冪級數在不等式證明中的一些應用

【摘 要】以兩個冪級數展開式，x∈（-1，1）和，x∈（-∞，+∞）得出的結果為基礎，探討冪級數在不等式證明中的一些應用。

【關鍵詞】冪級數 展開式 不等式

【中圖分類號】G【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2015）03B-0073-02

不等式的證明在數學中有著舉足輕重的作用和地位，是數學內容的重要組成部分，引起許多學者的廣泛關注。冪級數又是分析數學的重要工具，其在不等式的證明、函數逼近論等領域有著廣泛的應用，其中，結合冪級數展開式，x∈（-1，1），獲得如下結果：

定理A 對任意的a，b，c∈（-1，1），恒有

，及

結合冪級數展開式，x∈（-∞，+∞），可獲得如下結果：

定理1 對任意的a，b，c∈（-∞，+∞），恒有

定理2 對任意的a，b，c∈（-1，1），恒有

定理3 對任意的x，y，z∈（-∞，+∞），恒有

受以上啟發，本文結合一些新的冪級數的展開式，給出了一些新的不等式及其證明，并推廣了以上的結果。為了獲得本文的結果，先給出如下幾個關鍵引理：

引理1 對任意的a，b，c∈（-∞，+∞），n∈N（自然數集），恒有

引理2 對任意的a，b，c∈（-1，1），n∈N（自然數集），恒有

引理3 對任意的x，y，z∈（-∞，+∞），n∈N（自然數集），恒有

引理4 ，x∈（-∞，+∞），a>0

引理5 ，x∈（-1，1）

引理6 ，x∈（-1，1）

引理7

主要結果及其證明如下：

定理2.1 對任意的a，b，c∈（-∞，+∞），d>2，恒有

證明 由引理1可得

上式關于n累加可得

結合引理4可得

定理2.2 對任意的a，b，c∈（-1，1），d>1，恒有

證明 由引理2可得

，n=0，1，2，···

上式關于n累加可得

結合引理4可得

定理2.3 對任意的x，y，z∈（-∞，+∞），恒有

證明 由引理3可得

n=0，1，2，···

上式關于n累加可得

結合引理4可得

注1：如果取d=e，則定理2.1，定理2.2，定理2.3分別變為文的定理1，定理2，定理3.

結合引理7，類似定理2.2和定理2.3的證明，可得

定理2.4 對任意的a，b，c∈（-d，d），這里d>0，恒有

及

注2：在定理2.4中，如果取d=1，則定理2.4變成文中的定理A。

結合引理5，類似定理2.1、定理2.2、定理2.3的證明，可得

定理2.5 對任意的a，b，c∈（-1，1），恒有

定理2.6 對任意的a，b，c∈（-1，1），恒有

定理2.7 對任意的x，y，z∈（-1，1），恒有

結合引理6，類似定理2.1、定理2.2、定理2.3的證明，可得

定理2.8 對任意的a，b，c∈（-1，1），恒有

定理2.9 對任意的a，b，c∈（-1，1），恒有

定理2.10 對任意的x，y，z∈（-1，1），恒有

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（責編 盧建龍）