從兵法之“形”，到幾何之“形”

孫子曰：“夫地形者，兵之助也。料敵制勝，計險隘遠近，上將之道也。知此而用戰者必勝，不知此而用戰者必敗。”可見，地形是用兵作戰的輔助條件。解題不是作戰，但同樣需要智慧。“圖形”不是“地形”，但幾何教學的核心就是對圖形的研究，教師作為解題的最高統帥，在這個過程中應該具備和將帥一樣的英明智慧，高瞻遠矚，指導學生將圖形中的每一個細小的條件都了然于胸，巧妙地利用已知條件對“圖形”進行多方面、多角度的分析，才能攻克難題，以“形”制勝。筆者在幾何教學中，嘗試對“圖形”的新視角進行挖掘，開啟了學《孫子兵法》，悟幾何教學中的“形”之路。

辨析“身份”，凸顯基本圖形

在軍事上，不同的地域具有不同的優勢。孫子用軍事戰略家的眼光對其進行考察，歸納為“通”“掛”“支”“隘”“險”“遠”六種類型，并根據這些最基本的地形有針對性地提出了相應的作戰方法，進而制定駐扎、進攻和防御方面的相關措施。

在幾何問題中，不同的圖形有著各自獨特的性質。如四邊形中，平行四邊形的對角線互相平分，矩形的對角線相等且互相平分;同一圖形在不同的圖形背景中又發揮著獨特的性質。如同樣兩個角，在等腰三角形中作為“底角”就相等;在同一直角三角形中是兩“銳角”就有互余關系;在同圓中是“同弧所對的圓周角”就有相等關系。同樣一條直徑，在圓中也可以具有不同的身份而發揮自身的優勢。所以，從不同角度關注同一圖形，能打開學生思維，獲得一題多解的解題方法。

例1 如圖一，AB是⊙O的直徑， CD⊥AB于E，求證：∠A=∠BCE。

辨“地形之隘”，伴“身份”發揮優勢 圖形中AB這條直徑可謂“圖形之隘”，它是解決此題的突破口。單從“直徑”的身份，就能發揮“直徑所對的圓周角是直角”的優勢;從“垂直與弦的直徑”的身份，就能發揮“垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧”的優勢。

析“地形之異”，隨“身份”巧擇戰法 從“直線形”的角度觀察圖形，可以發現∠A與∠BCE位于“母子相似”的基本圖形中（如圖二），它們是∠B的“余角的身份”，所以解法如下：

證明：∵AB是⊙O的直徑。

∴（直徑所對的圓周角是直角）。

∴∠A+∠B=90°。

∴。

∴∠BCE+∠B=90°。

∴∠A=∠BCE（同角的余角相等）。

從“圓形”的角度觀察圖形，可以發現∠A與∠BCE位于“垂徑定理”的基本圖形中（如圖三），∠A與∠BCE是“圓周角的身份”，所以解法如下：

證明：∵AB是⊙O的直徑，CD⊥AB

∴=（垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧）。

∴∠A=∠BCE（同弧所對的圓周角相等）。

所以，我們在做幾何題時，必須根據題意，結合圖形，關注基本圖形，特殊條件，考察線段、角在幾何圖形中所處的位置，辨析其“身份”，才能凸顯基本圖形，發揮圖形的魅力。在此過程中，學生經歷從不同角度尋求分析問題和解決問題的方法的過程，體驗解決問題方法的多樣性，掌握分析問題和解決問題的一些基本方法。

權衡“動靜”，定位靜態圖形

地形千差萬別，有高有低，有陰面有陽面，在交戰的時候，那些高處朝陽的地方都是易守難攻之處，對交戰有利的方面非常多。在考察地形的時候，一定要將其納入考察重點，爭取搶先占領這樣一些有利的地形，勝利也許就不費吹灰之力了。

