數(shù)學(xué)思維型課堂的構(gòu)建

【摘要】 課標(biāo)明確指出：“數(shù)學(xué)在提高人的推理能力、抽象能力、想象力和創(chuàng)造力等方面有著獨(dú)特的作用. ”因此在數(shù)學(xué)課程教學(xué)中，構(gòu)建思維型課堂是課程教育的基本要求. 數(shù)學(xué)思維型課堂的構(gòu)建，首先在于教師對(duì)“思維點(diǎn)”的選擇，其次在于教師對(duì)“問(wèn)題點(diǎn)”的設(shè)計(jì). 數(shù)學(xué)思維型課堂構(gòu)建的具體途徑為：利用課題導(dǎo)入，引發(fā)探究思維；通過(guò)問(wèn)題引導(dǎo)，促進(jìn)認(rèn)知思維；依托變式訓(xùn)練，發(fā)展類(lèi)化思維；借助延伸拓展，啟迪創(chuàng)造性思維.

【關(guān)鍵詞】 探究思維；認(rèn)知思維；類(lèi)化思維；創(chuàng)造性思維

思維型課堂，指培養(yǎng)學(xué)生思維品質(zhì)的課堂學(xué)習(xí)活動(dòng). 關(guān)于數(shù)學(xué)課程的性質(zhì)，課標(biāo)表述為：“數(shù)學(xué)是人們對(duì)客觀世界定性把握和定量刻畫(huà)、逐漸抽象概括、形成方法和理論，并進(jìn)行廣泛應(yīng)用的過(guò)程. ”這段文字包含兩重含義：① 數(shù)學(xué)是貫穿思維活動(dòng)的課程；② 數(shù)學(xué)是一種工具，廣泛應(yīng)用于日常生活與社會(huì)實(shí)踐. 在課程教育價(jià)值或功效方面，課標(biāo)明確指出：“數(shù)學(xué)在提高人的推理能力、抽象能力、想象力和創(chuàng)造力等方面有著獨(dú)特的作用. ”因此在數(shù)學(xué)課程教學(xué)中，致力于構(gòu)建思維型課堂是課程教育的基本要求. 小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，如何構(gòu)建思維型課堂，本文以《圓的面積》為課例，談?wù)剛€(gè)人的認(rèn)識(shí).

一、利用課題導(dǎo)入，引發(fā)探究思維

探究思維，指與探究活動(dòng)有關(guān)的思維活動(dòng). 科學(xué)探究活動(dòng)的程序主要包含發(fā)現(xiàn)問(wèn)題并提出問(wèn)題、猜想與假設(shè)、制定計(jì)劃與設(shè)計(jì)探究方案、實(shí)驗(yàn)并獲取數(shù)據(jù)或收集資料、分析與論證等五個(gè)環(huán)節(jié)，這里所指的探究思維，一般指前面三個(gè)環(huán)節(jié)的思維活動(dòng).

課題導(dǎo)入是一節(jié)課的開(kāi)始，它是圍繞課題核心內(nèi)容而設(shè)置的問(wèn)題情境，由于是學(xué)生未知且又想弄清楚的問(wèn)題，因此在誘發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與探究思維方面有著重要的作用. 如《小數(shù)乘法》課題，學(xué)生已經(jīng)掌握了整數(shù)多位數(shù)乘多位數(shù)的運(yùn)算方法，因此本課題的核心內(nèi)容就是對(duì)乘積小數(shù)位數(shù)的確定方法. 據(jù)此，課題導(dǎo)入就可以以5.8 × 3.7為例來(lái)提出“如何確定乘積的小數(shù)位數(shù)”問(wèn)題. 對(duì)此問(wèn)題，學(xué)生具有“似相識(shí)又非相識(shí)”的感覺(jué)，“似相識(shí)”是知道5.8 × 3.7的乘積數(shù)字組合與兩位數(shù)乘兩位數(shù)相同，“非相識(shí)”是指不知道小數(shù)位數(shù)的確定方法，然而這樣問(wèn)題最容易引發(fā)學(xué)生猜想為“乘積中含有一位小數(shù)”或“兩位小數(shù)”，同時(shí)又會(huì)探尋支持猜想的理由或構(gòu)思驗(yàn)證猜想的方案，其中的“猜想”、“探尋理由”、“構(gòu)思方案”就屬于探究思維活動(dòng).

