)，并在思維總結(jié)的基礎(chǔ)上開始創(chuàng)新思路。

社會需要具備發(fā)散性思維能力的創(chuàng)新性人才，所以在高中階段要在數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維。這樣不僅便于學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解，提升其創(chuàng)新能力，而且更能培養(yǎng)出適應(yīng)社會需要的人才。以上就一道經(jīng)典的圓錐曲線例題的教學(xué)設(shè)計(jì)和安排進(jìn)行了討論，將教學(xué)理論和教學(xué)實(shí)踐相結(jié)合，為在課堂教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維的方法提供了參考。

（責(zé)編 盧建龍）