初高中函數概念的教學探討

【摘 要】高中階段函數的教學是初中階段函數教學的延續，它要求學生在集合與對應等思想的基礎上深刻理解函數概念。概念教學既要從學生接觸過的具體內容引入，又要從數學內部問題提出。初、高中函數定義的實質一樣，要建立好一致性的教學對應關系，學生才能更好地理解和掌握函數的概念。

【關鍵詞】變量 函數概念 概念內涵 對應法則

【中圖分類號】 G 【文獻標識碼】 A

【文章編號】0450-9889（2015）03B-0109-02

要提高數學教學質量，必須加強基礎知識、基本方法和基本技能的教學，而概念教學是這“三基”教學的核心。函數是中學數學的主干內容，與中學數學的大部分內容都有密切的聯系。鑒于此，函數概念最早出現在初二下學期的課本，而且在此之前的幼兒園、小學階段都已經滲透了有關函數概念的集合和對應的方法。到了高中，進一步深化函數概念，成為貫穿中學數學知識的一條主線。因此，歷屆數學教育家想方設法編出了循序漸進、螺旋上升、科學合理的函數內容教材，努力提高學生的數學文化知識。可是，教學效果仍然不盡人意，特別是在普通中學，許多學生讀到了高三，還說不清楚什么是函數。在此，筆者想與同行們共同探討如何進行初、高中數學函數概念的教學。

一、如何進行初中函數概念的教學

學生理解數學概念，一般是從感性開始的。采取從感性到理性，又從理性到實踐的過程進行教學，是符合學生認識規律的。課本準備了一些感性材料，讓學生經歷從典型、豐富的具體事例中概括概念本質的活動。初中課本準備了4個不同類型的實際問題：（1）畫出了表示某地某天內的氣溫隨時間變化而變化的圖形曲線。（2）繪出了2006年8月中國人民銀行公布的“整存整取”年利率表，表中顯示了年利率 y 隨著存期 x 的增長而增高。（3）給出了收音機刻度盤上的波長 λ（m）和頻率 f（kHZ） 的對應值表。（4）讓學生根據圓面積公式 S=πr2，填圓半徑 r 與面積 S 的對應值表。在上面的每一個問題中，先后出現了兩個相互依賴、相互制約、相互影響大小的變量，不妨分別用字母 x 和 y 來表示，引導學生發現：先出現的變量 x ，在允許的范圍內每取一個值，都會得出另一個變量 y 的一個值，或者說另一個變量 y 隨之就會只有一個值和它對應。由此概括抽象出初中函數定義：如果在一個變化過程中，有兩個變量，例如 x 和 y ，對于 x 的每一個值， y都有唯一的值與之對應，我們就說 x 是自變量， y 是因變量，此時也稱 y 是 x 的函數。可見，函數 y 是一個變量，但它不是獨立變化的變量，而是由自變量自變引起因變量因變的這樣一個變量，于是，把因變量 y 稱作是自變量 x 的函數。學生學習了定義之后，還要讓學生回到實踐，知道在客觀世界中，廣泛存在著函數的事例。比如，正方形的面積 S 是邊長 a 的函數；物體作勻速直線運動的路程 S 是時間 t 的函數等事例。當學生知道函數自變量 x 可以表示時間、長度、路程、電流等變量，知道因變量 y 可以表示溫度、利率、頻率、面積、電壓等變量。知道函數研究的對象是兩個有著主從依賴、互相制約的確定關系的變量，這兩個變量的值存在著一種特殊的對應關系時，學生就理解了初中的函數概念。至于兩個變量之間的主導與從屬關系，在一定條件下可以互相轉化，只能放在高中學習反函數時再去研究。

二、如何進行高中函數概念的教學

高中階段函數的教學是初中階段函數教學的延續，要求學生在集合與對應等思想的基礎上深刻理解函數概念。現行的高中教材類似于初中教材的設計，從函數具有豐富的實際背景出發，準備了三個不同類型的實際問題。問題（1）給出了炮彈距地面的高度 h（m） 隨時間 t （S）變化的規律 h=130t—5t2。問題（2）中的曲線顯示了南極上空臭氧層空洞面積從1979～2001年的變化情況。問題（3）給出了“八五”計劃以來我國城鎮居民恩格爾系數變化情況表。每個問題都給出了兩個變量各自的變化范圍，教材的意圖是要讓學生知道或發現這兩個變量之間對應關系的共同點，于是讓學生先回答課本 P16 的思考題：分析、歸納以上三個實例，變量之間的關系有什么共同點？

