“平面與平面垂直的判定”的教學反思

【摘 要】通過比較詳細地講解“平面與平面垂直的判定”這一教學內容，對新課標背景下開展的教學活動進行探討和反思，得出可靠的經驗。

【關鍵詞】平面與平面垂直的判定 創設情景 引導探究 自我嘗試 運用反饋 教學反思

【中圖分類號】 G 【文獻標識碼】 A

【文章編號】0450-9889（2015）01B-0087-03

一、教材分析

本節內容選自數學必修2（人教A版）第二章中“平面與平面垂直的判定”。立體幾何是以培養學生的邏輯思維能力和空間想象能力為主要目標。教材根據“認識空間圖形，培養和發展學生的幾何直覺、運用圖形語言進行交流的能力、空間想象能力與一定的推理論證能力”的新要求。本節在內容的安排和處理方式上，加強了引導學生通過自己的觀察、操作等活動獲得數學結論的過程。在平面與平面垂直的判定定理得出的過程中，注重對典型實例的觀察、分析，引導學生自主歸納、概括。本節課的設計按照新課標的要求，遵循“直觀感知——動手操作——歸納確認”的認識過程，引導學生歸納二面角的定義，探索二面角的度量，發現平面與平面垂直的判定定理。

二、教學過程實錄

（一）創設情景，揭示課題

問題1：平面幾何中“角”是怎樣定義的？

問題2：在立體幾何中，“異面直線所成的角”“直線和平面所成的角”又是怎樣定義的？它們有什么共同的特征？

以上問題讓學生自由發言，教師小結，并拋出問題：在日常生活中，有許多問題涉及兩個平面相交所成的角的情形，你能舉出一些例子嗎？

學生1：我們進出教室把門打開時，門面與門框面所成的角。

學生2：我們翻開課本時相應的兩頁面所成的角。

教師：如修水壩、發射人造衛星等，而這樣的角有何特點，該如何表示呢？（幾何畫板展示上述圖片，引導學生觀擦、研探）

（二）引導探究，建構概念

1.二面角的有關概念

活動1：師生分別展示一張長方形卡紙，對折后展平。

問題：折痕把平面分為幾部分？我們把它們叫做什么？

活動2：師生分別沿著折痕把其中一個半平面折起使兩個半平面成一個角度。

問題：從平面一點引的兩條射線組成的圖形是角，那么這個圖形又是什么呢？課件展示。（學生閱讀課本并填角與二面角對比框圖：包括圖形、定義、構成、表示）個別提問學生，

2.二面角的度量

教師：（1）門面與門框面所成的二面角；（2）兩頁面所成的二面角；（3）兩個半平面成的二面角。以上三個二面角中，當其中一個面繞著棱轉動時，所得二面角與原來相比有什么變化？（分三個組進行實驗操作：開門、翻書、折紙）

