初中數學課本例題的引申討論

在數學課的教學過程中例題教學是重要的環節之一。它是對所學概念、法則、規律（性質）的綜合運用。在教學中我們不但要重視它本身的教學，而且要重視它與其他知識的聯系。如在已知條件改變的情況下結論是否還成立；或已知條件不變的情況下是否有其他結論成立等等。我們將其叫做例題的引申。例題的引申對我們的教學、課研，培養學生的思維和創新能力具有很大的作用。下面我就例題的引申做一些粗淺的探討。

例題的組成都是由已知條件、求解結論、求解過程（解法）三部分組成，所以它的引申可以從這三部分入手。

第一，已知條件的引申，我們可將已知條件增減、圖形變換（特殊圖形變為一般或反之）。看在變化后結論、解法將有何變化，并找出這些變化之間的內在聯系，得出規律。例如，已知 ABCD的對角線AC的垂直平分線與邊AD、BC分別交于E、F。求證：四邊形AFCE是菱形。如圖1。

因為圖1在證明過程中只用到了AD∥BC這個條件，所以如果將“已知 ABCD的對角線AC”改成“梯形ABCD的對角線AC”，那么此結論仍然成立，如圖2。還可以改為一般四邊形ABCD，在附加條件AD∥BC也可以，如圖2。

第二，結論引申，在已知條件不變的情況下，我們不但可得出這個結論，還可得出一“副產品”。這些“副產品”對解題、學習都有很大的幫助。例如，求證等腰梯形的對角線相等。如圖3，由△ABC≈△DCB，不但可得AC=BD，還可得∠1=∠2，再由∠1=∠2 ∠3=∠4 OA=OD且OB=OC，△OAD、△OBC為等腰三角形。再如，已知AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圓⊙O的直徑，求證AB*AC=AD*AE。如圖4拋開證明，將結論變形得AE=

，它可以作為三角形外接圓直徑（半徑）的求法，

（三角形外接圓的直徑等于任意兩邊之積除以第三邊上的高的商，此結論在銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形中都成立）。

再如圖5，證梯形ABCD的中位線的性質時作輔助線將它轉化為△ABM的中位線，此時不但能得到EF= BM= （BC+AD），還可得到S△ADF=S△FCM（△ADF≌△MCF），以及S梯形ABCD=S△ABM，S△AEF= S△ABM= S梯形ABCD，S△ABF= S△ABM= S梯形ABCD。

第三，解法引申，它就是經常說的一題多解。這對培養學生的發散性思維、創新能力、解題能力具有不可低估的作用。如在解決梯形的有關問題時，常常要做輔助線。而輔助線不外于有a.過上底兩頂點做兩條高，將梯形轉化為直角三角形和矩形的有關問題。b.過上底的頂點做一腰的平行線，將梯形轉化為平行四邊形與三角形的有關問題。c.延長下底，過上底一個頂點做一對角線的平行線。d.連接上底頂點和另一腰上的中點并延長于下底的延長線相交。如圖6～圖9四種情況。

解法引申時還要注重已知條件與求解結論的轉化，使兩者相象、相近，具有一定的必然的聯系，從而快速簡潔地求出結果。如已知x= ，y= ，求3x2-5xy+3y2

值，學生通常是將x、y直接代入求值，這樣運算量大，容易出錯。我們若將已知轉化為：x= ，y= ，x+y=10，xy=1。再將3x2-5xy+3y2轉化為3（x+y）2-11xy。此時代入x+y，xy得原式=3×102-11×1=289。

反例引申，學生在解題過程中，對知識的認識、理解不足會出現一些錯誤，很多時候對錯誤糾正起來效果不佳，有時正確例子的效果不如反面例子的效果。若教學時適當增加一些反例，然后剖析反例產生的原因、發展過程，并進行改寫，能加深學生對所學知識理解。如學無理數時，課本舉了這樣一些數： ……它們的特點是值都是無限不循環小數，但學生往往認為無理數是開方開不盡或帶根號的數。這樣的結論是錯誤的，我們可舉反例：如 雖帶根號，但它是有理數。π、e這樣的無理數不是由開方產生的。通過這些例子來加深學生對無理數概念的認識。反例引申的例子在認識假命題中也常常用到。建議大家在數學學習中多思考、多總結、多引申。

〔責任編輯：龐遠燕〕