初中數學教學中學生探究能力培養的實踐

摘 要：本文就初中數學教學中培養學生探究能力的實踐從六個方面進行了闡述，使學生真正理解和掌握基本的數學知識與技能以及數學思想，獲得廣泛的數學活動經驗，從而提高學生的探究能力。

關鍵詞：初中數學；探究性問題；探究性學習；探究能力

探究性學習以學生為中心，以培養學生的整體素質為目標，其教學方法也從靜態的傳授轉變到動態的科學研究和自我學習。筆者在教學活動中做了一些這方面的工作，這里談幾點自己的做法。

一、將典型題演變、引申，引導學生聯想、探究

一個問題的解決，并不是問題的終了，而應該通過問題的演變、引申，拓寬思路，讓學生在積極的探究中獲得知識、發展思維。在教學中，我們要抓住時機，引導學生從典型題出發，善于想象，從不同的角度思考問題，經過適當的改造和變形，采用演繹、類比、推廣、演變等方法，幫助學生學會發現問題、提出問題并解決問題。所謂陳題，就是已經解決了的例題、習題和考題。

在“相似三角形”的教學中，有這樣一個問題：“如圖在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=3，AB=7，∠A=90°，在AB上有一點P，使△ADP∽△PBC，求AP長?！?/p>

學生通過相似三角形對應邊成比例得到：

=或=，解得x=2.8或1或6。

由此可以引導學生產生一個遞進式的探究性問題鏈。

探究一：原題中，你能否用定性的尺規作圖的方法找到一點P，使△ADP∽△PBC。

情形甲：只要使∠APD=∠BPC，學生經過討論思考也許仍難以解決P點的位置問題，此時教師可引導學生從光學的角度（光線的鏡面反射）去解決問題。

大家議論紛紛，終于發現：其實就是從D點發出的光線經過平面鏡AB的反射后通過C點，把它的光路圖畫出來即可。到此我已經讓學生從定量和定性兩種不同的角度去思考問題，讓學生體會到數形結合思想的美妙無比。然后我又趁熱打鐵問：如果把原題中的數2，3作一個改變，這個P點還唯一存在嗎？”“學生很快地從定量和定性兩種不同的角度解決了這個問題。

情形乙：只要使∠APD=∠BCP，也就是使∠DPC=90°，學生經過一番思考就發現：應該以CD為直徑畫圓與AB的交點即為P點。緊接著組織學生自行對問題進行引申和探究（象情形甲后來那樣）。

探究二：原題中，把“AB=7”改為“AB=a”，試研究P點的存在性與a的相關性。

情形甲：由=可得x=a可知x總有唯一解，也就是甲類P點總唯一存在。

情形乙：由=可得x2-ax+6=0，進而Δ=a2-24。

∴當a>2時，x有兩解，也就是乙類P點總存在兩個；當a=2時，x有唯一解，即乙類P點唯一存在；當a<2時，x無解，即乙類P點不存在。

探究三：如圖在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=3， AB=a，∠A=90°，在AB上有一點P，PD、PC，把梯形分成三個三角形，若有其中一對三角形相似，試研究P點的存在性與a的相關性。（甲乙兩種情形不再贅述，對∠DPC=90°的情形暫不作討論）

情形丙：△ADP∽△CDP，學生馬上會在想：怎么對應才合理呢？經過討論發現：只能是∠PDC=90°，∠ADP=∠PCD。引導學生從尺規作圖的的角度去思考P點的定位。學生思考：作DP⊥DC交AB于P就能找到P點的位置，同時又要滿足∠ADP=∠PCD？那無疑是一種巧合，這種巧合可能嗎？為了從定量的角度去解決問題，那就應該列出關于x、a的方程，而且應該有兩個方程才對，學生經過一番苦思冥想：

由勾股定理得PD=，CD=再用△ADP∽△PCD得CD=，由SPAD+SPCD+SPCD=SABCD得·2x·+·3（a-x）=·（2+3）a，又由CD的不同表示得=，將a代入消去得x2+4=0∴x無解，即丙類P點不存在。

情形丁：△PCD∽△PBC（經推理其實是全等的），引導方法與情形丙相同，由CD=3，CD=得=3，又由勾股定理得x2+22=（a-x）2，最后可得x=-，不合題意。因此，丁類P點不存在。

探究四：把“探究三”中的“若有其中一對三角形相似”改為“若三個三角形彼此相似”，結果又將如何？

學生經過推理發現對應關系只能是∠ADP=∠CDP，∠BCP=∠PCE，也就是P為∠ADC與∠DCB平分線上的點，因此作PE⊥DC于E，并發現有兩對全等三角形，由CD=5，CD=得=5，又由PB=PE得a-x=x，最后可得a=2，x=。

因此只有當a=2時，這樣的P點才唯一存在。

這樣，我們通過一個問題的演變、引申，使學生在獲得知識的同時，也拓寬了思路，培養了學生的思維遷移能力，學生思維的深刻性和廣闊性也得到了很大的鍛煉。

二、引導學生用數學方法去發現和探究社會生活中的某些問題

在初中數學中，有無數的最優化決策問題。記得有一次，我帶初三學生去某風景區春游，我想這可是培養學生從生活中發現問題的好機會。在車上，我給學生出了一個思考題（好讓學生帶著問題去實踐一下）：

