簡解北京初中數學競賽題

題目 關于m，n的方程5m2 - 6mn + 7n2 = 2011是否存在整數解？若存在，請寫出一組解；若不存在，請說明理由.

這是2011年北京市中學生數學競賽（初二）試卷的第四大題，筆者在閱讀文[1] 時發現它的分析和解法都過于復雜，讓人們感覺該題很難，其實該題并不難解，可以直接用整數的奇偶性來解答.

解 因為2011是奇數，故m，n不能同奇偶，

（1）當m = 2k，n = 2s + 1時（k，s為整數），

則5m2 - 6mn + 7n2 = 2011？圳k（5k - 3） + 7s（s + 1） - 6ks = 501

不論k，s的奇、偶如何，k（5k - 3） + 7s（s + 1） - 6ks都是偶數，故無整數解；

（2）當m = 2k + 1，n = 2s時（k、s為整數），

則5m2 - 6mn + 7n2 = 2011？圳10k2 + 10k - 6s + 14s2 - 12sk = 1003.

10k2 + 10k - 6s + 14s2 - 12sk是偶數，故也無整數解.

故方程不存在整數解.

【參考文獻】

[1]2011年北京市中學生數學競賽（初二）.中等數學.