高考中再現“數形結合”的三重境界

數形結合是一種很重要的數學思想方法，正如著名數學家華羅庚先生說：“數形結合百般好，隔裂分家萬事休”。他親切風趣地教導我們千萬不要“得意忘形”，它不僅給我們的解題帶來方便，更重要的是我們更深刻形象地體會到數學各分支之間的內在聯系和數學美，常使復雜的問題簡單化，抽象問題具體化，獲得簡捷易行的有效解法。數形結合解題主要包括兩方面的內容：一是以“形”輔數，由于許多數字表達的較抽象，但若挖掘其幾何意義，并與以“形”結合起來，會使問題的解決更明朗。二是以“數”解形，把二者有機結合后，借助形象思維產生思路，甚至觀察出結果，而這一結果往往需要代數的方法求出，下面我將對2014年高考中出現的幾道題再現“數形結合”的三重境界進行分析。

一、識圖解題

識圖解題就是在閱讀理解的基礎上，觀察已經有的圖像形狀找出分散（或隱含）在圖像中的各個知識點，正確提取有效信息，是解決這類問題的前提。

例1：（遼寧卷理科15題）：已知橢圓C：點M與C的焦點不重合，若M關于C的兩個焦點對稱點分別為A，B，線段MN的中點在C上，則|AN|+|BN|=_____。

分析：用數形結合的思想將對稱問題轉化為中點問題，進而轉化中位線問題。再利用橢圓的定義便可迎刃而解。

解：如圖，設MN的中點為D，兩個焦點分別為F1，F2，因為M關于C的兩個焦點對稱點分別為A，B，所以F1，F2分別是MA和MB的中點，所以DF1，DF2是三角形的中位線，故|AN|=2|DF1|，|BN|=2|DF2|，由橢圓方程知a=3，橢圓的定義|DF1|+|DF2|=2a則|AN|+|BN|=2|DF

1|+2|DF2|=4a=12

二、畫圖解題

畫圖解題是學生對題中給出的信息“束手無策”就其原因，是對問題不理解，特別是對由數提供的條件不會用時，應該化“圖像信息”為“數字信息”是解決這類問題的基礎。

例2：（四川卷理科14題）：設mR，過定點A的動直線x+my=0和過定點B的動直線mx-y-m+3=0，相交于P（x，y）則|PA||PB|的最大值為_________。

分析：用數形結合的思想將解析幾何問題轉化為圖像問題，進而觀察兩圖像的特點。再利用均值不等式以及勾股定理便可解。

解：因為動直線L1： x+my=0過定點A（0，0），動直線L2： mx-y-m+3=0，過定點B（1，3），又因為1.m+m.（-1）=0，所以L1與L2垂直，所以根據均值不等式以及勾股定理得|PA||PB|=5。

三、構圖解題

構圖解題是“形”輔數的第三層次，這就要求學生對問題進行充分思考，根據題中所提取的有關信息，通過理解加工，根據問題的需求建立數學模型，達到解決問題的目的。

例3：（山東卷理科20題）：設（設K為常數，e=2.718…為自然對數的底數）

（1）當k0 時，求函數f（x）的單調區間。

（2）若函數f（x）在（0，2）內存在兩個極值點，求K的取值范圍。

解：（1）定義域xgt;0，= "因為K，所以-KX，所以，令，得x=2 "列表知f（x）在區間（0，2）上單調遞減（2，）單調遞增。

（2）由（1）知，當K0時，f（x）在區間（0，2）上單調遞減，所以f（x）在（0，2）上無極值。當K0時，要使函數f（x）在（0，2）內存在兩個極值點，則在（0，2）內有兩個解，即k= 在（0，2）內有兩個解，設y=k，g（x）=，即它們的圖像有兩個交點，因為=，=0.得x=1，列表知g（x）在區間（0，1）上單調遞減（1，2）單調遞增。所以X=1時=e。又X=2時g（x）= "要使它們的圖像有兩個交點，則。

總之，在上面三例解題的過程中，完美地體現了數形結合的思想，等價變形和轉換思想，讓人體會到一道難得的好題總是以平凡形態呈現出來，但卻內蘊厚重，縱橫聯系。而特別是優美、自然的構造法常常是建立在學生已有的知識基礎之上的，它生成于認知結構的最頂端，確實給學生的創新思維提供有益的培養和訓練空間，也能引導學生在平凡、簡潔的數學問題思考中，構筑完整的知識網絡，發展學生的創新能力，真給人以美的享受。