利用基本圖形 抓住數學本質

摘 "要：《課程標準（2011版）》中的幾何直觀的培養中指出：要掌握、運用一些基本圖形解決問題，把讓學生掌握一些重要的圖形作為教學任務，在教學中要有意識地強化對基本圖形的運用，不斷運用這些基本圖形去發現、描述問題，理解、記憶的結果，這應該成為教學中的目標。

關鍵詞：基本圖形 "低分率

一、 事情源起

在某一次九年級數學四校聯考中，一道有關圓的證明題的低得分率引起了批改老師的注意，該題共12分，平均得分2.35分，如此低的得分讓大家倍感意外，后來筆者經過與學生的交流分析，發現問題關鍵還是學生對圓中的基本圖形沒有很好的掌握，并且第二小題屬于圖形（1）的變式，它的解題思路與第一小題基本類似，這樣導致了第一小題沒有解決，第二小題也無法入手。當然在評卷的過程中也不乏出現了幾種不同的解題方法，現與大家分享。

二、 試題呈現

已知：CD是⊙O的直徑，弦AB⊥CD于點G，E是直線CD上一動點（不與點C、D、G重合），直線BE交⊙O于點F，直線AF交直線CD于點P，設⊙O的半徑為r。

（1）如圖1，當點E在直徑CD上時，試證明：OE·OP=r2 ";

（2）當點E在CD（或DC）的延長線上時，以如圖2點E的位置為例，請你畫出符合題意的圖形，標注上字母，（1）中的結論是否還成立？請說明理由。

三、 解法賞析

由于試題的第二小題的證明與第一小題基本類似，所以不再給出解法過程。

四、基本圖形

要證等積式，需要將其化為比例式，再利用相似證明. 觀察圖形，此題顯然要連半徑，構造 OE、OP所在的三角形， 這樣問題便轉化為證明△FOE∽△POF或△AOE∽△POA了. 而要證明△FOE∽△POF或△AOE∽△POA，由于已經存在一個公共角，因此只需再證明另一角對應相等即可，這一點利用圓周角定理及其推論可獲證。此題綜合考查圓的性質及相似的知識，解題關鍵是輔助線的靈活添加。易錯點證不出相似所需一角對應相等的條件。縱觀此題，它所包含的基本圖形主要有垂徑定理、圓周角定理，如圖3、4，應用圖3可以得到∠A=∠H，∠A=∠MOE，應用圖4可以得到∠AFB=∠COB=∠AOC，當然還有相似三角形中的一個基本圖形如圖5、6。所以在該題中如果學生能發現圖中所包含的基本圖形，利用此圖形中的一些結論，解決此題并不是很困難。

五、 幾點思考

1.在《課程標準（2011版）》中的幾何直觀的培養中指出：要掌握、運用一些基本圖形解決問題，把讓學生掌握一些重要的圖形作為教學任務，在教學中要有意識地強化對基本圖形的運用，不斷運用這些基本圖形去發現、描述問題，理解、記憶的結果，這應該成為教學中的目標。在本次聯考中學生在該題的失分主要還是對圓中的基本圖形的不熟悉以及如何在復雜圖形中找到基本圖形的能力的缺失，并且圓中的一些定理結論的開放性（滿足一個等量就可以得到多個等量）導致了學生思維的混亂。

2.幾何圖形總是千變萬化，但復雜的圖形總是由幾個基本圖形疊加在一起而得到，所以我們在教學中要多創造條件，讓學生有更多的機會經歷、觀察、動手畫圖的過程，在思考中逐漸形成幾何直觀，為學生練就“火眼金睛”，在復雜圖形在分離出基本圖形。王尚志教授在《幾何直觀》一書中告訴我們：幾何強調變換，讓圖形動起來;養成畫圖的習慣，幫助思考;腦子里要留下一些圖形，作為思考問題的基礎。希爾伯特也在《幾何直觀》一書的序言里寫到：要幫助我們的學生學會用圖形來描述和刻畫問題，要幫助學生學會用圖形去發現解決問題的思路，要幫助學生學會用圖形來理解我們得到的結果和記憶我們的結果。

參考文獻：

[1]《義務教育數學新課程標準（2011版）解讀》

[2]王尚志.《幾何直觀》