某風景區有A、B兩個某風景點到小路（直線l）的距離分別為2米和3米，AB=2米，攝影個體戶王冰應顧客的要求，把A、B兩個風景點都拍進（不能互相遮擋），又要遵照風景管理區規定（只能在小路l上拍攝，不準進入A、B腹地），為了取得最佳的拍攝角度及效果，請你幫王冰想想辦法，拍攝點P應該設在何處？

探究一：如何把“最佳的拍攝角度及效果”變成數學語言（就是應該滿足的什么樣數學條件）？

學生經過討論認為：只要使∠APB最大即可。

探究二：“只要使∠APB最大”，這個條件應該怎樣用呢？

引導學生回憶“∠？>∠？”的基本圖，已經有學生想到“在同圓中，同弦所對的圓周角大于同側的圓外角”，展示這個基本圖，加以拓展，學生漸漸地有了感覺：也就是以AB為弦畫圓使∠APB成為圓周角，而讓∠AMB成為圓外角（M是直線l上異于P的點），進而可知P點應該是圓與直線l的唯一公共點，因此圓與直線l相切。

探究三：那圓心F應該怎么找呢？

顯然圓心F在AB的中垂線上，而且FA=FP。

探究四：如何定量地確定P點的位置？

設DP=x，則FA=FP=PH=2-x，由勾股定理得FA2=x2+（+x）2∴（2-x）2=x2+（+x）2，∴x=2-3。

這樣通過活動的巧妙安排，創設形式多樣、豐富多彩的教學情境，培養學生主動參與探究，這不失為一種好方法。

三、要求學生每遇繁瑣解法時，總想探究最優（多）化解決方案

用多種解法解答同一個數學問題，就是要充分運用學過的基礎知識調動一切解題手段，從各個不同的側面去探究解題途徑，找到最優的解決辦法。

在初三復習階段，省編復習用書第41頁的第14題：如圖，正方形DEFG的一邊DE在BC上，頂點F、G分別在AC、AB上。已知△AGF、△CEF、△BDG的面積分別等于1、3、5，求正方形DEFG的面積。

此題在參考答案中的解法十分繁雜，出現繁分式方程和四次方。我要求大家尋找一種最優解決，并且告訴學生：只要方法巧妙，口算即可。這樣通過教師設置懸念，啟動學生的內驅力，觸發學生的探索意想。從△ABC彼此相似，而且相似比為：：，也就是AG∶BG∶AB=：：，又因為AG+BG=AB，所以口算用的直接算式就垂手可得：（+）2-5-3-1。

這個方法確實靈活巧妙，只要幾個三角形彼此都相似，就可以把原來的面積問題轉化為三條線段的長度問題，學生覺得特別有意思。然后我不失時機地要求學生探討這個方法有沒有普遍意義和推廣價值。看來只要幾個三角形彼此都相似，就應該存在面積的等量關系。

推廣一：如圖，D、E、F分別在BC、AC、AB邊上，四邊形BDEF是平行四邊形，△AEF、△EDC、△ABC的面積分別等于S1、S2、S。試探求S1、S2、S的關系式。（答案：+=）

推廣二：如圖，已知DE∥BC，FG∥AB，HI∥AC?！鱀IO、△OFH、△OGE、△ABC的面積分別等于S1、S2、S3、S。試探求S1、S2、S的關系式。（答案：++=）

推廣三：如圖，已知FG是梯形DECB的中位線，△ADE、△AFG、△ABC的面積分別等于S1、S2、S。試探求S1、S2、S的關系式。（答案：2=+）

四、要求學生每遇類似數學問題時，總想探究統一（公式）解法

學生在學習“相似三角形”這一章時，經常會遇到一類問題：作平行線，造相似形基本圖，從而求線段比或求證線段成比例等，實際上用梅氏定理一次或兩次即可解決。這樣的數學問題僅在第五冊數學書中就出現五次之多，其他資料中就更不必說，它的解法也有好幾種，但最關鍵的一種是作平行線。我要求學生認真研究這五道題的做法。

探究一：成功的平行線究竟有什么共同之處呢？

所作的平行線必須能得到兩對相似三角形，也就是造出兩個A或Z型基本圖，而且必須都能用三條相關線段（包括已知相關線和求證相關線）和一條過渡線段列出一個比例式。

探究二：把所有相關線段都標在圖上，看一看他們能組成什么圖案？（三角旗或有毛的三角旗）

探究三：過旗布三頂點作相關線段的平行線都會成功嗎？你喜歡那一種？（都會成功。我喜歡的是：比如過旗布飄動點作旗桿的平行線。）

通過這類問題的深入研究，形成了統一解法，使學生體會到終于獲得法寶的成就感。

五、故意露出破綻，讓學生討論探究，找出問題的癥結所在

討論探究可以引起爭論，激發思維，從而在交換意見中，相互啟發，相互質疑，取長補短，加深理解，還可以激發學生對數學的學習興趣，同時也培養了他們的合作精神。

例如：已知關于x的一元二次方程m2x2+（m-1）x+（m-2）=0 只有一個正實根。求實數m的取值范圍。

教學時可以先設置“陷阱”，激發學生探究的思維沖動。

錯解：∵關于x的一元二次方程只有一個正實根，

∴x1x2≤0，∴≤0，解之得m≤2。

有的學生提出，解答過程中丟了m≠0和△>0這個條件。我及時給予肯定，又問還有問題嗎？學生繼續討論探究，又有學生提出：題中給予的條件“一元二次方程只有一個正實根”與“x1x2≤0”不等價（比如當一根為負另一根為0時兩根之積仍小于等于0）。