利用課題導(dǎo)入來(lái)引發(fā)學(xué)生的探究思維，首先在于教師對(duì)課題核心內(nèi)容的把握，其次在于問(wèn)題情境的啟發(fā)性. 如《圓的面積》課題，圓的面積公式S = πr2是本課題的知識(shí)重點(diǎn)，而公式的推演過(guò)程又是本課題的學(xué)習(xí)難點(diǎn)，因此探索圓的面積與什么因素有怎樣的關(guān)系就是本課題的核心內(nèi)容. 關(guān)于問(wèn)題情境的啟發(fā)性，課題導(dǎo)入就可以這樣設(shè)計(jì)：教師先在黑板上畫(huà)出半徑為r、2r、3r的同心圓讓學(xué)生觀察，然后提出“圓的面積與什么因素有關(guān)”與“具有怎樣的數(shù)量關(guān)系”這兩個(gè)問(wèn)題，其中圖形大小的對(duì)比顯示就具有直觀啟發(fā)作用. 學(xué)生通過(guò)對(duì)圖形大小的比較觀察，通常能引發(fā)學(xué)生的下列兩種猜想：① 與半徑有關(guān)，半徑越大，面積越大，半徑增大1倍，面積增大2倍或3倍；② 與周長(zhǎng)有關(guān)，周長(zhǎng)越大，面積越大，周長(zhǎng)增大1倍，面積增大2倍或3倍. 另外，學(xué)生還會(huì)聯(lián)想某些驗(yàn)證猜想的計(jì)劃或方案. 盡管上述兩種猜想不完全正確或聯(lián)想的驗(yàn)證猜想方案有欠缺，但對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的探究思維還是有著重要的意義.

二、通過(guò)問(wèn)題引導(dǎo)，促進(jìn)認(rèn)知思維

認(rèn)知思維，指認(rèn)知過(guò)程的思維方式. 依據(jù)皮亞杰的認(rèn)知發(fā)展理論，學(xué)生在認(rèn)知過(guò)程中的思維方式主要為同化和順應(yīng)兩種. 同化是指將面前的新問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與已有知識(shí)相同或相似的問(wèn)題來(lái)認(rèn)識(shí)或理解. 如將5.8 × 3.7的小數(shù)乘法演變?yōu)?.8 × 10 × 3.7 × 10 ÷ 100 = 58 × 37 ÷ 100的思維方式就是同化，其中58 × 37的運(yùn)算就是已有的方法知識(shí). 順應(yīng)，指當(dāng)前的新問(wèn)題無(wú)法納入已有知識(shí)結(jié)構(gòu)體系時(shí)而構(gòu)建新的知識(shí)與方法來(lái)認(rèn)識(shí)或理解的認(rèn)知方式. 如對(duì)于“扇形統(tǒng)計(jì)圖”，學(xué)生沒(méi)有與之相關(guān)的知識(shí)，因此不能理解這種統(tǒng)計(jì)圖的內(nèi)涵. 當(dāng)學(xué)生形成“整個(gè)圓表示事物的整體，其中某一扇形表示某一事物的數(shù)量大小”這種概念后，學(xué)生就能依據(jù)概念的內(nèi)涵來(lái)認(rèn)識(shí)或理解“扇形統(tǒng)計(jì)圖”的表示方法與意義，這種認(rèn)知過(guò)程就是順應(yīng). 課程學(xué)習(xí)中促進(jìn)學(xué)生的認(rèn)知思維，主要就是指促進(jìn)學(xué)生的同化或順應(yīng)思維.

問(wèn)題引導(dǎo)，這里指為促進(jìn)學(xué)生的同化或順應(yīng)思維構(gòu)筑一定臺(tái)階或橋梁. 如圓的面積公式推導(dǎo)，教材是先把圓分割為諸多面積相等的三角形，接著將這些三角形拼接為近似長(zhǎng)方形，然后引導(dǎo)學(xué)生想象并推理，分割的三角形越細(xì)小，拼接的近似長(zhǎng)方形就越接近長(zhǎng)方形，最后依據(jù)長(zhǎng)方形的面積公式來(lái)計(jì)算圓的面積. 對(duì)教材這種圓面積的轉(zhuǎn)化方法與極限分析思想，學(xué)生難于理解，因此教學(xué)中必須設(shè)計(jì)下列問(wèn)題加以引導(dǎo)：

