例析三角函數(shù)中的最值問題

三角函數(shù)的最值問題是函數(shù)最值的重要組成部分，也是歷屆高考的熱點(diǎn)之一。題型多為填空題、選擇題及解答題等中檔題，主要考查三角函數(shù)的求值、化簡(jiǎn)、證明以及解決簡(jiǎn)單的綜合問題。其最值問題尤為重要，它對(duì)三角函數(shù)的恒等變形能力及綜合應(yīng)用能力要求較高。解決這一類問題的基本途徑，同求解其它函數(shù)最值一樣，一方面應(yīng)充分利用三角函數(shù)自身的特殊性（如有界性等），另一方面還要注意將求解三角函數(shù)最值問題轉(zhuǎn)化為我們所熟知的函數(shù)（二次函數(shù)等）最值問題。下面就其類型與解法舉例說明。

一、利用三角函數(shù)的有界性（|sinx|≤1，|cosx|≤1）

對(duì)于可化為形如y=Asinx+B（A≠0）和y=Acosx+B（A≠0）等一次型函數(shù)或求三角函數(shù)式y(tǒng)=的最值，都可以利用三角函數(shù)的有界性（|sinx|≤1，|cosx|≤1）求最值。

例：（2009山東，17）求函數(shù)f（x）=cos（2x+）+sin2x的最大值。

解析：因?yàn)閒（x）=cos2xcos-sin2xsin+=-sin2x，所以，當(dāng)2x=-+2kπ，即x=-+kπ（k∈Z）時(shí)，f（x）取得最大值，f（x）max=。

評(píng)析：本題利用余弦兩角和公式、二倍角公式的變形式將函數(shù)化成了關(guān)于sinx一次型函數(shù)，再利用正弦函數(shù)的有界性求得最值。

二、結(jié)合定義域利用函數(shù)的單調(diào)性

對(duì)于可化為形如y=Asin（wx+φ），y=Acos（wx+φ）和y=Atan（wx+φ）等標(biāo)準(zhǔn)形式的三角函數(shù)，可結(jié)合其定義域，利用函數(shù)的單調(diào)性求最值。

例：（2012湖南，6）函數(shù)f（x）=sinx-cos（x+）值域?yàn)椋?）

A.[-2，2] B.[-，] C.[-1，1] D.[-，]

答案：B 因f（x）=sinx-cos（x+）=sinx-cosx+sinxsin（x-），所以f（x）的值域?yàn)閇-，]。

評(píng)析：本題主要考查兩角和與差的正、余弦公式的逆用以及三角函數(shù)的值域，求解的關(guān)鍵是將f（x）化為sin（x-）的標(biāo)準(zhǔn)形式。

三、可轉(zhuǎn)換為二次型函數(shù)y=Asin2x+Bsinx+C（A≠0）

若所給的三角函數(shù)式能化為關(guān)于某一三角函數(shù)值為未知數(shù)的二次函數(shù)（如y=Asin2x+Bsinx+C（A≠0）的形式，可結(jié)合二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)求其最值。

例：（2010北京，15）求函數(shù)f（x）=2cos2x+sin2x-4cosx的最值。

解析：f（x）=2cos2x+sin2x-4cosx=2（2cos2x-1）+（1-cos2x）-4cosx

=3cos2x-4cosx-1=3（cos-）2-，x∈R。

因?yàn)閏osx∈[-1，1]，所以cosx=-1時(shí)，f（x）取得最大值為6；cosx=時(shí)，f（x）取得最小值為-。

評(píng)析：本題考查了二倍角公式、復(fù)合函數(shù)求最值等知識(shí)，考查了運(yùn)算能力，屬于中等難度。

四、利用三角函數(shù)式的幾何意義

利用三角函數(shù)的幾何意義求最值，例如求三角函數(shù)式y(tǒng)=的最值，可轉(zhuǎn)化為討論定點(diǎn)A（a，b）與動(dòng)點(diǎn)P（cosx，sinx）連線的斜率，用幾何方法求三角函數(shù)式的最值。

例：求函數(shù)y=最值。

解：原函數(shù)可變形為y=這可看作點(diǎn)A（cosx，sinx）和B（-2，0）所在直線的斜率，而A是單位圓x2+y2=1上的動(dòng)點(diǎn)。由圖可知，過B（-2，0）做圓的切線時(shí)，斜率有最值。由幾何性質(zhì)得ymax=，ymtn=-。

五、換元法（sinx±cosx，sinxcosx同時(shí)出現(xiàn)就用換元法）

求形如y=A（sinx±cosx）+Bsinxcosx+C的三角函數(shù)式的最值，借助sinx±cosx和sinxcosx的關(guān)系，利用換元法轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)最值，通常令t=sinx±cosx，其中|t|≤。

例：求函數(shù)y=sinx-cosx+sinxcosx的的最大值和最小值。

解：設(shè)t=sinx-cosx=sin（x-），則-≤t≤，且sinxcosx=。

由于y=t+=（t-1）2+1 t∈[-，]，故當(dāng)t=1時(shí)，ymax=1；當(dāng)t=-時(shí)，ymtn=--。

評(píng)析：sinx±cosx，sinxcosx這三者之間有著相互制約、不可分割的密切聯(lián)系，sinxcosx是紐帶，三者之間知一求二。若表達(dá)式中出現(xiàn)sinx±cosx，sinxcosx函數(shù)，屬于y=A（sinx±cosx）±Bsinxcosx+C型函數(shù)，應(yīng)考慮其內(nèi)在關(guān)系，利用換元法來求函數(shù)最值。