淺談數形結合法在中學數學教學中的運用

摘 要：數形結合是重要的數學思想和方法之一，用數形結合的方法解決問題可取得事半功倍的效果，對于培養學生的靈活解題能力及創新思維具有積極的促進作用，所以在教學及問題解答中應積極開拓數形結合的方法。本文就數形結合法在中學數學教學中的運用進行了探討。

關鍵詞：數形結合 數學教學 圖形語言

一、數形結合法的意義與作用

數學就是數與形的科學，數與形是中學數學的主體。“形”與“數”既有區別，又有聯系，用代數的方法研究幾何，是學習數學的重要手段。但是如何進行數形結合技巧教學，讓學生對數形結合思想和方法加以掌握并不容易。以下筆者通過在教學中對數形結合方法的運用總結了以下幾個方面的具體情形，以期與各位同仁互相交流，共同探討。

二、數形結合法在中學數學教學中的運用

1.在集合教學中的運用

兩個集合的基本關系，交集﹑并集﹑補集的運算用代數方法講解學生理解起來并不容易，所以在教學中，筆者利用圖形語言（韋恩圖）進行講解，兩個集合之間的基本關系，基本運算，其含義一目了然。同時，直觀﹑形象的圖形語言還有助于加深學生的記憶，起到事半功倍的效果。

2.在函數教學中的運用

在函數的教學中，數形結合的應用更為廣泛。函數的圖像和解析式是函數關系的主要表現形式，實質是相同的，在解題時經常要相互轉化，在解決函數問題時，尤其是較為繁瑣的問題時要充分發揮圖像的直觀作用。比如利用圖像說明函數的單調性（代數語言學生不好理解）﹑求函數的最值等。

3.在方程與不等式教學中的運用

在方程與不等式的教學中，數形結合法比較突出的有絕對值不等式的求解﹑一元二次不等式的求解等。比如在不等式的求解教學中，去絕對值時借助圖像，學生會很容易理解。

在一元二次不等式的求解中，把二次項系數化為正之后，求對應的一元二次方程的兩個根。為什么要這樣求根呢？因為它是使得函數值為0的點，而相應的不等式則是使得函數值大于0或小于0的點的集合。我們借助圖形語言——函數圖像可以清楚直觀地說明它的解集，避免了記憶的麻煩。

4.在三角函數教學中的運用

在三角函數的教學中，筆者曾經用數形結合法講解過該章的基礎定義——任意角的三角函數定義。這是數形結合在教學中的一個典型例子。以初中銳角三角函數（幾何定義）為基礎，將其發展為直角坐標系中的銳角三角函數（代數化），而在定義的發展過程中，對代數問題進行說明時，又需要用到幾何的證明（相似三角形原理）來加以輔助。

另外，在探討三角函數性質的教學中，也常常是數形不分家，邊觀察圖像邊說明性質，或根據性質描繪圖形。利用數形結合法既直觀形象，又加深記憶。

5.在立體幾何教學中的運用

在立體幾何中，用坐標的方法將幾何中的點﹑線﹑面的性質及其相互關系進行研究，可將抽象的幾何問題轉化為純粹的代數運算。在教學中，數形結合法的一個最重要最直接的應用就是向量法。如證明垂直時轉化為求兩個向量的內積為0，證明平行時轉化為將兩個向量進行線性表示，而求長度或距離的問題則轉化為利用公式求向量的模等。將空間幾何問題轉化為代數問題可以彌補大部分學生空間想象能力不強的缺陷，同時另辟佳徑，減小了學生應用幾何定理和幾何證明書寫過程出錯的概率。

6.在數列教學中的運用

數列是一種特殊的函數，它可以看成定義域為正整數集或其中的一個子集的函數，數列的通項公式以及前n項和公式可以看作關于正整數n的函數。用數形結合的思想研究數列問題是借助函數的圖像進行直觀分析，從而把數列的有關問題轉化為函數的有關問題來解決。如在涉及前n項和的最值問題時常轉化為配方法求一元二次函數的最值問題。

7.在解析幾何教學中的運用

解析幾何的基本思想就是數形結合，在解題中善于將數形結合的數學思想運用于點﹑線﹑曲線的性質及其相互關系的研究中。借助直線﹑圓﹑圓錐曲線在直角坐標系中圖像的特點，可以從圖形上尋求解題思路，啟發思維，難題巧解。

綜上所述，在數形結合的應用過程中，常常根據數量關系與圖形特征之間的聯系和規律，把一個形的問題轉化成與之相應的數的問題，或是數的問題轉化成與之相應的形的問題。

三、小結

總而言之，僅有數的分析或形的直觀都不易單獨解決問題，形與數相結合不僅是數學自身發展的需要，也是加深對數學知識理解﹑發展智力﹑培養能力的需要。數形結合既具有數學學科的鮮明特點，又是數學研究的常用方法，因此在教學中應引導學生樹立數形結合的思想，靈活解決數學問題。

（作者單位：滕州市棗莊科技職業學院）