（1）你學(xué)過(guò)哪些圖形面積的計(jì)算？

（2）采用什么方法可以把圓轉(zhuǎn)化為學(xué)過(guò)的圖形并依據(jù)其面積公式進(jìn)行計(jì)算？

（3）以圓心為頂點(diǎn)，半徑為兩邊的扇形與等腰三角形相比，有什么區(qū)別？

（4）兩個(gè)扇形互為倒置相拼接后是什么圖形？

（5）把圓分割成偶數(shù)個(gè)扇形，互為倒置相拼接后是什么圖形？

（6）分割的扇形越細(xì)小，拼接后的圖形越接近什么圖形？

（7）拼接后的圖形，長(zhǎng)邊與短邊分別等于多少？

（8）計(jì)算圓的面積公式是什么？

在上面問(wèn)題中，（1）（2）（7）（8）是促進(jìn)同化思維，而（3）（4）（5）（6）則是促進(jìn)順應(yīng)思維.

三、依托變式訓(xùn)練，發(fā)展類(lèi)化思維

類(lèi)化思維，指概括當(dāng)前問(wèn)題與原有知識(shí)的共同本質(zhì)特征，將所要解決的問(wèn)題納入到原有的同類(lèi)知識(shí)結(jié)構(gòu)中去，對(duì)問(wèn)題加以解決的思維活動(dòng). 數(shù)學(xué)解題的過(guò)程，實(shí)質(zhì)是數(shù)學(xué)形式的類(lèi)化演繹過(guò)程. 如 ÷ 與 ÷ 3，在形式上似乎有所不同，然而將后式寫(xiě)成 ÷ 則形式就相同，這就是把整數(shù)類(lèi)化演繹為分?jǐn)?shù). 又如整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的混合運(yùn)算，通常是將小數(shù)類(lèi)化演繹為分?jǐn)?shù). 再如在解答應(yīng)用題中，構(gòu)建數(shù)學(xué)形式的過(guò)程就是將實(shí)際生活問(wèn)題類(lèi)化演繹為數(shù)學(xué)問(wèn)題. 因此，數(shù)學(xué)課程教學(xué)中，發(fā)展學(xué)生的類(lèi)化思維是課程教育的重要目標(biāo).

提供變式訓(xùn)練是發(fā)展學(xué)生類(lèi)化思維的良好途徑. 變式訓(xùn)練，就是指依據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)概念而設(shè)計(jì)不同形式的數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展解題訓(xùn)練，其思維過(guò)程特征就是要求學(xué)生將所要解決的問(wèn)題納入到原有的同類(lèi)知識(shí)結(jié)構(gòu)中去并加以解決. 簡(jiǎn)單地說(shuō)，變式訓(xùn)練的目的就是發(fā)展學(xué)生的類(lèi)化思維.

設(shè)計(jì)變式問(wèn)題的思路主要是依據(jù)知識(shí)概念進(jìn)行形式與內(nèi)涵方面的變化. 如圓的面積計(jì)算訓(xùn)練，就可以設(shè)置下列問(wèn)題.

問(wèn)題1：在直徑為20 cm的大圓中，挖去直徑為10 cm的小圓，求大圓剩下的面積.

問(wèn)題2：把半徑15 cm的圓分成6個(gè)相等的扇形，每個(gè)扇形的面積是多少？

問(wèn)題3：花瓣?duì)铋T(mén)洞的邊是由4個(gè)直徑相等的半圓組成，這個(gè)門(mén)洞的周長(zhǎng)和面積分別是多少？

問(wèn)題4：在某400 m跑道運(yùn)動(dòng)場(chǎng)中，中間是一個(gè)長(zhǎng)方形，兩端是直徑為40 m的半圓形，求跑道的直道長(zhǎng)度與運(yùn)動(dòng)場(chǎng)的占地面積.

上面四個(gè)問(wèn)題，在形式方面，問(wèn)題1殘缺圓，問(wèn)題2中的扇形是圓形的分割體，問(wèn)題3是半圓形與正方形的組合，問(wèn)題4是半圓形與長(zhǎng)方形的組合. 在內(nèi)涵方面，問(wèn)題1是求兩圓面積之差，問(wèn)題2是引導(dǎo)學(xué)生將扇形面積轉(zhuǎn)化為圓面積來(lái)求算，問(wèn)題3是已知分量求總量問(wèn)題，而問(wèn)題4則是已知某總量和某分量來(lái)分析另一分量或求算另一總量問(wèn)題. 但不論何種形式與內(nèi)涵，它都要求學(xué)生類(lèi)化為圓問(wèn)題來(lái)解決，而其中蘊(yùn)含著不同的類(lèi)化思維方式正是變式訓(xùn)練以發(fā)展學(xué)生類(lèi)化思維能力的目標(biāo)所在.

