淺談初中數學教學中思想與方法的滲透

【關鍵詞】初中數學 數學思想

數學方法 解題過程

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2015）03A-

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數學知識的發(fā)生、發(fā)展過程，是數學思想方法不斷完善與創(chuàng)新的過程。數學思想是靈魂，數學方法是行為。運用數學方法解決問題的過程就是感性認知不斷積累的過程，當這種積累達到一定程度后，就產生了質的飛躍，進而上升到數學思想。隨著新課改的不斷推進，數學教學方法的重要性就愈加凸顯出來。下面筆者就如何滲透數學思想與方法談四點看法。

一、數與形結合思想，提升理性與感性思維

數字比較具體化，它展示給學生的就是比較直白和直觀的數字表示，而如果結合圖形的形象化，對解決問題能起到立竿見影的作用。形助數，讓數字的關系表示在圖形上顯示出來，配上想象的空間，讓學生插上想象的翅膀，可以更加清晰地發(fā)現問題并解決問題；形助數，讓空洞的數學關系顯得更加生動，從圖形中去分析和挖掘解題關鍵。一般的形助數有：1.利用圖形來記憶面積公式；2.利用圖形來比較代數式的大小關系。通過構造幾何圖形，直觀地分析和解決問題，去除代數運算中的不確定性。

例題1：已知正實數x，求y=+的最小值.

例題解答：題目是由一串簡單的數字組成的，然后要求解最小值。在這里，我們很難得出兩個根號下最小值的求法，而如果轉化為幾何中最小值的求法，就比較容易了。

將+整理為+，轉化為求解x軸上的一點到兩點之間距離的最小值，而求這個最小值，就看出了求解時我們經常會用到的對稱—連線—交點問題。（如圖1）最終得出最小值為（0，2）與（2，-1）之間的距離，問題迎刃而解。

例題分析：將代數問題幾何化，有利于更加清晰地看清楚問題，換個角度、換個思路，問題就會柳暗花明。再比如一元二次方程的根，與函數圖形的關系、一次函數斜率、截距的特殊性，二次函數的判別式、開口、與x軸的兩個交點的距離等，這些都是形助數的關鍵，也是解題的關鍵。

二、方程與函數思想，促進轉換與變通實現

方程是數之間關系的形式，函數是用圖形化語言分析數學問題的關鍵，而有效地將方程思想與函數思想進行轉化和結合，可以使得解題更加方便，而又能夠發(fā)現一般不容易解答的問題的突破口。圖形更加直接，數字更加具體化，而這兩種思想的相互配合與運用，就能更好地解決初中數學問題。

例題2：若x1、x2（x1

例題解答：（如圖2）y=1時，畫出一條線在y=0之上，從而得出x1

例題分析：方程思想是通過分析數量間的關系入手，運用數學模型有效轉化出數學模型，函數思想是通過函數的概念來分析、轉化和解決問題。通過方程與函數思想的結合，使得相互間的思想能夠相互轉化，從而達到解題的目的。

三、劃歸與轉換思想，借助橋梁以促進解題

劃歸與轉換，是變換一種思維，給解題尋找另一條更加方便的捷徑，或者說是轉換為學生更加熟悉的題目方式進行解答，也可以說是轉化思想。劃歸思想是將未知轉化成已知的關鍵，利用劃歸思想進行解題，關鍵是需要找到合理而可行的轉化方向和目標，也需要明確將未知轉化為已知的意義，通過掌握基本的思想和方法，運用正確的步驟，順利解決問題。主要考點有：將一些實際的問題轉化為數學問題，常見轉化方式為未知與已知的相互轉化，動與靜的相互轉化，抽象與具體的相互轉化，特殊與一般的相互轉化等。

例題3：某容器若全部裝滿能裝20L酒精，現在從中倒出若干酒精，之后加水，繼而又倒出同樣多的液體，再加滿水，最后容器中的純酒精只有5L，那么每次倒出的液體是多少升？

例題解答：假設每次倒出的是xL，那么第一次倒出的酒精是xL，倒出之后，酒精的質量分數為20-，所以，第二次倒出的酒精的體積為x（20-）L。兩次為20-x-x（20-）=5；解得x=10。

例題分析：本題屬于質量分數相關的題目，在解答過程中，通過第一次倒出后酒精的物質的量與x相乘來表示第二次倒出的純酒精的體積，體現了劃歸思想，從而有效地解出了問題的答案。在相關實際問題的解答過程中，運用劃歸思想進行解題，可以起到借助橋梁的作用，使題目變得貼近學生思維。

四、分類與討論思想，促進解題思維更嚴密

分類討論思想運用于初中數學的很多方面，拿初中數學中的線段與三角形作為范例來分析。線段中的分類討論有如下一些情況：線段與端點位置不確定時引發(fā)討論；與角有關的分類討論為——角度或是一邊存在不確定的關系則引發(fā)分類討論。二次函數中，對二次項系數進行討論；絕對值方程中，對未知數進行討論，函數圖形中的相關分類討論等。對于分類討論思想的答案，有這幾種可能：并集形式、交集形式、并列形式。根據題目的實際情況進行分類討論解集的歸納。

例題4：（如圖3）在三角形ABC中，AB=6，AC=4，P是AC的中點，過P點的直線交AB于點Q，若以A、P、Q為頂點的三角形和以A、B、C為頂點的三角形相似，則AQ的長為（ ）.

（A）3 （B）3或 （C）3或 （D）

例題解答：由于以A、P、Q為頂點的三角形和以A、B、C為頂點的三角形有一個公共角（∠A），因此依據相似三角形的判定方法，過點P的直線PQ應有兩種作法：一是過點P作PQ∥BC，這樣根據相似三角形的性質可得=，即=，得出AQ=3；二是過點P作∠APQ=∠ABC，交AB邊于點Q，這時△APQ∽△ABC，于是有=，即=，解得AQ=.所以的長為3或，故應選B.

例題分析：分類討論思想是在解決問題時，如果出現不確定的情況，就可以采用分類討論的思想，對所有可能出現的情況進行分析和討論，最后歸納和總結，結合題目中已經給出的要求和說明，對答案進行觀察，找出適合題目的最終答案。

總之，教無定法，但是學習有一定的技巧和方法，一般情況下，教師應引導學生總結和分析，歸納出同類型題目的解決策略，找出適合學生自己的解題思想和方法，并進行專題性質的歸納和總結。將數學思想和方法“灌注”于學生的思想中，引導學生掌握正確的思想和方法，從而有效擴展學生思維，促進學生綜合能力的提升。

（責編 林 劍）