創新思維在線性代數教學中的應用探究

西班牙繪畫、雕塑大師畢加索說：“每一種創造活動首先是一種破壞活動”. 要力爭把已有的東西搞得面目全非. 做到了這一點，能夠與知識共舞，才真正“學透”了. 而進行這種“破壞性活動”就需要學生具有創新思維方式.

創新思維又稱為發散性思維，這種思維方式，遇到問題時，能從多角度、多側面、多層次、多結構去思考，去尋找答案，既不受現有知識的限制，也不受傳統方法的束縛. 其思維路線是開放性、擴散性的. 它解決問題的方法更不是單一的，而是在多種方案、多種途徑中去探索、選擇. 創新思維具有廣闊性，深刻性、獨特性、批判性、敏捷性和靈活性等特點. 我們知道任何事情一旦反復地重復，就會得到強化，形成習慣. 當我們總是選效率高的常規思維來解決問題時，漸漸地就會形成一種思維習慣，也就是對于我們所遇到的任何問題都采取這樣一種常規思維，隨著時間的推移，常規思維重復次數越來越多，習慣越來越得到強化，自然創新思維就越來越被弱化. 但是創造力的本質是思維習慣，而習慣可以養成，也可以改變，所以創造力可以通過顛覆原有的思維模式習慣而獲取. 而數學是思想，也是一種開放的語言. 借助于語言的更新，實現思維更新與顛覆，對數學學習至關重要.

一、具有創新思維需要顛覆原有知識的唯一性

創新思維在線性代數教學中得以應用的關鍵在于看到：我們所學的知識是有很多可能性的知識. 顛覆原有知識的唯一性，展示出眾多可能性的一部分，也就實現了創新. 例如，矩陣的初等變換意義下的等價只是等價關系的一種，人們還可以在此基礎上給出其他的等價定義. 比如：對給定的方陣施行一次初等行變換后，再實施一次同類的初等列變換，我們將相繼進行的兩個變換稱為對施行一次“整變換”. 如果方陣可由經過有限次整變換得到，則我們稱，具有“整變換關系”. 容易驗證整變換關系也是一種等價關系. 通過對原有概念的擴散，打破學生對矩陣等價變換的單一認識，讓學生們嘗試構建自己的等價關系，和課本中原有的等價知識進行對比研究，使學生體會到發現、創造的樂趣.

二、具有創新思維需要擺脫思維約束

創新思維要求開放心靈，其要點之一就是要盡量避免自我約束. 沒人要求你那么狹隘地做事，而有時候人們偏要自己限制自己. 例如，在講了二次型的概念及其矩陣后，讓學生將x12 - 8x1x2 + x32寫成XTAX的形式. 大部分同學的結果均為

x12 - 8x1x2 + x32 = （x1 x2 x3）1 -4 0-4 0 0 0 0 0x1x2x3

這種結果體現學生的兩種思維約束：一是自發的約束：自發的在可見邊界內考慮問題——看到的最大下標是3，便認為這是一個三元二次型. 這是人們常表現出來的認識局限性. 其實在沒有特別說明的情況下，可將給定的二次型多項式看作n（n ≥ 3）元二次型. 這就蘊含了無數可能性. 比如x12 - 8x1x2 + x32也可表示成：

x12 - 8x1x2 + x32 = （x1 x2 x3 x4 x5）1 -4 0 0 0-4 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0x1x2x3x4x5.

二是自覺約束，自覺地按老師說過的“二次型的矩陣是對稱所形成的約束”. 二次型的矩陣被規定為能生成它的無窮多個矩陣中的那個對稱矩陣. 但不意味著將二次型多項式寫成XT AX形式時，其中的A一定要是對稱矩陣. 事實上，

x12 - 8x1x2 + x32 = （x1 x2 x3）1 -2 0-6 0 0 0 0 1x1x2x3.

這種表述也是正確的.

世上沒有絕對的真理，只有滿足一定目的的建構行為. 當學生學會在每一個方向上展現無限視野，就能找到學習中收益最大化的開放路線. 真正富有創造力的教育就是讓學生看到正在演進的活知識的一片天，而不是讓其成為被死知識一葉障目的受害者.