利用解析幾何解帶電粒子在磁場中運動的問題

摘 要：近幾年浙江課改特別強調學生應具備用數學知識解決物理問題的能力。高中物理的許多問題用數學知識可以很巧妙地解決，這給教師教學和學生學習都提供了一種新途徑。其中解析幾何是處理物理問題的重要方法之一。本文將嘗試應用解析幾何的方法解決帶電粒子在磁場、電場中運動的問題

關鍵詞：解析幾何；帶電粒子；動點軌跡方程；曲線的交點坐標

解析幾何是用代數方法來研究幾何問題的一門數學學科，其研究方法是將幾何圖形用代數方程來表示。解析幾何在高中的應用主要有兩個方面：一是將物理規律（方程）轉化為幾何圖象，利用圖象的性質和幾何方法來研究物理問題；二是將圖形或圖象轉化為方程，用求解代數方程的方法研究物理問題。本文從第二個方面出發，求動點軌跡方程和求曲線的交點坐標。

一、求動點軌跡方程

例1：如圖1所示，平面直角坐標系的y軸豎直向上，x軸上的P點與Q點關于坐標原點O對稱，距離為2a。有一簇質量為m、帶電量為+q的帶電微粒，在xoy平面內，從P點以相同的速率斜向右上方的各個方向射出（即與x軸正方向的夾角θ，0°<θ<90°），經過某一個垂直于xoy平面向里、磁感應強度大小為的有界勻強磁場區域后，最終會聚到Q點，這些微粒的運動軌跡關于y軸對稱。為保證微粒的速率保持不變，需要在微粒的運動空間再施加一個勻強電場。重力加速度為g。求：

（1）勻強電場場強E的大小和方向；

（2）若微粒在磁場中運動的軌道半徑為a，求與軸正方向成30°角射出的微粒從P點運動到Q點的時間t；

（3）若微粒從P點射出時的速率為v，試推出在x>0的區域中磁場的邊界點坐標x與y之間滿足的關系式。

分析與解：這道題的第（3）個小問題是要把滿足這一要求的所有的點都找出來，一個個去找，這不是出題者的初衷。我們可以任取一個發射角θ，離開磁場的速度方向指向Q點，如圖2，出射點為A點，A點的坐標為（x，y）。可以根據幾何關系，∠AO′B=∠AQO=θ，用已知量把出射點坐標表示出來，設粒子軌跡半徑為r：

二、求曲線的交點坐標

例2：有一等腰直角三角形區域，直角邊長為2a。在該區域，有一垂直紙面向內磁感應強度為B的勻強磁場。一束質量為m，電荷量為q，速度范圍在[0，]之間的帶負電粒子從中點O垂直直角邊射入該磁場區域，在另一直角邊放置一塊足夠大的熒光屏，如圖3所示。重力不計，求：

（1）速度至少為多大的帶電粒子，能夠在熒光屏上留下光斑。

（2）粒子在磁場中運動的時間和速度的關系。

（3）磁場區域內，熒光屏上亮點的位置和速度的關系。

（4）熒光屏上光斑的分布區域。

分析與解：本題的第（4）個小問題分兩塊，落在磁場內的位置容易找到，這里不討論。如果有粒子穿過斜邊落在磁場區域外，在x軸上的坐標怎樣求？如圖4，建立直角坐標系，設出射點為A，坐標為（x，y），落在x軸的點為B，最大速度對應的半徑為R==5a，圓心O″的坐標為（0，-4a），圓方程為x2+（y+4a）2=（5a）2斜邊的直線方程為x+y=2a，解出圓與直線的交點（3a-a，-a+a）。

由于O″A與AB垂直，所以兩條直線的斜率k1k2=-1，根據解析幾何的知識，過交點的切線方程為： y-（-a+a）=[x-（3a-a）]，當y=0時，求出最遠處的光斑坐標為x0=a。所以，在磁場外光斑分布區域為（2a，a]。

本題如果采用運動規律來求解，會遇到非特殊角的三角形問題，不便于求解，而采用解析幾何的方法，直接求交點，便于求解。

應用數學知識處理物理問題的能力是學習物理的主要能力之一，研究中加強平面解析幾何的知識和應用，無疑對學習物理有相當大的幫助。解析幾何把“數”和“形”聯系起來，而在物理問題中，“數”和“形”都蘊含著特定的物理意義。只有透過“數”和“形”的現象，深入地挖掘物理實質，才能達到解析幾何處理物理問題的更高境界。

我們在教學過程中，不能僅局限于對知識點的講解，以做題為目的，而忽略了知識和方法的拓展，這樣容易讓學生形成思維定式。在教學過程中，教師若能關注每一個細節，在任何一點上都能盡可能多地啟發學生思考，尋找更多解決問題的方案，必能更好地拓展學生的思維能力。