固定收益產品投資最優化模型研究與實踐

摘要：傳統投資組合基于馬科維茨證券投資組合理論，通過調整特定時期內各種證券的份額，達到投資組合預期收益率最大化和風險最小化。該組合屬于靜態最優化投資組合。實際上，在固定收益投資中，通常投資者在隨時間變化的資金約束下進行固定收益產品的連續投資，達到期限錯配和收益率最大化的目的。本文以運籌學運輸模型為基礎，以固定收益產品的特點為約束條件，設計了一個與實際情況相近的最優化模型，并給出了該類問題約束方程的通用數學形式。最后在三個典型投資案例中，使用自編軟件和Lingo軟件，對本模型進行了適用性和可操作性驗證。

關鍵詞：投資決策；定量建模；最優化技術

一、引言

現代投資理論始于馬科維茨提出的證券投資組合理論，他第一次把投資理論從定性分析推向定量求解。馬科維茨從投資組合的收益率和風險出發，提出了最優投資組合是風險一定情況下的收益最大化或收益一定情況下的風險最小化。該模型解決的是在特定時間內，投資組合內部各種證券的最優份額問題。該組合屬于靜態最優化投資組合。實際上，在固定收益投資過程中，投資者可用于投資的資金總額不是一成不變的，通常是在隨時間變化的資金約束下進行固定收益產品的連續投資，以達到期限錯配和收益率最大化的目的。

眾多研究人員努力把馬科維茨投資組合模型推廣到連續投資的實際動態情形，建模時使用的方法包括隨機控制方法和隨機規劃方法。目前連續動態投資組合研究已取得較多研究成果，國外做出突出貢獻的主要有Mossin、Li 和 Ng以及 Zhou 和 Li等。國內此類研究成果相對較少，主要有趙建、霍佳震和汪鑫等。

對于具有明確時間起止特征和收益率預期的固定收益產品而言，通過引入和重構運籌學運輸模型，可通過規劃求解各種約束條件下固定收益產品有效期內各個時段的投資金額，來制定最優化投資計劃。該投資計劃能夠在同時符合投資資金限制、固定收益產品交易規則以及投資策略的前提下使得收益最大化。

二、研究假設

通常情況下投資者對于其現金流的預測局限于一年期以內，因此本文所討論的固定收益產品主要是指從投資決策時點開始一年以內到期的固定收益產品，主要包括國債、央行票據、商業票據、銀行定期存單、政府短期債券、企業債券（信用等級較高）、同業存款等短期有價證券。以上投資標的皆具備兩大特性：高安全系數和穩定收益，投資本金和收益的保障程度高。據此本文提出以下假設：

（一）固定收益產品假設

擬投資固定收益產品集合中，每一個產品的起止時間確定，收益率確定。固定收益產品不會出現延期、展期，以及預期收益率低于預期，甚至本金無法兌現的情況。

（二）投資現金流假設

投資者可用于投資的若干筆資金的起止時間確定，金額確定。

（三）投資成本假設

投資成本為必要的固定收益產品交易成本、資金成本以及機會成本之和。由于一般情況下固定收益產品交易成本與投資本金相比較?。ㄓ袝r交易成本為零），因此忽略不計。對于所有的投資計劃而言，資金成本和機會成本是一致的。所以本文假設投資成本為常數，投資成本對于最優投資計劃的選擇無影響。

（四）投資收益兌付假設

1.假設所有固定收益產品均使用附息方式。

固定收益產品的收益兌付方式分為附息方式（主流方式）和貼現方式。在某種程度上，貼現方式也是一種特殊的附息方式。本文假設所有固定收益產品均使用附息方式。

2.假設到期產品收益按預計收益率計算，未到期產品收益按預計收益率及實際持有天數計算。

如果被投資的固定收益產品允許投資者在該產品尚未到期的情況下進行買賣或者兌付，則假設成交（兌付）價格等于投資本金加上投資收益，其中投資收益按實際持有天數及既定收益率計付收益。

3.假設固定收益產品的收益到期立即分配，不參與下一投資時段其它固定收益產品的投資——即不考慮投資收益的再投資問題。

一般情況下由于投資期限短，投資收益與投資本金相比較小，投資收益“再投資”產生的收益更少，一般不會影響整體的投資規劃。而若投資收益“再投資”會產生“收益的收益”，如此將會進入一個無法結束的循環。因此本文假設“投資收益不再投資”。如果投資收益的確比較大，以至于可能會影響到投資計劃的選擇，可以為投資者增加一筆新的現金流以代表投資收益，其期限為從該投資收益兌付開始至本投資規劃中所有現金流終止時間中的最晚時間。

