高職高專《高等數(shù)學(xué)》課程不定積分的概念教學(xué)過程設(shè)計(jì)

高職高?！陡叩葦?shù)學(xué)》課程的教學(xué)內(nèi)容是本著必需、夠用的原則來進(jìn)行設(shè)置的，所以教師在進(jìn)行教學(xué)時(shí)，應(yīng)根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況，用通俗易懂的教學(xué)語言、循序漸進(jìn)的教學(xué)方式去向?qū)W生講解教學(xué)內(nèi)容。以下給出的是不定積分的概念的教學(xué)過程設(shè)計(jì)。

老師先根據(jù)前面所學(xué)習(xí)的導(dǎo)數(shù)與微分的相關(guān)知識，提出如下兩個(gè)問題：

1、（sinx）'=cosx，cosx是sinx的導(dǎo)函數(shù)，那么sinx是cosx的什么函數(shù)？

2、（x2）'=2x ，2x是x2的導(dǎo)函數(shù)，那么x2是2x的什么函數(shù)？

在同學(xué)們思考、討論交流之后，老師給出原函數(shù)的定義：

設(shè)f（x）是定義在某區(qū)間I上的已知函數(shù)，若存在函數(shù)F（x），使得F'（x）=f（x）或dF（x）=f（x）dx，則稱F（x）為f（x）在區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù)。

根據(jù)以上定義，老師前面提出的兩個(gè)問題同學(xué)們可以很容易地解答出來了。

因?yàn)椋╯inx）'=cosx，所以sinx是cosx的一個(gè)原函數(shù)；

因?yàn)椋▁2）'=2x，所以x2是2x的一個(gè)原函數(shù)。

接下來，老師乘勢又提出如下問題：

（sinx+1）=cosx、（sinx-） '=cosx 、（sinx+） '=cosx ……，cosx的原函數(shù)唯一嗎？

（x2+2）'=2x、 （x2-）'=2x 、（x2+）'=2x ……，2x的原函數(shù)唯一嗎？

在老師的啟發(fā)和引導(dǎo)下，同學(xué)們經(jīng)過思考，發(fā)現(xiàn)以上兩個(gè)函數(shù)和的原函數(shù)不唯一的，而是各有無窮多個(gè)。那么它們的全體原函數(shù)用數(shù)學(xué)術(shù)語怎么說？又用什么樣的數(shù)學(xué)符號表示呢？

老師給出如下定義：

若F（x）是f（x）在某區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù)，則F（x）+C叫做f（x）在該區(qū)間上的不定積分，記為∫f（x）dx，即∫f（x）dx=F（x）+C，其中“∫”稱為積分號，f（x）稱為被積函數(shù)，f（x）dx稱為被積表達(dá)式，x稱為積分變量，C稱為積分常數(shù).

上面兩例可寫成 ：∫cosxdx=sin+C、∫2xdx=x2+C 。

此時(shí)老師如果能夠給出對不定積分的一個(gè)直觀描述，那么同學(xué)們就會(huì)對不定積分的定義有更深刻的理解了，這就是老師對不定積分的幾何意義的講解。

函數(shù)f（x）的每一個(gè)原函數(shù)F（x）的圖像為平面上的一條曲線，稱為f（x）的積分曲線，而不定積分∫f（x）dx即F（x）+C的圖像代表的全部積分曲線，稱為f（x）的積分曲線族，其中任一條曲線都可由另一條積分曲線沿y軸方向上下平移而得，這就是不定積分的幾何意義.

例如∫2xdx=x2+C表示的就是以y軸為對稱軸的拋物線族，其中的一條拋物線是以坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)，以y軸為對稱軸的拋物線，它表示y=2x的的一條積分曲線y=x2。

最后，老師講解幾個(gè)求不定積分的例題，讓同學(xué)們進(jìn)一步加深對不定積分定義的理解。在講解這些例題之前，老師先給同學(xué)們分析：更多的函數(shù)的不定積分是不能直接寫出結(jié)果的，而要把基本積分公式作為必備工具。

例1 求下列不定積分：

（1）∫dx ； （2）∫3Xexdx .

解 （1）先把被積函數(shù)化為冪函數(shù)形式，再利用基本積分公式，得

∫dx=∫xdx=+C=+C .

（2）先把被積函數(shù)整理化為指數(shù)函數(shù)形式，再利用基本積分公式，得

∫3Xexdx=∫（3e）xdx=+C=+C.

例2 求下列不定積分：

（1）∫（+1）（x-）dx； （2）∫dx.

解（1）∫（+1）（x-）dx=∫（x+x-1-）dx

=∫xdx+∫xdx-∫1·dx-∫dx=x+x2-x-2x+C.

（2） ∫dx=∫dx=∫（1-）dx=∫dx-2∫dx=x-2arctanx+c

例3 求下列不定積分：

（1）∫tan2xdx； （2）∫sin2dx.

解 （1） ∫tan2xdx=∫（sec2x-1）dx=∫sec2xdx=tanx-x+C.

（2） ∫sin2dx=∫dx=x-sinx+c。

在講解完以上例題之后，老師再布置適量適當(dāng)?shù)木毩?xí)題給同學(xué)們做，從而讓同學(xué)們掌握不定積分的概念這部分教學(xué)內(nèi)容。

（作者單位：湖北襄陽職業(yè)技術(shù)學(xué)院）