以“求變思維”促進學生的反思性學習

摘要：“一題多解與一題多變”的教學方式可以很好地培養學生的反思能力和解題能力。一題多解是從不同的角度、不同的方位去審視分析問題，是一種發散思維，而一題多變則是創造性思維的體現，通過題設的變化、結論的變化、引申新問題讓學生對知識的理解更深刻。本文以蘇教版《必修二》解析幾何和立體幾何為平臺，通過兩個例題，從“求變思維”的角度來闡述在數學教學過程中，如何激發學生反思性學習，提高課堂效率。

關鍵詞：一題多解;一題多變;反思性學習

中圖分類號：G633.6文獻標識碼：A " " 文章編號：1992-7711（2015）13-082-1

一、一題多解，反思學習

一道數學題因思考的角度不同可得到多種不同的思路，廣闊尋求多種解法，有助于拓寬解題思路，發展學生的思維能力，提高學生自我反思和分析問題的能力。特別是在高三解題教學時，要經常注意引導學生自我反思，從不同的方面，探求解題途徑，以求最佳解法。下面我們通過例題來說明一題多解在教學中的滲透。

例1如圖，已知過點A（-1，0）的動直線l與圓C：x2+（y-3）2=4相交于P、Q兩點，M是PQ中點，l與直線m：x+3y+6=0相交于N。探索AM·AN是否與直線l的傾斜角有關，若無關，請求出其值;若有關，說明理由。

分析：本題關鍵是點M的坐標求解，學生一開始會考慮直線和圓聯立方程并結合韋達定理求出M的坐標，但運算量有點大，如何優化解法？

解：因為CM⊥MN，

所以AM·AN=（AC+CM）·AN=AC·AN+CM·AN=AC·AN。

方法一：設直線的點斜式方程，討論斜率的存在性。

方法二：由于直線l斜率為零的情況不滿足題意，故設直線的“反斜截式”方程x=my-1，斜率不存在的問題迎刃而解。

方法三：采用設而不求的思想，考慮最后的問題聚焦于點N，而點N在定直線m：x+3y+6=0上，故直接設點N（x0，y0），則x0+3y0+6=0，所以AN=（x0+1，y0），

所以AM·AN=AC·AN=x0+1+3y0=（x0+3y0）+1=-6+1=-5，

故AM·AN與直線l的斜率無關，且AM·AN=-5。

以上三種方法總體上講采用了代數方法，解決了圓中的有關定值問題，那本題是否可以從幾何角度給予解釋證明呢？方法四揭示了AM·AN為定值的幾何本質。

方法四：連接CA并延長交直線m于點T，易知Rt△ACM∽Rt△ANT，

所以，ACAM=ANAT，即AM·AN=AC·AT，又因為AC=10，AT=510，

所以，AM·AN=AC·AT=5，故AM·AN=-AM·AN=-5。

一題多解重在通過老師的引導，讓學生自己思考，自覺的動腦、動手，充分發揮學生自己的聰明才智，得到解題方法。而不是多種方法一骨腦的由老師講解，讓學生整理。一題多解的有效性學習思路是老師引導，學生想，討論，最后老師將方法匯總，學生通過一題多解讓學生培養善于思考的學習習慣，找到問題的最優解法。數學課堂上，適時地通過一題多解去激發出學生的智慧，讓學生從不同的方法、角度、思維方式去觀察、聯想、分析，根據問題的特定條件探索出一系列的解題思路，激發學生去發現和去創造的強烈欲望，加深學生對所學知識的深刻理解，有利于學生溝通知識間的聯系，訓練學生對數學思想和數學方法的嫻熟運用，鍛煉學生思維的廣闊性和深刻性，靈活性和獨創性，從而培養學生的思維品質，發展學生的創造性思維，培養學生的發散思維能力，這對學生今后的數學學習和數學知識的應用將產生深遠的影響。

二、一題多變，發散思維

在數學習題教學中，一題多變要循序漸進，步子要適宜，變得自然流暢，使學生的思維得到充分發散，而又不感到突然。一題多變，對一道數學題或聯想，或類比，或推廣，可以得到一系列新的題目，甚至得到更一般的結論，積極開展多種變式題的求解，哪怕是不能解決，有助于學生應變能力的養成，培養學生發散思維的形成，增強學生面對新問題敢于聯想分析予以解決的意識。下面我們通過例題來說明一題多變在教學中的滲透。

例2已知正方體的各個頂點都在球面上，它的棱長等于2，求這個外接球的表面積？

變式1：在三棱錐ABCD中，三條側棱兩兩垂直且長度均為2，求這個三棱錐外接球的表面積？

變式2：求棱長為2的正四面體ABCD的外接球的表面積？

變式3：在三棱錐ABCD中，AB=CD=6，AC=BD=AD=BC=5，則該三棱錐外接球的表面積？

解決例2問題的關鍵是外接圓的直徑就是正方體的體對角線，在長方體中這個也是成立的。對于變式1、2需要把三棱錐補成一個正方體，轉化為正方體的外接球問題（如圖1、2）。變式3需要把三棱錐補成一個長方體（CE=DE=32，AE=7），轉化為長方體的外接球問題（如圖3）。

通過例2我們可以發現：一道習題在手，若能打開思維的窗扉，從各種角度去考慮，尋求不同的解題策略，對提高我們的解題能力大有幫助，解題后認真總結，摸索規律，舉一反三，其收益更為明顯。實際教學中，特別是高三復習課，需要我們教師從數與形的角度深入研究，拓展學生的知識，讓學生構建解決解析幾何問題的能力和方法，在某類問題上形成一個完整的“微系統、微框架”，以達到以點帶面的效果，提高課堂效率。