四、借助延伸拓展，啟迪創(chuàng)造性思維

創(chuàng)造性思維，指以新穎、獨(dú)特或突破常規(guī)的方法來(lái)解決問(wèn)題的思維活動(dòng). 在數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)中，一題多解或發(fā)現(xiàn)新知識(shí)并運(yùn)用新知識(shí)解決問(wèn)題的思維活動(dòng)都屬于創(chuàng)造性思維. 如通過(guò)對(duì)■ + ■ = ■和■ + ■ + ■ = ■的觀察與分析則可以得到■ + ■ + ■ + … + ■ = ■的結(jié)論，并且知道，相加的項(xiàng)數(shù)越多，結(jié)果越接近1. 這種由發(fā)現(xiàn)新知識(shí)并解決問(wèn)題的思維就屬于創(chuàng)造性思維. 當(dāng)然，就數(shù)學(xué)知識(shí)而言，上面問(wèn)題屬于無(wú)窮遞縮等比數(shù)列求和問(wèn)題，早已被人們發(fā)現(xiàn)，但對(duì)學(xué)生本人來(lái)說(shuō)，仍是一種新知識(shí)，因此它屬于一種創(chuàng)造.

數(shù)學(xué)課程知識(shí)與原理的形成過(guò)程就是數(shù)學(xué)家的發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造過(guò)程，其中的問(wèn)題背景素材以及蘊(yùn)含的思維過(guò)程與方法都是啟迪學(xué)生創(chuàng)造性思維的源泉. 然而能否將這種源泉有效地利用，關(guān)鍵在于教師在教材內(nèi)容與方法的基礎(chǔ)上能進(jìn)行適當(dāng)?shù)难由旎蛲卣?

如“圓周長(zhǎng)公式”的探索，教材是引導(dǎo)學(xué)生采用實(shí)驗(yàn)測(cè)量的方法來(lái)論證周長(zhǎng)與直徑的比值關(guān)系. 對(duì)于“圓面積公式”的探索，教師也可以提出能否采用實(shí)驗(yàn)測(cè)量的方法來(lái)論證面積與直徑的關(guān)系. 實(shí)驗(yàn)測(cè)量圓面積，它可以借助圓柱體與長(zhǎng)方體容器來(lái)對(duì)比盛裝某種液體；來(lái)間接地測(cè)定圓面積數(shù)據(jù)（圓面積=長(zhǎng)方形容器測(cè)定液體體積 ÷ 液體在圓柱體中深度）. 對(duì)于圓面積與直徑之間的數(shù)據(jù)關(guān)系分析，又要求從方面進(jìn)行分析. 毫無(wú)疑問(wèn)，這種實(shí)驗(yàn)探究活動(dòng)，有益于啟迪學(xué)生的創(chuàng)造性思維.

另外，對(duì)于圓面積與半徑的S∝r2關(guān)系，教師也可以結(jié)合下面圖形知識(shí)來(lái)進(jìn)行分析與論證.

下圖中的三角形均為等腰三角形，圖2三角形XYZ的腰長(zhǎng)是圖1三角形ABC腰長(zhǎng)的2倍，而兩者面積則是4倍關(guān)系. 對(duì)于圖3的扇形，邊長(zhǎng)AD是AB的2倍，那么扇形ADE的面積則是扇形ABC的4倍. 對(duì)上述知識(shí)，在引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展創(chuàng)造活動(dòng)前，教師要做必要的認(rèn)知引導(dǎo)教學(xué). 在此基礎(chǔ)上，倘若學(xué)生能把圓分割為扇形，然后依據(jù)上面的知識(shí)來(lái)推理演繹并得到“半徑變?yōu)?倍，圓面積就變?yōu)樵瓉?lái)的4倍”，從而得到“圓面積與半徑平方成正比”的結(jié)論，何以不是一種創(chuàng)造.

數(shù)學(xué)思維型課堂的構(gòu)建，首先在于教師對(duì)“思維點(diǎn)”的選擇，即哪些知識(shí)與內(nèi)容可以促進(jìn)學(xué)生的思維，其次在于教師對(duì)“問(wèn)題點(diǎn)”的設(shè)計(jì)，即設(shè)計(jì)怎樣的問(wèn)題方能點(diǎn)燃思維的火花. 它不僅要求教師對(duì)教材內(nèi)容與學(xué)情有著一定深度的把握，而且要求教師具備一定的教學(xué)方法與藝術(shù).

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