幾何問題中，圖形千變萬化;而動態型幾何問題，它以運動中的幾何圖形為載體，運動變化為主線，構建成綜合題，它能把幾何、函數、方程、不等式等知識集于一身，題型新穎、靈活性強，不少學生感覺動態型幾何問題的圖形高深莫測，無“利”可“圖”。

教師在教學這類題型時，可適當地運用幾何畫板演示部分圖形運動的詳細過程，讓學生通過畫圖、操作等形成動態聯想，引導學生用運動與變化的眼光去觀察和研究圖形，把握運動與變化的全過程，從“靜”中能看到“動”，又從“動”中看到“靜”，從而抓住其中的“靜勢”特性，定位“靜態”圖形，找到問題的突破口。

例2 （2014·常州）如圖四，在平面直角坐標系xOy中，直線l經過點A（﹣3，0），點B（0，），點P的坐標為（1，0），⊙P與y軸相切于點O.若將⊙P沿x軸向左平移，平移后得到⊙P′（點P的對應點為點P′），當⊙P′與直線l相交時，橫坐標為整數的點P′共有（ ）。

（A）1個 " " "（B） 2個

（C）3個 " " "（D）4個

解決動點問題，首先要考察誰在動，誰沒在動，明確動點的運動方向，然后通過權衡動態條件和靜態條件之間的關系求解。

在動態圖形中尋求特殊位置之“靜” 本題中點A與點B不動，直線l也不動，⊙P在動，⊙P與直線l的位置關系也隨之變化，但⊙P沿x軸向左平移的運動過程中，經歷了相離、相切、相交、再相交、相切、相離的全過程，可以找到由“動”到“靜”的瞬間，那就是⊙P′與直線l兩次相切的情況。所以只要畫出兩次相切時的靜態圖形，此題就變成了一個靜止問題。再重點考察相切時⊙P′的圓心點P′的坐標，就能解決此題。

解法一：如圖五所示。

∵點P的坐標為（1，0），⊙P與y軸相切于點O。

∴⊙P的半徑是1。

若⊙P與AB相切時，有d=r，設切點為D，由點A（﹣3，0），點B（0，）。

∴OA=3，OB=，由三角函數的定義，得

∴∠BAO=30°。

∵P′D⊥AB，P′D=1，又因為∠DA P′=30°。

∴AP′=2。

根據圖形的對稱性，所以點P′的坐標為（﹣1，0）或（﹣5，0）。

所以當⊙P′與直線l相交時，橫坐標為整數的點的橫坐標可以是﹣2，﹣3，﹣4共三個。故選：C。

在動態圖形中尋求數量關系之“靜” 本題中⊙P是動圓，直線l是定直線，但不管⊙P運動在x軸的哪個位置，也不管它與直線l位置關系的變化，圓心距DP′在運動變化過程中，始終保持著一個靜態的數量關系，即，這是“靜勢”特征，我們只要搶占有利的靜態條件，利用圖形線段之間的關系，用參數表示出DP′，再利用“相交”滿足的靜態條件：d

解法二：如圖六所示。

由題知（同上解法可知）：⊙P的半徑r=1，∠BAO=30°。

設點P′的坐標為（m，0），則圓心距

當點P′在點A右側時，由d

當點P′在點A左側時，由d-5;

∴-5

∴所以當⊙P′與直線l相交時，橫坐標為整數的點的橫坐標可以是﹣2，﹣3，﹣4共三個。故選：C。

正確認識和處理“地形”，并且能夠借“地之助”去求“兵之利”，完全可以遷移到幾何教學中，教師通過引導學生閱讀已知、解讀信息，對幾何圖形全方位審視、多角度聯想，讓學生開拓思路，層層深入，由表及里，就能把握關鍵圖形，巧借“形之助”去求“題之利”，就能駕馭復雜的圖形，出奇制勝。

【本文系蘇州市教育科學“十二五”規劃課題《借助孫子文化促進學生自我發展的實效性研究》的研究成果。】

（作者單位：江蘇省蘇州市吳中區藏書中學）