淺談拉格朗日中值定理的應(yīng)用

摘 要：微分中值定理是微分學(xué)中的基本定理，其核心定理是拉格朗日中值定理。本文主要介紹拉格朗日中值定理在恒等式、不等式、方程根的存在性、級數(shù)的斂散性以及證明與函數(shù)差值有關(guān)的命題等問題中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：中值定理;輔助函數(shù);應(yīng)用;構(gòu)造

微分中值定理是溝通函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的橋梁，是微積分教學(xué)中的核心內(nèi)容，在教學(xué)上對學(xué)生有較高的要求，而輔助函數(shù)的構(gòu)造技巧在中值定理的應(yīng)用中既是難點，又是重點。本文主要通過具體的例題來分析拉格朗日中值定理在恒等式、不等式、方程根的存在性、級數(shù)的斂散性以及證明與函數(shù)差值有關(guān)的命題等問題中是如何適當(dāng)?shù)貥?gòu)造輔助函數(shù)的。這樣一來便可以使學(xué)生清晰地理解拉格朗日中值定理的精髓及其意義所在。

一、預(yù)備知識

定理1（Lagrange中值定理）若函數(shù)f（x）滿足下列條件：

（1）f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù);（2）f（x）在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則（a，b）在內(nèi)至少存在一點ξ，使得f'（ξ）=.

拉格朗日中值定理的結(jié)論通常稱為拉格朗日中值公式。它有如下幾種等價的表示形式：

f（b）-f（a）=f'（a+θ（b-a））（b-a），0lt;θlt;1;

f（a+h）-f（a）=f'（a+θh）h，0lt;θlt;1.

二、拉格朗日中值定理的應(yīng)用

1.證明恒等式

例1 設(shè)函數(shù)φ（x）=dt在-1lt;xlt;1有意義，證明：φ（x）+φ（-x）=φ（x2）.

證明：令f（x）=φ（x）+φ（-x）-φ（x2），

則f'（x）=φ'（x）-φ'（-x）-xφ'（x2）.

因為φ'（x），所以，f'（x）=+-=0.

因此f（x）≡C。但由φ（0）=0知f（0）=0，

所以C=0，即f（x）=0。

2.證明不等式

例2 證明lt;1n（1+x）lt;x（xgt;0）

證明：令f'（t）=1n（1+t），則f（t）在[0，x]上連續(xù)且可導(dǎo)。由拉格朗日中值定理得f（x）-f（0）=f'（ξ）（x-0）（0lt;ξlt;x）

即有1n（1+x）=.

由于0lt;ξlt;x，故lt;lt;1，

從而lt;1n（1+x）lt;x.

3.判別函數(shù)方程根的存在性

例3 設(shè)a1，a2，…，an滿足a1-++…+（-1）n-1=0，ai∈R，i=1，2，…，n證明方程a1cosx+a2cos3x+…+ancos（2n-1）x=0在0

，內(nèi)至少有一個實根。

證明：設(shè)F（x）=a1sinx+sin3x+…+sin（2n-1）x，則F'（x）=a1cosx+a2cos3x+…+ancos（2n-1）x.并且F（0）=0，F(xiàn)（）=a1-++…+（-1）n-1=0.

由羅爾中值定理知，至少存在一點ξ∈0

，，使得F'（ξ）=0，即方程a1cosx+a2cos3x+…+ancos（2n-1）x=0在0

，內(nèi)至少有一個實根。

4.判別級數(shù)的斂散性

例4 證明調(diào)和級數(shù)發(fā)散。

證明：令f（x）=1nx，則函數(shù)f（x）在[n，n+1]上滿足噶格朗日中值定理的條件，所以至少存在一點ξ∈（n，n+1），

使得=f'（ξ）=lt;

從而有1n2-1n1lt;1，1n3-1n2lt;，…，1n（n+1）-1nnlt;，將這些不等式相加可得Sn=1++…+gt;（1n2-1n1）+（1n3-1n2）+…+[1n（n+1）-1n]=1n（n+1）.

于是=，

所以調(diào)和級數(shù)是發(fā)散。

5.證明與函數(shù)差值有關(guān)的命題

例5 設(shè)f（x）在[a，b]（abgt;0）上可導(dǎo)，證明：存在一點ξ∈（a，b），使得bn

f（a）

an f（b）=[nf（ξ）+ξf'（ξ）]ξn-1（n≥1）

證明：要證等式的左邊[bnf（b）-anf（a）]，是函數(shù)xnf（x）與自變量x在a，b兩點處的差值比。可設(shè)F（x）=xnf（x），則F（x）在[a，b]上滿足拉格朗日中值定理的條件，所以至少存在一點ξ∈（a，b），使得F（b）-F（a）=F'（ξ）（b-a），

即bn

f（a）

an

f（b）=[nf（ξ）+ξf'（ξ）]ξn-1（n≥1）.

利用拉格朗日中值定理來解決問題的核心思想還是構(gòu)造輔助函數(shù)和相應(yīng)區(qū)間，并利用拉格朗日中值公式得到想要的結(jié)果。因此，我們要非常熟悉構(gòu)造的輔助函數(shù)的性質(zhì)、特征，平時多練習(xí)、多思考、多總結(jié)，這樣才能合適地構(gòu)造輔助函數(shù)利用拉格朗日中值定理進行解題。

參考文獻：

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基金項目：本文系河南省社科聯(lián)、河南省經(jīng)團聯(lián)調(diào)研課題（NO.SKL-2015-2134）。