數(shù)學(xué)解題方法漫談

一、綜合法與分析法

綜合法與分析法是數(shù)學(xué)證明題中經(jīng)常用到的兩種方法.由已知條件入手，根據(jù)已知的定義、定理、公理、公式逐步推導(dǎo)出需要求證的結(jié)論來，這種思維方法叫綜合法.綜合法是由原因?qū)С鼋Y(jié)果即“由因?qū)Ч钡乃季S方法.

例1.如果三角形三個(gè)內(nèi)角A，B，C滿足條件sin2A+sin2B=5sin2C，求證：sinC≤.

證明：由正弦定理得：sinA=，sinB=，sinC=（其中R是△ABC外接圓半徑，a，b，c分別是三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對的三條邊），將其代入已知等式sin2A+sin2B=5sin2C得，a2+b2=5c2，再由余弦定理：c2=a2+b2-2ab·cosC得，2ab·cosc=4c2，所以，cosC=另一方面，因?yàn)?ab≤a2+b2=5c2，所以，cosC=≥=，從而，1-cos2C≤，即sin2C≤，|sinC|≤；又因?yàn)镃為△ABC的內(nèi)角，所以sinC>0，故得sinC≤.

這個(gè)題的證明方法，用的就是綜合法，從已知條件入手，結(jié)合相關(guān)定理得出最后的結(jié)論.

例2.已知a是不小于4的數(shù)，求證：

.

證明： 要使成立，因?yàn)閍是不小于4的數(shù)，即a-1>a-2>a-3>a-4≥0，，

故只須不等式成立，

即>2+成立，

只須：（）2>（2+）2，即2a-7>2成立，

只須（2a-7）2>（2）2即1>0即可，

而1>0，顯然成立，注意到以上各步驟均可逆（每一步都是前一步的充分條件），因此原不等式成立.

這個(gè)題的證明方法就是分析法.在假定結(jié)論成立的條件下，逐步推導(dǎo)出1>0這樣一個(gè)真命題，而且以上推導(dǎo)過程可逆.正是因?yàn)檫^程可逆，才保證了在1>0及a是不小于4的數(shù)的條件下可以推證出不等式成立的結(jié)果.如果我們在用分析法推導(dǎo)的過程中，過程不可逆那么，分析法是失效的.比如，由a>b，c>d可以推得a+c>b+d，反之則不然，這個(gè)過程就不是可逆的。

二、反證法與同一法：

反證法是一種間接證明命題的方法，它是通過證明反命題為假（即先否定結(jié)論，通過結(jié)論的否定，推出與已知條件或定理、公理、公式相矛盾的結(jié)果），從而間接證明了原命題的正確性.

例3. 如圖1所示，已知平面 、 交于直線a，直線b在 內(nèi)與直線a相交于A點(diǎn)，直線c在 內(nèi)與直線a平行. 求證：b、c為異面直線.

證明：假設(shè)b、c不是異面直線，則或者b∥c，或者b、c 相交于一點(diǎn).

如果b∥c，則因?yàn)閍∥c，所以b∥a，這與已知條件“直線b在 內(nèi)與直線a相交于A點(diǎn)”相矛盾；

如果bIc=P（b、c 相交于一點(diǎn)），則因?yàn)閏 ，b ，所以P∈ ，且P∈ ，從而P∈a= I ，故直線a、c相交于P點(diǎn)，這又與已知條件“直線c在 內(nèi)與直線a平行” 相矛盾.

以上矛盾說明b、c必為異面直線.

這個(gè)題的證明方法就是反證法.反證法的關(guān)鍵是通過否定結(jié)論，推出矛盾，從而達(dá)到間接證明命題為真的效果的。

例4. 試證明三角形的三條中線相交于一點(diǎn).

已知：在△ABC中，AD，BE，CF是它的三條中線（如圖 2所示），

求證：AD，BE，CF三線共點(diǎn)

證明：設(shè)△ABC中，BC、AC邊的中線AD，BE相交于一點(diǎn)G，連結(jié)CG并延長與AB相交于F1點(diǎn)，

因?yàn)镈E是△ABC的中位線，從而DE∥AB，設(shè)DE與CF1相交于M點(diǎn)，于是有

==，即= ；………（1）

==，即=；………（2）

由（1）式和（2）式得：=，所以AF1=BF1 ， CF1是AB邊的中線；因?yàn)锳B邊的中線只有一條，所以CF1和CF是同一條中線，故三角形的三條中線相交于一點(diǎn)，證畢。

該題的證明方法就是同一法。

三、歸納法與合情推理

歸納法是從特殊到一般的一種推理方法，它有別于演繹法（一種由一般到特殊的推理方法），是合情推理的一種方法.它又分為不完全歸納法，和完全歸納法，其中數(shù)學(xué)歸納法是一種最常用的方法.

