淺談中學(xué)數(shù)學(xué)錯(cuò)誤資源的有效利用

學(xué)生不僅是教育的對(duì)象，也是教育最重要的資源。教師要隨時(shí)抓住學(xué)生的錯(cuò)誤，以學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中出現(xiàn)的錯(cuò)誤為點(diǎn)，通過善待錯(cuò)誤、充分合理地利用錯(cuò)誤資源，創(chuàng)造出一個(gè)動(dòng)態(tài)的課堂。筆者結(jié)合親身的教學(xué)實(shí)踐，談一談這方面的做法。

一、學(xué)生錯(cuò)誤產(chǎn)生的常見歸因

1.由于概念不清而產(chǎn)生的錯(cuò)誤

概念是學(xué)生思維的基本形式，是學(xué)生學(xué)習(xí)的重要依據(jù)。在數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)中，許多非本質(zhì)的次要因素往往會(huì)影響甚至干擾對(duì)本質(zhì)屬性的認(rèn)識(shí)和理解。要克服和糾正這類錯(cuò)誤觀念，首先就要展開充分的分析、討論，讓學(xué)生弄清概念的來(lái)龍去脈，明確概念的形成過程，以達(dá)到對(duì)概念的內(nèi)涵和外延準(zhǔn)確理解與掌握，通過知識(shí)的強(qiáng)化訓(xùn)練，使原有的錯(cuò)誤觀念發(fā)生動(dòng)搖，甚至消除。

2.中學(xué)數(shù)學(xué)前后知識(shí)的沖突

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師會(huì)經(jīng)常遇到一類比較頭痛的問題。以高中階段學(xué)習(xí)圓錐曲線為例。首先學(xué)習(xí)的是求曲線的軌跡方程的有關(guān)方式方法，再學(xué)習(xí)三種常見的圓錐曲線。此時(shí)學(xué)生的疑問是：什么是曲線和直線？如何認(rèn)定這是兩種圖形。怎么明明求的是直線，卻叫曲線方程？初中里學(xué)習(xí)的二次函數(shù)圖像是拋物線，怎么跟高中里圓錐曲線一章中學(xué)的拋物線方程表達(dá)形式不一樣？很容易造成解題中的一些錯(cuò)誤。最簡(jiǎn)單的如：求拋物線y=4x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)，學(xué)生很簡(jiǎn)單地寫上（0，1）。學(xué)生在初中階段不適合引入的因素對(duì)高中數(shù)學(xué)造成的影響，使得在高中學(xué)習(xí)的時(shí)候，學(xué)生還會(huì)按照原有知識(shí)去認(rèn)識(shí)問題。如在初中里只學(xué)習(xí)了比較簡(jiǎn)單的初等函數(shù)，在正比例函數(shù)、一次函數(shù)、反比例函數(shù)及二次函數(shù)的學(xué)習(xí)中，也是應(yīng)用得比較膚淺的，對(duì)函數(shù)的理解只停留在比較低級(jí)的理論水平上。因此，進(jìn)入高中后，學(xué)習(xí)這些函數(shù)的一些重要性質(zhì)的時(shí)候，不是這里出現(xiàn)問題，就是那里出現(xiàn)問題。在教學(xué)中根據(jù)規(guī)律來(lái)協(xié)調(diào)認(rèn)知過程中存在的“錯(cuò)誤”，能使學(xué)生的認(rèn)知水平不斷地螺旋上升。

二、正視錯(cuò)誤，多維互動(dòng)的出發(fā)點(diǎn)

“吃一塹，長(zhǎng)一智”，我們應(yīng)該把錯(cuò)誤看作是正確的先導(dǎo)和成功的開始。

[案例]在學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用時(shí)，學(xué)生對(duì)有關(guān)相切問題的理解不夠透徹，跟初中里學(xué)習(xí)圓的相切問題有沖突，都認(rèn)為相切就只有一個(gè)公共點(diǎn)。筆者在教學(xué)中有意地設(shè)計(jì)了一組題目：（1）以曲線y=x3+2x上一點(diǎn)（1，3）為切點(diǎn)的切線方程是 。（2）過曲線y=x3+2x上一點(diǎn)（1，3）的切線方程是____。（3）已知直線y=5x-2與曲線y=x3+2x相切，則切點(diǎn)坐標(biāo)為 。