（五）折現率假設

由于固定收益產品的收益可能在不同時點兌付，所以本文將所有投資收益折現到同一參考時點。因為固定收益產品主要在銀行間市場進行交易，所以本文將Shibor各時間檔次利率作為折現率。對于非標準Shibor時間檔次的折現率，用三次樣條插值法予以解決。

本文三個案例的規劃時點為2012年8月1日，因此使用2012年8月1日Shibor數據，其各檔次利率如下表所示：

因投資者對不同期限折現率的預期存在差異，在實際使用本模型過程中，投資者可以根據自己對未來的利率預期使用三次樣條插值擬合法構建折現率曲線。

三、模型設計

在《連續投資過程中的資金規劃研究》一文中，作者對連續投資過程中的資金規劃進行了抽象和建模。其通用最優化模型只考慮到了投資項目之間復雜的時間關系，以及投資資金的約束。在固定收益產品連續投資過程中，如果進一步考慮固定收益產品的交易規則和投資人的投資策略，將大大提升模型的實用性。

為了求解各種約束條件下固定收益產品有效期內各個時段的投資金額（即投資計劃），本文引入運籌學上的運輸模型。運輸模型解決的是多個產地和多個倉庫之間的運輸計劃。與此類似，本文解決的是投資期內各個時段在各個固定收益產品上的投資金額。

引起投資計劃變化的時間點只有可能是某個固定收益產品的起止時點或者某筆資金的起止時點。根據這個規律，將所有固定收益產品的起止時點和所有資金的起止時點組成一個集合并按先后排序，每相鄰的兩個時間點為一個投資時段，時段內投資組合不變，只需確定每個時段內每個固定收益產品的數量即可。

（一）優化目標：

最大投資利潤

=MAX（投資利潤）

=MAX（投資收益–投資成本）

=MAX（投資收益–（交易成本+資金成本+機會成本））

投資利潤等于投資收益減去投資成本。投資收益為各筆固定收益產品收益兌付時點向同一個時點折現之和。由于本文假設投資成本為某一常數。所以可將優化目標簡化為：

MAX（投資利潤）=MAX（各個固定收益產品收益折現）

（二）約束條件：

在追求投資利潤最大化的同時，為了貼近實際情況，投資計劃必須滿足一系列約束條件。

1.資金約束：根據本文假設，各筆投資資金的起止之間確定，金額確定。各筆資金在同一時點的資金可相加，其和為該時點的最大可投資金額。資金約束的含義——對于投資時段內每個時間點，投資方案中固定收益產品投資金額之和小于等于對應時點的最大可投資金額。例如：對于下表中的兩筆資金，可以轉化成下圖中的資金約束圖。

2.交易規則約束：

投資者必須依照固定收益產品本身的交易規則進行操作。本文將固定收益產品按照持有時間要求和持有規模要求進行如下劃分。

按持有時間進行劃分——如果某固定收益產品在持有期內可以自由買賣，而非一定要持有至到期日，則該產品為時間可分的固定收益產品。例如：對于國債和大額可轉讓定期存單，投資者可以選擇持有至到期日，也可以選擇提前兌付或者轉賣。相反銀行定期存款必須持有至到期日，銀行才會向投資者支付利息，因此此類產品為時間不可分的固定收益產品。

按持有規模進行劃分——如果某固定收益產品可以按份購買，而非全額購買。則該產品為規模可分的固定收益產品。例如：對于國債，投資者可以根據國債票面價格按份購買。相反對于大額央行票據只能全額購買，因此該產品為規模不可分的固定收益產品。

3.投資策略約束：

投資策略包括風險策略、久期策略、固定收益產品之間的互斥或互補策略等等。風險策略有很多種，其中比較常用的一種策略是投資者對同一債務人或同一行業進行最高投資限額控制，以防范風險過度集中。有時投資者為了控制所持有的固定收益產品組合對于利率的敏感性，限制了投資組合的久期。

固定收益產品之間的互斥及互補策略。情況一、固定收益產品之間存在互補關系——即如果投資某一固定收益產品，其互補關系產品也必須投資。該策略適用于風險負相關，需要對沖風險的固定收益產品集合。情況二、固定收益產品之間存在互斥關系——即如果投資某一固定收益產品，其互斥關系產品不允許投資。該策略適用于風險正相關，需要分散風險的固定收益產品集合。