共同點：（1）兩個變量都有各自所屬于的非空數集；（2）這兩個非空數集之間的元素都有一種確定的對應關系 f ，使對于集合 A 中的任意一個數 x ，在集合 B 中都有唯一確定的數 y 和它對應。

不同點：兩個變量的對應關系表現形式不相同，實例（1）是解析式，實例（2）是一條曲線，實例（3）是數據表格。

于是，每個實例中的兩個變量之間的關系都可以描述為：對于數集 A 中的每一個 x ，按照某種對應關系 f ，在數集 B中都有唯一確定的 y 和它對應，并且把這種對應關系記作 f：A→B，從而得到了突出“對應關系”的高中函數定義：

設 A ， B 是非空的數集，如果按照某種確定的對應關系 f ，使對于集合 A 中的任意一個數 x ，在集合 B 中都有唯一確定的數 y 和它對應，那么就稱 f：A→B為從集合 A 到集合 B 的一個函數，記作 y=f（x）， x∈A。其中， x 叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域，與 x 的值相對應的 y 值叫做函數值，函數值的集合{f（x）│x∈A} 叫做函數的值域。這樣引入函數概念雖然自然，但是，學生知其然而不知其所以然。過去學習了“因變量 y叫做自變量 x 的函數”，現在為什么要把“數集 A 與 B 之間元素的這種對應關系 f：A→B叫做從集合 A 到集合 B 的一個函數呢？”過去講的函數是一個變量，現在講的函數是一種對應關系，學生誤以為有兩個完全不同的函數定義。

任何一個概念都反映事物的一定范圍（即事物的集合）和這個范圍內的事物的共同本質。概念所反映事物的范圍（或集合）叫做這個概念的外延，這些事物的本質屬性的總和（或集合）叫做這個概念的內涵。概念的外延和內涵分別描述了事物集合的量和質。定義概念就是準確地揭示它的內涵和外延。在中學進行新概念教學時，既要從學生接觸過的具體內容引入，也要從數學內部問題提出，這是比較好的一種教學方法。

既然學生過去學習了“ y 是 x 的函數”定義，就要從學生的認識水平出發，只要把初中函數定義進一步抽象一點點，把不是最基本的本質屬性“變化過程”和“變量”棄掉，只保留最基本的本質屬性，就會得出高中的函數定義。

現行高中教材準備的三個實際問題，仍然可以作為引入函數概念的具體事例。不過，先要根據這些具體事例，引導學生回憶、回答出初中的函數定義“y是 x 的函數”之后，提問：

一個函數的自變量 x 總有取值范圍嗎？因變量即函數 y 總有變化范圍嗎？

答：都有。

把自變量 x 的取值范圍記作 A ，因變量 y 的變化范圍記作 B 。再提問：

初中函數的最基本的特征是什么？

答：﹙1﹚自變量 x 有一個取值范圍 A ，因變量 y 有一個變化范圍 B 。

（2）對于數集 A 中的每一個數 x ，按照某個確定的對應法則 f ，都對應著數集 B 中唯一確定的數 y （把這個 y 記作 f（x））。我們把這種對應關系，稱之為從數集 A 到數集 B 的單值對應，記作f：A→B。

我們把從數集 A 到數集 B 的單值對應 f：A→B，叫做從集合 A 到集合 B 的一個函數，記作 y= f（x），x∈A。其中，x 叫做自變量，x 的取值范圍 A 叫做函數的定義域，與 x 的值相對應的 y 值（f（x））叫做函數值，函數值的集合{f（x）│x∈A}叫做函數的值域。

這樣，只保留初中函數最基本的兩個特征，就輕松地得出了高中函數定義。

三、初、高中函數定義的實質是一樣的

通過保留初中函數最基本的兩個特征，得出高中函數定義，學生容易知道初、高中函數定義的實質一樣：都是指兩個數集之間的元素單值對應，只不過初中函數定義側重于表達變量變化的結果，而高中函數定義側重于整體表達變量之間的全部對應和變化。初、高中函數定義的這種相同本質，可以用如下的簡易圖形示意：