因此，教師應(yīng)當(dāng)正確認(rèn)識(shí)到：錯(cuò)誤是正確的先導(dǎo)，里面蘊(yùn)藏著豐富的教學(xué)資源。

三、捕捉錯(cuò)誤，動(dòng)態(tài)生成的切入點(diǎn)

上課是獲取信息的主渠道，課堂教學(xué)過程應(yīng)該是一個(gè)動(dòng)態(tài)的、變化生成的過程。在師生、生生交流互動(dòng)的過程中，隨時(shí)可能發(fā)生錯(cuò)誤的學(xué)情信息。教師僅憑過去的經(jīng)驗(yàn)或主觀愿望估計(jì)是不行的，必須在課堂上認(rèn)真觀察學(xué)生的反應(yīng)，及時(shí)調(diào)整教法。

[案例]5本不同的書全部分給4個(gè)學(xué)生，每個(gè)學(xué)生至少有1本，不同的分法種數(shù)為（ ）

A.480 B.240 C.120 D.96

錯(cuò)誤解法：先從5本書中取4本分給4個(gè)學(xué)生，有A種方法，剩下的1本書可以給任意1個(gè)學(xué)生，有4種分法，故共有4A種不同的分法，應(yīng)選A。

引導(dǎo)學(xué)生分析：畫圖分析，設(shè)5本書為a、b、c、d、e，4個(gè)學(xué)生為甲、乙、丙、丁。按照上述分法可能導(dǎo)致怎樣的結(jié)果。

全班同學(xué)經(jīng)過討論并達(dá)成共識(shí)：表1是甲首先分得a、乙分得b、丙分得c、丁分得d，最后1本書e給甲的情況。表2是甲首先分得e、乙分得b、丙分得c、丁分得d，最后1本書a給甲的情況。這兩種情況產(chǎn)生的結(jié)果是完全相同的，而在錯(cuò)解中計(jì)算成了不同的情況。

在本案例中，教師巧用了學(xué)生在數(shù)學(xué)試驗(yàn)中出現(xiàn)的“錯(cuò)誤”，引導(dǎo)學(xué)生分析、運(yùn)用剛學(xué)的知識(shí)，理清了模糊的問題，課堂的生成精彩地完成了。

教師在課堂上要善于捕捉學(xué)生出現(xiàn)的“錯(cuò)誤”教育資源，千方百計(jì)地通過學(xué)生的語(yǔ)言表達(dá)暴露出思維過程。從某種意義上來(lái)說，捕捉住課堂中那些“鮮活”的錯(cuò)誤資源，正是課堂動(dòng)態(tài)生成的切入點(diǎn)。

四、反思錯(cuò)誤，意義建構(gòu)的延伸點(diǎn)

從心理學(xué)的角度來(lái)說，反思是指自己思維和學(xué)習(xí)、工作過程中的自我意識(shí)和自我監(jiān)控，反思是一種主動(dòng)“再認(rèn)識(shí)”的過程。

[案例]不等式（k2-1）x2-（k-1）x-1<0的解集是全體實(shí)數(shù)，求k的取值范圍。

錯(cuò)誤解法一：（少數(shù)幾位學(xué)生的解法）

由解集是全體實(shí)數(shù)，得k=1滿足-1<0，得k的取值范圍為k=1。

錯(cuò)誤解法二：（大多數(shù)學(xué)生的解法）

由解集是全體實(shí)數(shù)，得k2-1<0且△<0得k的取值范圍。

而對(duì)學(xué)生的這種錯(cuò)誤解法，教師可以創(chuàng)設(shè)問題情景，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思：

（1）解法一錯(cuò)在哪里？（此種解法沒等教師分析，立即被大多數(shù)學(xué)生指出錯(cuò)誤之處。）（2）既然△<0，就得考慮到方程是否為一元二次方程還是一元一次方程問題，從而考慮k2-1=0情況。

通過對(duì)這兩個(gè)問題的思考，學(xué)生就會(huì)明白解含有參變量的不等式時(shí)，必須對(duì)方程的參數(shù)進(jìn)行討論，從而得出正確結(jié)果。通過糾錯(cuò)，可以引發(fā)學(xué)生反思的意識(shí)，提高他們的思維品質(zhì)，促使他們對(duì)所學(xué)知識(shí)的掌握與解題能力的提高，從而主動(dòng)建構(gòu)新知。