探究習題內涵 彰顯數學魅力

摘 "要：葉圣陶先生曾說：“教材只能作為教課的依據，要教得好，使學生受到實益，還要靠教師的善于運用”。教材是教學的重要資源，習題是數學教材的重要組成部分，是學生進行有效學習的重要載體。

關鍵詞：習題的變式、應用、拓展

葉圣陶先生曾說：“教材只能作為教課的依據，要教得好，使學生受到實益，還要靠教師的善于運用”。教材是教學的重要資源，習題是數學教材的重要組成部分，是學生進行有效學習的重要載體。

教材中的習題均是經過專家，多次篩選后的精品，教材豐富的內涵，是編擬中考試題的源泉。有的試題直接取自教材，或是其類似題;有的試題是教材例題、習題的改編、延伸和拓展;有的試題是教材的幾個題目、幾種方法的組合。

教材習題蘊涵著無窮的魅力，對教材習題進行變式、挖掘、探究，既能抓住數學本質，加深對數學的理解，又能提高解題能力，還可發展學生思維的廣闊性、深刻性、靈活性，使習題的利用價值達到最大化。

下面以一道具體的課本習題為例談一談教學資源的整合和對其教育價值的挖掘：

原題（八年級上冊P47作業題第2題）：

如圖，AB⊥BD于點B，CD⊥BD于點D，P是BD上一點，且AP=PC，AP⊥PC，則△ABP≌△PDC，請說明理由。

一、變式舉例

變式（一），條件不變、改變結論

1.如圖①，AB⊥BD于點B，CD⊥BD于點D，P是BD上一點，且AP=PC，AP⊥PC，則BD=AB+CD，請說明理由。

變式（二），改變條件、結論不變

2.如圖①，A B∥DC，∠B=90°， P是AB上一點，∠PAC=∠PCA，AB=PD.則△ABP≌△PDC請說明的理由。

變式（三），條件、結論都改變

3.如圖②，AB⊥BD于點B，CD⊥BD于點D，P是DB延長線上一點，且AP=PC，AP⊥PC，則BD、AB、CD之間有怎樣的數量關系，請說明理由。

4.如圖③，AB⊥BD于點B，CD⊥BD于點D，P是BD延長線上一點，且AP=PC，AP⊥PC，則BD、AB、CD之間有怎樣的數量關系，請說明理由。

二、應用舉例

1、如圖④， 已知△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，三角形的頂點在相互平行的三條直線L1、L2、L3上，且L1、L2間距離為2，L2、L3間距離為3。求AC的長。

2.如圖⑤，在直線l上依次擺放著七個正方形（如圖）.已知斜放置的三個正方形的面積分別是1、2、3，正放置的四個正方形的面積依次是S1、S2、S3、S4，則S1+S2+S3+S4等于（ " " "）

A、4 " " " " B、5 " " " " " C、6 " " " " " "D、14

3.如圖⑥，梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2cm，CD=4cm。以BC上一點O為圓心的圓經過A、D兩點，且∠AOD =90°，則圓心到弦的距離是_________

三、延伸拓展舉例

（一）去掉AP=PC，則結論由三角形全等變為三角形相似

1.如圖⑦，AB⊥BD于點B，CD⊥BD于點D，P是BD上一點，AP⊥PC，則△ABP∽△PDC，請說明理由。

2.如圖⑧，矩形ABCD 中，點M 在CD 邊上，∠AMB=90°。

（1）找出圖中的相似三角形。

（2）AM2=AB·DM

3.如圖⑨，在平面直角坐標系中，OB⊥OA，且OB=3OA，點A的坐標是（-1，2）。

（1）求點B的坐標;

（2）求過點A、O、B 的拋物線的表達式;

（3）連接AB，在（2）中的拋物線上求出點P，使得S△ABP=S△ABO。

（二）去掉垂直（90°）改為其他的特殊角，也有上面的全等或相似。

1.如圖⑩，△ABC是等邊三角形，AC=6，點O在AC上，且AO=2，點P是AB上一動點，連接OP，將線段OP繞點O逆時針旋轉60°得到線段OD.要使點D恰好落在BC上，則AP的長是多少？

2.△ABC、△CPQ是等腰直角三角形，且∠ACB=∠PCQ=90°，點P在AB上，連接BQ求證（1）△APC≌△BQC " （2） PQ2=AP2+BP2

（3）BC·PE=BP·CQ

3.如圖11，

（1）若△ABC、△CPQ是等腰三角形且∠CAB =∠CPQ，則△APC≌△BQC "（2）若∠CAB=∠ABC=∠CPQ，則△APC∽△BEP

挖掘習題的可變性，是習題教學中激發學生創新思維能力的重要途徑。圍繞一定的教學目的，抓住知識與技能之間的關系，可以對習題進行探究。教學中要善于引導學生學會質疑，引導學生進行歸納與探究，這樣對拓寬學生的思維視野，培養學生學習數學的積極性與創造性、發展學生智力是大有益處的。

數學學習不僅僅是解題，更重要的是要學會反思。對這個習題還可作諸多探討，這里不再舉。