學生集體：二面角的大小變化了，兩個平面相交的位置發生了變化。

教師：二面角的大小定量地反映了兩個平面相交的位置關系，那我們應如何度量二面角的大小呢？（引導學生類比異面直線，線面所成角的平面化過程）

思考：（1）角的頂點取在哪里？（2）角的兩邊如何作出？（3）所作出的角大小唯一嗎？

活動3：帶著思考，每四個學生共同做一個小實驗（用活動2中做的二面角的模型）試著在二面角中畫出一個角來反映它的大小。（學生畫圖，交流，辨析，歸納做法）

學生3：在棱上取一點為頂點，在兩個半平面內各作一射線。

其他學生補充：射線要垂直于棱畫出的角才唯一。

教師：（1）頂點可以在棱上任意取嗎？頂點取不同位置大小有變化嗎？（幾何畫板演示）

通過實驗操作，學生研探出二面角大小的度量方法——二面角的平面角。

學生提煉二面角的平面角（如圖1所示）。

（1）在表示二面角的平面角時，要求“OA⊥L”，OB⊥L；

（2）∠AOB的大小與點O在L上位置無關；

（3）平面角是直角的二面角叫直二面角。

練習：教室相鄰兩個墻面與地面構成幾個二面角？

指出構成這些二面角的面、棱、平面角及其度數。

個別提問學生，通過學生的回答進一步強化二面角的平面角的尋找。并讓學生通過直觀感知給平面與平面的垂直下定義。

3.平面與平面垂直的定義

引導學生把文字語言轉化為圖示語言和符號語言，體現數學的簡潔美。教師對學生做法進行點評和完善。

教師：你們能說一說身邊出現的平面與平面垂直的例子嗎？

學生：把書直立在桌面上，書的封面與桌面垂直。

學生：把門打開時，門面始終與地面垂直。

學生：教室的墻面肯定與地面垂直。（組織學生實驗操作）

教師：數學與生活是息息相關的，我們平時要善于用數學的眼光看待周圍的事物。

教師：我們再來想一想：建筑工人在安裝門、在切墻時是通過怎樣方法來保證與地面的垂直的？

學生：安裝門時通過門軸與地面垂直。

學生：我看到砌墻工人砌墻時在墻邊吊了一根鉛垂線。

教師：生活經驗告訴我們這些方法能保證相應的兩個平面垂直，你們能從這些方法中找到判斷平面垂直的依據嗎？

學生：門軸，鉛垂線可以抽象為線，由此我們能得出只要平面內有直線與面垂直，那兩個平面就是垂直的。（通過學生的結論教師課件展示）

4.平面與平面垂直的判定定理

引導學生轉化為用圖象、符號來表示，認識到線面垂直與面面垂直的論證關系。同時讓學生思考、交流：

（1）若證面面垂直，線在哪里找，要滿足什么關系？

（2）有了線與面垂直，你能找到與這個面垂直的平面嗎？

（3）現在我們有多少種方法可以證明平面與平面垂直？

教師通過面向全體學生，檢查學生的理解程度，對學生做得不到位的地方及時點撥。

（三）自我嘗試，初步應用

例.如圖示，AB是圓O的直徑，PA垂直于圓O所在平面，C是圓周上不同于A和B的任意一點。求證：平面PAC⊥平面PBC。

教師生一起閱讀題目，在圖像上找出題目中的線、面。學生試著把證明的過程寫在草稿紙上。教師巡堂，從學生中收集不同的解法，用實物投影出來，師生一起點評，歸納出：

（1）面面垂直可用定義和判定定理去證明，要結合條件選擇較優的解法。

（2）用判定定理時，要注意分析垂線在哪個面內找容易論證。

（四）運用反饋，深化鞏固

深化鞏固：課本P73的探究問題，練習1。

做法：學生思考，折紙實驗，小組討論，老師與學生對話完成。

（五）小結歸納，回顧反思

筆者設計了三個問題：

（1）通過本節課的學習，你學到了哪些知識？

（2）通過本節課的學習，你最大的體驗是什么？

（3）通過本節課的學習，你掌握了哪些技能？

（六）課后鞏固，拓展思維

課本73頁習題第4題，74頁B組的第1題。

三、教學反思

通過本節課的教學，筆者對新課標下的課堂有了如下的認識：

（一）注重知識的形成過程教學

新課標強調“直觀感知”，在教學中教師要善于引導學生從熟悉的事物、現象出發，引導學生用數學眼光看待周圍的事物。組織學生盡可能地進行討論、研究。通過操作、實踐活動等讓學生去經歷、感受、體會，在獲得大量的直接經驗的基礎上去發現知識，總結方法，提升能力。本課通過引導學生例舉開門、翻書動作形成平面所成角的基礎上，再由折紙活動讓學生感知二面角的概念。使抽象知識直觀化，符合學生的認知發展。

（二）注重溫故而知新

在學習新知識時，要重視聯想、類比有關的舊知識，辯清它們的區別和聯系，進而達到知識或方法的同化。本課類比1：“異面直線所成的角”“直線和平面所成的角”的學習，發現可以用平面角刻畫二面角的大小。類比2：由角的結構引出二面角的平面角頂點在哪里，兩條射線怎么出現？通過這兩個類比，學生很順利地探究出：（1）二面角大小的度量方法——二面角的平面角；（2）二面角的平面角的作法。從而達到高效地突破教學難點。

（三）注重課堂活動的多樣性

新的教學理念希望給學生營造一個民主、和諧的學習氛圍，培養學生自主探究、參與合作的學習方式，全面發展學生的實踐與創新能力?；顒佑袑W生的折紙、擺書、自己動手畫圖；提問方式有個體、小組、群體提問；合作方式有同桌交流，四人小組實驗；教具有多媒體、幾何畫板、教室的門、學生的書、硬紙板。本課在課堂教學中保證學生參與教學活動的時間和空間，抓住學生的學習興趣、求知欲、成就感等積極因素，積極培養學生觀察、發現、操作、畫圖、表達等多方面的能力。

（四）注重數學思維的教學

新課標提出高中數學應注重提高學生的數學思維能力。本課在概念的構建過程中，通過觀察與實驗，比較與歸納培養學生由抽象到具體，一般到特殊的轉化能力。在例題的教學中通過教師收集解法，師生評價，學生總結來達到培養思維的廣闊性與深刻性的。錯解的出現提高了學生思維的批判性與獨創性。

（五）注重對教材的開發使用

新教材在問題設置、習題設置、數學知識的形成過程、數學的應用等方面變化較大，因此教師在平時備課中不但要吃透教材，而且要盡量地搜集與教材有關的知識，制作與教材有關的教具?；诙娼堑某橄笮?，本課設置了三個活動（即一個活動鏈折紙）去弱化它的抽象性，強化它的直觀與可操作性。在平面與平面垂直的判定定理的導出中，通過設置問題串，調動學生的積極思維，最終讓學生發現判定定理。在小結歸納中設置：你學到了哪些知識？你最大的體驗是什么？你掌握了哪些技能？這樣不僅讓學生重現知識，而且讓學生重組過程提升方法，從而再次凸現教學目標。 （責編 盧建龍）