（三）模型中的符號表示及數學公式：

1.固定收益產品的表示

以ai表示某個固定收益產品，A為固定收益產品的集合。

A ={a1，a2，a3…，an}

其中n表示固定收益產品集合中產品的個數。對于每個固定收益產品ai，它擁有名字、起始日期、終止日期、利率、風險、規模、時間可分標志和規?？煞謽酥镜葘傩?。

2.現金流的表示

以fj表示某個現金流，F為現金流的集合。

F={f1，f2，f3…，fm}

其中m表示現金流的個數。對于每一筆資金fj，它擁有資金的名稱、起始日期、終止日期和規模等屬性。

3.時間點的表示

以T表示時間點的集合，它是各項固定收益產品和各筆資金開始時間和終止時間的并集。

T={t|t為ai的開始或者終止時間}∪{t|t為fj的開始或者終止時間}

4.投資時段的表示

以P表示投資間段的集合，它是T集合中各個相鄰時間點組成的有序實數對集合，每個有序實數對代表一個投資時段。

P={（a，b）|a，b∈T∧b為T集合中所有晚于a時點的最早時點}

5.資金約束

按照上述投資時段的劃分，每個時段內投資者最高可投資金額必定不變。因此對于任一時段k屬于P，可以用Fk（常數）表示對應時段內的最高可投資金額。

6.折現函數

本文使用參考時點Shibor各時間檔次利率作為折現率，借助三次樣條插值方法獲得折現率曲線，該曲線對應的函數為折現函數。以Payi表示第i筆收益的支付時點，ref表示指定的同一對比參考時點，用函數discount（pay，ref）表示折現函數。

7.投資計劃的表示

以S表示投資計劃，其中E為非負實數。

S=A×P×Q={（a，p，x）|a∈A∧p∈P∧x∈E}

對于（a，p，x） ∈S，它表示在p時段，持有固定收益產品a的金額為x。本文相應的用xij代表在第j個時段pj持有第i種固定收益產品ai的金額。投資計劃為一個由xij組成的矩陣。矩陣的每一行代表某一時段各種固定收益產品的持有情況，矩陣的每一列代表某一固定收益產品在投資期間的持有情況。

x11…xi1

x1j…xij

8.數學模型

根據以上描述和數學符號，可以構建如下模型：

優化目標：

以cij代表第j個時段pj第i種固定收益產品ai的投資收益率。

cij=ai在pj內的收益率×discount（payi，ref）

MAX=∑ni=1∑mk=1cikxik

限制條件：

（1）資金限制

對于任一時段k屬于P，所有固定收益產品投資金額之和小于等于對應時段的最高可投資資金。

k∈P ∑ni=1xik≤Fk

若當前時點已持有固定收益產品，只需在將所持固定收益產品在第一個個時段進行初始化，同時相應增加資金限制即可。

（2）固定收益產品交易限制

固定收益產品ai的規模限制。以Li表示固定收益產品ai的規模下限，以Ui表示固定收益產品ai的規模上限。如果Li=0，則固定收益產品ai不允許賣空交易。對于任一時段k屬于P，固定收益產品ai的產品投資金額大于等于持有下限，小于等于持有上限。

k∈P Li≤xik≤Ui

以Pi表示被固定收益產品a的起止時間覆蓋的投資時段p的集合，對于任一時段k不屬于Pi，固定收益產品ai的產品持有金額等于0。

Pi={p|p∈P∧p位于ai的生存期間}

kPi xik=0

如果固定收益產品a時間不可分，那么對于任一時段k屬于Pi，固定收益產品a在其起止時段內的投資金額相等。

k∈Pi xik=xik+1=xik+2…=xik+n

如果固定收益產品ai規模不可分，那么對于任一時段k屬于Pi，固定收益產品aI在其起止時段內的投資金額等于ai規模上限或者0。Bik是決策變量，它的值為0或者1。

k∈Pi xik=Bik×Ui

如果固定收益產品ai規模可分，但是必須按份購買固定收益產品a，那么對于任一時段k屬于Pi，固定收益產品ai在其起止時段內的投資金額等于Nik與F之積。其中Nik為決策變量，它是大于等于零的整數，F為常量，它是固定收益產品ai的票面金額。

