淺析金融數(shù)學模型

【摘要】：主要介紹了數(shù)學模型在金融領域中的發(fā)展及應用， 闡述資本資產定價模型的應用價值，證券組合投資模型和金融衍生工具定價模型對金融市場影響，并分析了數(shù)學摸型對金融市場的預測作用。

【關鍵詞】：資產定價;證券組合;期權定價

1 引言

金融理論[1]的核心問題就是在不確定的環(huán)境下—即金融資產的價值和風問題。由于時間因素、不確定因素及其相互作用使金融行為呈現(xiàn)出極端的復雜性。處理這種復雜性需要引入數(shù)學工具。如不確定性的描述需要引入概率、統(tǒng)計和隨機過程理論;如何在時間和空間上分配資源需要引入最優(yōu)化模型。從科學的觀點出發(fā)，運用數(shù)學模型來表達金融市場的整體，用最優(yōu)化技術來評價，選擇方案，運用計算機尋找滿意的結果，使金融市場整體達到最經(jīng)濟、最有效、最合理的狀態(tài)。在這樣的狀態(tài)下，才有可能最大限度地控制和化解金融風險。

2 數(shù)學在金融領域的主要發(fā)展及應用

金融數(shù)學開創(chuàng)性論文是1900年法國數(shù)學家Bachelier的學位論文[2]《投機理論》。他用Brown運動來研究股市。下面我們主要介紹一下金融數(shù)學模型：

2.1 資產估價模型

1896年，美國經(jīng)濟學家歐文·費雪提出了資產當前價值等于未來現(xiàn)金流量貼現(xiàn)值之和的思想。最簡單的估價模型是貼現(xiàn)公式。設某項投資未來時刻t的現(xiàn)金流量為C（t），其貼現(xiàn)率為R（t），n為期數(shù)，總現(xiàn)值為PV， 則：

這一數(shù)學表達式成為計算證券投資價值的資本化方法的基礎，并根據(jù)不同的條件具有多種多樣的表現(xiàn)形式。在1938年，美國投資理論家威廉 提出了貼現(xiàn)現(xiàn)金流模型，明確表達了股票的內在價值等于它的所有未來股息的貼現(xiàn)值之和：

其中， "為時刻t的股票價格， "為時刻 獲得的股息， " （常數(shù)）為合適的貼現(xiàn)利率。在此基礎上，又產生了許多特殊條件下的價值模型，如固定收人證券的價值模型，股息零增長模型，可變貼現(xiàn)率價值模型等。

2.2 證券組合模型

證券組合模型[3]是研究怎樣在幾種未來不確定的競爭性選擇（如股票、債券）中分配資源的。證券組合問題在許多的決策領域都存在，金融市場上的投資者當然要決定股票和債券及其衍生工具的組合。

美國經(jīng)濟學家哈里馬柯維茨創(chuàng)立的“現(xiàn)代證券投資組合理論”就運用了上述的不確定性的數(shù)學工具。認為投資決策的基本原則即在既定的收益條件下，追求最小風險;或在既定的風險條件下，追求最大收益。這里用來度量投資風險的是預期收益的方差，如果投資組合由n種證券組成，且投資組合的預期收益為R，投資風險為ρ2。則：

，

其中：ωi為第i種證券在投資組合中的權重，Ri為第i種證券的預期收益， "σi與σj為第i種證券和第j種證券的標準差，ρij為第i種證券和第 種證券的相關系數(shù)。

從上面這些式子可見，當ρij的值越小時，投資風險σ2的值也就越小，特別當ρij=1時， 投資風險大幅度的減少。這說明在投資實踐中，人們可選擇完全負相關的證券來進行投資組合以降低非系統(tǒng)風險。實際研究證明，當投資組合的證券數(shù)目達到20個時，就可在很大程度上消除非系統(tǒng)風險。但是如果投資組合的證券數(shù)目太多，反而會導致投資成本的增加和投資收益的減少。一般情況下，投資組合的證券數(shù)目最好不超過35個。

2.3 期權定價模型

在金融市場上，期權可以分為看漲期權[4]和看跌期權，看漲期權的持有者有權在某一確定時間以某一確定價格購買標的資產;看跌期權的持有者有權在某一確定時間以某一確定價格出售標的資產。

Black和Scholes假設股票的價格服從對數(shù)正態(tài)分布，通過運用ITO定理，推導出了基于股票不付紅利歐式期權的定價公式。

設s為標的股票的價格，f為期權的價值，r為無風險利率，σ2為股票價格的波動率，則可得如下形式的B1ack-Scholes偏微分方程;

Black和Scholes成功地求解了這一微分方程，得到了歐式看漲期權和看跌期權定價的精確公式。若記x為期權的交割價格，c為歐式看漲期權的價格，p為歐式看跌期權的價格，則：

其中為標準正態(tài)分布變量的累積概率分布函數(shù)。

基于無紅利支付股票的致式期權定價的Black—Scholes公式可以推廣到基于支付連續(xù)已知紅利收益率的歐式期權定價。若已知的連續(xù)紅利收益率為 ，則：

其中

實際上股票并不支付連續(xù)紅利。然而。一些其它的期權標的資產可以認為與支付連續(xù)紅利收益率的股票類似。

1979年考克斯，羅斯，普賓斯坦.瑞德門思和巴特等人，分別建立了期權二項式價值模式，闡明了投機者的套利交易與期權價格均衡狀態(tài)的關系。二項式價值模型是離散時間狀態(tài)模型，與現(xiàn)實生活中價格變動的連續(xù)性存在著矛盾，一定程度上影響其實用價值。

2.4 金融預測中的回歸分析

關于金融預測中的回歸分析，也是不確定的數(shù)學方法。金融預測是研究金融未來發(fā)展方向和程度之間的依賴關系的一種科學。目前，在西方國家廣泛地利用預測技術來研究未來金融的發(fā)展狀況，利用數(shù)學方法可以幫助我們從數(shù)量上預測未來時期的經(jīng)濟、金融現(xiàn)象的發(fā)展狀況，經(jīng)濟預測中利用的數(shù)學方法很多，回歸分析是經(jīng)常利用的一種。回歸分析是研究度量和變量之間的依賴關系的一種數(shù)。利用數(shù)學模型建立回歸方程，然后根據(jù)最小二乘法的經(jīng)驗公式求得回歸方程;運用回歸方程進行預測;推算出預測數(shù)。

3 結束語

目前為止金融投資活動的許多本質和規(guī)律還不為人們所掌握，這是因為人們還不能建立足夠的有效的數(shù)學模型來描述這些本質和規(guī)律。如通過數(shù)學模型或定量分析方法所得到的結論是半經(jīng)驗半理性，使數(shù)學模型理論計算與實際價格產生偏差，雖對歷史數(shù)據(jù)擬合較好，但對未來預測常遭失敗。但是隨著金融市場的不斷發(fā)展，新的金融工具的不斷出現(xiàn)，金融數(shù)學模型必然會得到廣泛的重視和應用。

參考文獻：

[1] 張明軍.淺談數(shù)學在金融領域的發(fā)展及應用.甘肅科技.2009（2）.

[2] 屠新曙，王鍵.金融數(shù)學模型發(fā)展的思考.湘潭大學社會科學學報.2011（12）.

[3] 高潔.金融數(shù)學的發(fā)展及其在證券投資組合中的應用.江南大學學報.2003（10）.

[4] 夏玉森，汪壽陽，鄧小鐵.金融數(shù)學模型.中國管理科學.2008（3）.