通過討論，他們發現所給的解法把原題中“一元二次方程只有一個正實根”的條件放寬成了“兩根之積大于等于0”，緊接著讓學生討論怎樣糾正這一錯誤。全班學生在討論探究中，逐漸明了，還應該排除“一根為負另一根為0”這一情形，也就是“一元二次方程只有一個正實根”的等價條件應該是“x1x2<0或x1x2=0且x1+x2>0”。綜上所述，m應滿足以下不等式組：

△=（m-1）2-4m2（m-2）>0

m≠0

<0或

=0且-

=0

學生以為大功告成，喜悅之情溢于言表。我沒有就此罷休，抓住這個契機，引導學生繼續討論探究解法還有無缺陷。通過討論大家發現由x1x2<0，就可以確?！?gt;0。因此上述不等式組中的第一式純屬多余，應該去掉。這樣，學生能在教師的點撥中把握問題的精要之處，通過討論探究，充分認識解題的依據，既體會到探究的樂趣，又享受嚴謹思維的美妙。

六、布置一些切合學生實際的探究性問題并進行指導

提高學生的探究能力是我們開展小組合作的基礎。常用的問題解決策略有：通過列表分析數據；建立和使用模型及圖象；嘗試解決一個簡單的相關問題；通過一系列簡單問題的解決尋找規律——結果與方法；比較和類比；通過嘗試—錯誤—修正，逼近問題；估計和猜測問題答案等。小組合作方式的問題解決的活動方案為：第一步：把學生分為若干小組，每一小組由三至六名優等生和后進生均衡搭配的學生組成。第二步：每一星期（或適當延長）布置一個問題，以小組為單位，互教互學，一星期內（或適當延長）合作完成，并由學生輪流寫成解題報告。這里的問題可以是與課程內容相關的，也可以是無關的，但要求是有一定難度、學生通過合作研究能夠解決的問題。第三步：由起草報告的學生在班級里口頭交流報告，最后由教師指出每份報告的優缺點，并給予適當的表揚和鼓勵，記入平時成績。為了更好地開展這一活動，教師最好能制訂一個學期計劃，并經常指導學生的合作活動，包括合作技能訓練、解題策略、報告寫作及口頭交流等方面的指導，使合作學習方式的問題解決活動更有成效。下面是一份問題解決報告：

問題：6×6正方形，（縱橫等分成六等分）問能組成多少個正方形？

策略：①若你不能解決這個問題，請試解簡單的相關問題；建議從1×1正方形、2×2正方形、3×3正方形開始分析。②用圖表組織數據并加以分析。③尋找一個一般規律，由表可知6×6正方形能組成的正方形數：1+4+9+16+25+36=12+22+32+42+52+62=12+22+32+42+52+62=91。④推廣：記Sn為n×n正方形能組成的正方形數，則有Sn=12+22+32+…+n2或n3+n2+n。

前者可由觀察比較猜想而得到；后者可建立三次函數模型或用待定系數法解決。后來學生又提出新的問題：用三次函數模型缺乏理論根據（目前暫時無法解決，要用高等數學才行），有沒有令人信服方法去說明結果就是n3+n2+n呢？有！有兩種！可以用疊加法或數學歸納法來解決，建議有興趣的學生去看看有關疊加法或數學歸納法的書刊。當然學生很想知道如何證明，此時可向學生介紹疊加法：

∵（k+1）3=k3+3k2+3k+1

∴（k+1）3-k3=3k2+3k+1

∴23-13=3×12+3×1+1

33-23=3×22+3×2+1

43-33=3×32×3×3+1

……

（n+1）3-n3=3n2+3n+1

把上面n個等式相加得：（n+1）3-1=3（12+22+32+…+n2）+3（1+2+3+…+n）+n

∴（n+1）3-1=3Sn+3×n（n+1）+n，∴Sn=n3+n2+n

這個課題的研究是必修課內容的延伸，是學生通過努力可以解決的問題。通過這個問題的研究，提高了學生學習數學的興趣，培養了學生的研究能力、動手實踐能力和創新能力，也培養了學生的自學能力和觀察、實驗、猜想、調整等合情推理能力，其效果是深遠的。

通過這些教學實踐，我受到了深刻的教育：學生中蘊藏著巨大的智慧和力量，教師的任務就是喚起他們的學習興趣，點燃他們智慧的火花，釋放他們實踐的能量，成功的喜悅將伴隨著他們獻身科學的全過程。