k∈Pi xik=Nik×F

（3）風險限制

對于任一時段k屬于P，投資于同一債務人或同一行業所發行的固定收益產品集合Z的總額不超過已核定的最高投資限額L。

k∈P ∑zi=1xik≤L

（4）久期限制

tj為投資收益支付或本金兌付時點與參考時點之間的時長。以dij代表第j個時點第i種固定收益產品ai的單位收益的折現或者單位本金的折現。

D=∑ni=1∑mj=1dijxij×tj∑ni=1∑mj=1cijxij

（5）互斥和互補限制

如果固定收益產品ai與aj互斥，那么對于任一時段k屬于P，固定收益產品ai與aj的投資金額之積等于零。

k∈P xik×xjk=0

如果固定收益產品ai與aj互補，那么對于任一時段k屬于P，固定收益產品ai與aj的投資金額之積大于零或者持有金額的平方的和等于零。

k∈P xik×xjk>0∨x2ik+x2jk=0

四、案例求解及結果分析

為檢驗本模型的適用性和可操作性，本文在使用現實固定收益產品相關參數的基礎上，運用本文提出的模型為下述三種典型的固定收益產品組合制定最優化投資計劃。

因本模型須確定每個時段每個產品的投資金額，其結果為時間與產品的交叉矩陣，因此本文借助于運籌學軟件Lingo進行求解。另外為了讓本模型更貼近實際，增加了許多現實約束條件。為了簡單快捷，本文自編了一個Java軟件，通過它讀取Excel中的相關參數，然后自動輸出Lingo軟件可以識別和執行的運輸模型語句，最后用Lingo軟件求解。具體步驟如下：

1.將固定收益產品和資金流相關參數填入Excel。

2.將統一折現時點的Shibor利率填入Excel。

3.將固定收益產品交易規則和交易策略參數填入Excel。

4.使用定制程序讀取Excel表中的數據。

5.由定制程序生成LINGO軟件的輸入語句（核心步驟）。

6.運行LINGO軟件求解模型，得到最優化投資計劃。

（一） 案例一、時間和金額皆可分固定收益產品集合的投資方案

固定收益產品集合如下表所示：

預計投資收益：

該投資計劃的收益折現之后為875.3769。

投資計劃分析：

對于由時間和金額皆可分的固定收益產品組成的集合，其最優投資計劃算法為：對于每個時間段，選擇最高收益率的產品進行投資，如果資金仍有剩余，選擇次高收益率的產品進行投資，依次類推。

（二） 案例二、時間和金額皆不可分固定收益產品集合的投資方案

固定收益產品集合如下表所示：

預計投資收益：

該投資計劃的收益折現之后為607.3336。

投資計劃分析：

對于由時間和金額皆不可分的固定收益產品組成的集合，投資計劃必須在重疊的時間沖突中平衡投資時段和固定收益產品的金額和收益率。在此情況下，無通用的最優投資計劃算法。

（三） 案例三、各種類型混配的固定收益產品集合的投資方案

固定收益產品集合如下表所示：

預計投資收益：

該投資計劃的收益折現之后為704.4016。

投資計劃分析：

對于由各種類型混配的固定收益產品組成的集合，使用本模型可得到最優投資計劃。證明了本模型對多種類型的固定收益產品的組合投資具有通用性。

通過比較上述三個案例的收益可以很明顯的得出：當固定收益產品組成的集合的其他參數不變，只改變產品時間可分和金額可分特性，最優投資計劃獲得的收益按大小排序為時間和金額皆可分的固定收益產品集合、各種類型混配的固定收益產品集合和金額皆不可分的固定收益產品集合。

五、研究結論

本文根據固定收益產品交易規則，將其分為時間可分和金額可分（時間可分性本質上是流動性的體現），借助于運籌學運輸模型，構建了一個數學模型。它可根據投資者現金流、固定收益產品交易規則以及投資策略，定量求解投資計劃。本文中三個典型案例證明了該模型具有廣泛的適應性和可操作性。同時證明了，對于固定收益產品投資而言，交易規則越少，其價值越高。

目前，投資者和第三方理財機構首要關注固定收益產品的收益率和風險，其次關注宏觀經濟和利率走勢。根據投資者現金流“量身訂做”最優化投資計劃，提升資金使用效率，以獲得最大投資收益尚屬空白地帶。如果第三方理財機構能夠快速的低成本的為私人銀行級客戶或者大中型企業提供最優化的固定收益產品投資計劃，將可以減輕對關系營銷和產品讓利的依賴，以提供個性化最優投資計劃為理財服務的核心競爭力，在更高的層次上與其他機構競爭。

根據本模型的假設，它主要適用于固定收益產品的短期投資。目前使用本模型尚存在兩個問題。其一、投資者必須對未來現金流有充分的把握和精確的規劃，這在一般企業難以達到；第二，本模型是基于當前時點對未來一段時間進行整體統籌規劃。但是目前國內固定收益產品交易市場上遠期產品報價較少，市場不太活躍。目前可用兩個期限不同的固定收益產品同時進行做多和做空來得到一個遠期產品。

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