例5. 試寫出數(shù)列：，，，，，∧∧的一個(gè)通項(xiàng)公式.

解：觀察這個(gè)數(shù)列的前5項(xiàng)，發(fā)現(xiàn)分母逐漸增大，且是連續(xù)的自然數(shù)，而分子始終圍繞在分母的前后進(jìn)行變化，嘗試著將各項(xiàng)拆分發(fā)現(xiàn)有以下規(guī)律：

a1==1-=1+（-1）1

a2==1+=1+（-1）2，

a3==1-=1+（-1）3，

a4==1+=1+（-1）4，

a5==1-=1+（-1）5∧∧，

故猜想這個(gè)數(shù)列的第n項(xiàng)an=1+（-1）n，顯然經(jīng)過驗(yàn)證，前5項(xiàng)均滿足這個(gè)公式.

由于這個(gè)數(shù)列只給出了前5項(xiàng)，且經(jīng)過驗(yàn)證，都符合這個(gè)通項(xiàng)公式.即便沒有對數(shù)列的每一項(xiàng)都做出分解分析（也不可能全部進(jìn)行分析），只是分析了前5項(xiàng)反映出來的規(guī)律，我們?nèi)匀徽J(rèn)為這個(gè)結(jié)論是合理的.這個(gè)結(jié)論就是運(yùn)用不完全歸納法得出來的.

例6. 已知a1=p，an=pan-1，b1=q，bn=qan-1+rbn-1（n≥2），其中p，q，r均為非零常數(shù)，且p≠r，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式.

解：因?yàn)閍n=pan-1，p≠0，所以=p，{an}是個(gè)等比數(shù)列，an=pn又因?yàn)閎1=q，bn=qan-1+rbn-1得：

b2=qa1+rb1=qp+rq=q（p+r），

b3=qa3+rb2=q·p2+r·q2（p+r）=q（p2+pr+r2），

b4=qa4+rb3=q·p3+rq（p2+pr+r2）=q（p3+p2r+r3）， ，

………………

可以推斷：

bn=q（pn-1+pn-2r+pn-3r2+∧∧+prn-2+rn-1）

=

現(xiàn)在用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：

當(dāng)n=1時(shí)，b1==q，推斷成立；

假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，推斷成立，即bk=，那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，bk+1=qak+rbk=q·pk+r·=，即n=k+1時(shí)推斷也成立，所以對一切自然數(shù)，都有bn=.

四、解析法與向量法

平面解析幾何是數(shù)形結(jié)合的典范，它以坐標(biāo)為紐帶，將數(shù)與形緊密地聯(lián)系在一起，并通過他們的相互轉(zhuǎn)換達(dá)到解決問題的目的.因此人們又把這種通過建立坐標(biāo)系，將幾何的問題化為代數(shù)的問題來解決的方法叫解析法.

例7. 已知在△ABC中，D為BC邊上任意一點(diǎn)（異于B、C ），且|AB|2=|AD|2+|BD|·|DC|，

求證：△ABC是等腰三角形.

證明：如圖3所示，建立平面直角坐標(biāo)系，B、C兩點(diǎn)在x軸上，A點(diǎn)在y軸上，設(shè)A、B、C、D點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（0，a），B（-b，0），C（c，0），D（d，0），于是|AB|=，|AD|=，|BD|=d+b，|DC|=c-d，因?yàn)閨AB|2=|AD|2+|BD|·|DC|，所以a2+b2=a2+d2+（d+b）（c-d），得b2-d2=（d+b）（c-d），又因?yàn)镈為BC邊上任意一點(diǎn)（異于B、C ），b≠-d，從而b-d=c-d，即b=c，|OB|=|OC|，△ABC是等腰三角形.

向量是數(shù)學(xué)中的重要概念之一 。由于向量具有幾何形式和代數(shù)形式“雙重身份” ，使它成為中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的一個(gè)交匯點(diǎn) ，成為聯(lián)系多項(xiàng)內(nèi)容的媒介。特別是在處理度量、角度、平行、垂直等問題時(shí) ，向量工具有其獨(dú)到之處。

參考文獻(xiàn)：

[1]劉心華.向量法解平面解析幾何題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2002（3）.

[2]王學(xué)賢.淺析同一法[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，1984（3）.

[3]顧越嶺.高中數(shù)學(xué)精講[M].江蘇教育出版社.

（作者單位：湖北襄陽職業(yè)技術(shù)學(xué)院公共課部）