四、解決初中函數不能解決的一些問題

通過減少初中函數概念的內涵，得到的高中函數概念的外延就會擴大，所以初中函數定義中的每一個函數，即初中講的“ y 是 x 的函數”，都是高中函數定義中的函數，都可以寫成“從集合 A 到集合 B 的一個函數”，但是，反之不成立。這樣，高中函數研究的范圍已經擴大，就能解決初中函數不能解決的一些問題，這就是發展概念的動機和原因。例如：

（1）y=sin2x+cos2x=1（x∈R）是函數嗎？

（2）y=與 y=x 是同一個函數嗎？等等，這些問題如果用初中函數定義就無法回答，但是，用高中函數定義就很容易解決。

五、反思高中函數定義

講授完高中函數定義之后，可讓學生反思：（1）定義中的“……，稱 f：A→B為從集合 A 到集合 B 的一個函數”。難道從集合 A 到集合 B 還會有另一個函數？比如，已知y=sin x，x∈[0，]是從集合[0，]到集合[0，1]的一個函數，讓學生找一找從集合[0，]到集合[0，1]的另一個函數，有y=cos x，x∈[0，]，等等。（2）除了高中學的函數之外，還會有別的函數嗎？

例如，設立方體長、寬、高、體積分別為x，y，z，V，則V=xyz，其中x，y，z都是自變量，這是一個有三個自變量的多元函數，不是中學的一元函數。

再如，y=±是函數嗎？

因為它不符合中學函數定義的“單值對應”，所以不是中學的函數，而是中學函數之外的多值函數。

通過反思高中函數定義，就不會書云亦云，師云亦云了。

六、鞏固、發展函數概念

函數概念的形成，不是一二節課就能完成的，學生學習了概念之后，還需要采取一些鞏固、發展概念的措施，羅列一些似是而非、容易產生錯誤的對象讓學生辨析，來促進學生認識概念的本質，確定概念外延的有效手段。例如（選自2011年湖北黃石必修1檢測題）：

在下列從集合 A 到集合 B 的對應關系中，不能確定 y 是 x 的函數是（ ）

（1）A={x│x∈Z}，B={y│y∈Z}，對應法則 f：x→y=；

（2）A={x│x>0，x∈R}，B={y│y∈R}，對應法則 f：x→y2=3x；

（3）A={x│x∈R}，B={y│y∈R}，對應法則 f：x→y：x2+y2=25；

（4）A=R，B=R，對應法則 f：x→y=x2；

（5）A={（x，y）│x∈R，y∈R}，B=R，對應法則f：（x，y）→S=x+y；

（6）A={x│-1≤x≤1，x∈R}，B={0}，對應法則 f：x→y=0。

解析：在對應法則 f 下，（1）A 中不能被 3 整除的數在 B 中沒有象。（2）A 中的數在 B 中有兩個數與之對應。（3）A 中的數（除去±5）在 B 中有兩個數與之對應。（5） A 不是數集。所以（1）（2）（3）（5）都不能確定 y 是 x 的函數。（4）（6）顯然滿足函數的特征， y 是 x 的函數。

一個概念即是對前面知識的總結，又是新知識的出發點，函數研究的是變量間的依賴關系，對應關系，因而討論函數的性質時，還是要突出一個“變”字，圍繞自變量，因變量的變化特征來界定。比如，當自變量 x 在定義域 A 中由小變大時，根據 y=f（x） 的變化特點，提出了函數的“增減性”“奇偶性”和“周期性”等概念。用這樣的思路來進行函數概念和性質的教學，能把概念教活，使學生獲取的知識成為一個有機的整體。

【參考文獻】

[1]陳森林.中學代數教學法[M].武漢：湖北人民出版社，1981.8

[2]蘇天輔.形式邏輯學[M].成都：四川人民出版社，1981

【作者簡介】傅任福（1962- ），男，回族，桂林市荔浦師范學校講師。

（責編 盧建龍）