還能往方程里面走走嗎

李幫魁

一、天平模型強力支撐

在認識方程的教學過程中體現方程思想有兩個問題需要關注：一是如何讓學生依據等量關系寫出等式，二是學生在寫等式時怎樣才能把未知量當作已知量。由于學生受到長達四年的小學算術思想影響，形成強烈的思維定勢，因此很容易出現用算術方法求未知數解法。為解決學生這一認知矛盾與困難，吳老師以天平模型引領學生從直觀上感悟等量關系，由此生成關系表達式，為建構方程的概念奠定厚實的背景經驗。

【教學片段一】

教師出示天平圖片：天平可以表示什么？（平衡、傾斜）

1.在天平兩端都放50 g的砝碼，能用式子表示嗎？一端放50 g的砝碼，另一端放30 g的砝碼。

師：用式子表示，請寫在紙條上。

生：50=50，30<50。

2.在天平一端放1根香蕉、一個30 g的砝碼，另一端放50 g的砝碼。

師：這時會出現什么情況？請用式子記錄在紙條上。

學生寫出：x+30=50，x+30>50，x+30<50。

3.在天平一端放1粒120 g的蘋果、1根180 g的香蕉，另一端放300 g的砝碼。

師：能用式子表示嗎？

生：120+180=300。

4.在天平一端放1粒蘋果、1根180 g的香蕉，另一端放300 g的砝碼。

師：天平會怎樣？

學生表示：180+x=300，180+x>300，180+x<300，180+□=300，180+蘋果=300……

5.在天平一端放3粒蘋果，另一端放300 g的砝碼，天平平衡。

師：會記錄下來嗎？

學生記錄：x+x+x=300，3x=300。

【賞析】吳老師在上述教學過程中五次以天平圖和動作意象為載體，讓學生展開觀察與分析，要求學生只是描述數學問題事件，淡化學生求解未知量的意識，為未知量等同于已知量參與運算提供思維前提和條件。在此基礎上引導學生用數學方式表達、記錄這些表示關系的式子，為后續學習提供了豐富的研究素材。由于學生在天平模型支撐下對等量關系體驗認識充分，為深刻理解“用未知數表達相等數量關系”這一方程本質積累了豐富的感性經驗，為最終形成“方程是為了尋求未知數，在未知數和已知數之間建立起來的等式關系”的深刻認識積淀了厚實的經驗基礎。

二、完整經歷建模過程

學生對于方程的認識過程就是一個數學建模的過程，如何讓學生有效地建構這個數學模型？吳老師在這節課中讓學生充分經歷建模過程。在前面的觀察、想象天平的活動中，學生感知了相等和不等量的關系現象，并引出了數量豐富的表達式，這是學生數學建模的開始。在大量積累方程背景知識的基礎上，教者引導學生以分類的方式對天平不同情況的數學表達式進行分類，建構起清晰的方程模型。

【教學片段二】

師：我們剛才記錄的時候有幾種情況？分幾類？

生：天平有平衡和傾斜兩種情況，可以分兩類。

師：挪動黑板上的紙條，分分類。

學生在黑板上挪動紙條。

等式：50=50，x+30=50，120+180=300，180+x=300，x+x+x=300，3x=300，180+□=300，180+蘋果=300。

不等式：30<50，x+30>50，x+30<50，180+x>300，180+x<300。

師：你還可以把等式進一步分類嗎？

學生獨立思考后交流分類的方法。

含有未知數的：x+30=50，180+x=300，x+x+x=300，3x=300。

不含有未知數的：50=50，120+180=300。

學生沒動180+□=300，180+蘋果=300兩個式子，吳老師把它們放在旁邊。

引導學生圈出等式，再圈出和以往不一樣的等式。

師（手指著含有未知數的等式）：這些等式叫作方程。大家說一說，什么是方程，對方程有什么感覺？

生：一個未知數，一個已知數，相加等于一個數，

是方程。

師：只能相加嗎？

生：加、減、乘、除都可以。

生：180+□=300，180+蘋果=300是方程嗎？

生：應該是，因為“□”和“蘋果”都是不知道的未知數。

【賞析】上述教學過程中，學生經歷了兩次分類：第一次分為等式和不等式；第二次把等式分為含有未知數和不含有未知數的，從而得出方程概念的意義。這一環節與“片段一”融合為一體，加上課尾現實情境中用方程解決問題的環節，完整地呈現出了“問題情境—建立模型—求解驗證”的數學建模的全部過程，有利于學生在這個過程中理解、感悟模型思想的本質，更有利于促進學生從數學的視角去發現、提出、分析與解決問題，培養創新意識。

三、多走一步深度感悟

當學生以天平模型為載體完整經歷了數學建模過程，得出了方程概念后，吳老師沒有提及和強調教材中“含有未知數的等式叫作方程”的描述性定義，而是引導學生在“運用與解釋”中逐步窺視方程的本質內涵。

【教學片段三】

1.課件出示情境圖片（圖1），并附有文字說明。

師：請大家喚起心中的天平，用式子表達出來。

生：2x+20=2000。

生：（2000-20）÷2。

師：哪個是方程？

生：2x+20=2000。

師：（2000-20）÷2是你們熟悉的，它與2x+20=2000有什么不同？

生：方程是把不知道的和知道的，通過天平表達出來。（2000-20）÷2是從知道的一步一步求出不知道的。endprint

2.教師出示圖2。

師：能求什么呢？請寫下來。

生：①3x+5=65，②（65-5）÷3，③（65-5）÷3=x。

師：哪些是方程？

生：①和③。

生：③還是以前的思路。

師：方程和以前的有什么不一樣嗎？

生：方程有未知數。

師：只是未知數嗎？還能往里邊走一走嗎？

生：以前是從已知數求出未知數，方程是把不知道的和知道的一起變成等式。

教師隨手在黑板上畫一條河：就好像有一條小河，我們站在河的這邊，對岸有一顆寶石，我們要怎樣拿到對岸的寶石？

生：從岸邊出發，摸著石頭一步一步地走到對岸拿到寶石。

師：這就好比以前的數學方法，從已經知道的一步一步地去拿到寶石。還有其他方法嗎？

生：用繩子拴住拉過來。

師：用一根繩子拴住對岸的寶石，然后順著繩子拿到寶石。就好像方程一樣，把不知道的和知道的建立等式關系，寫出方程，再求出未知數。兩者目標一樣，思考方式不一樣。

生：相等的關系就是繩子……

【賞析】吳老師所采取方法充分暴露了學生的認知，先是在異同比較上凸顯方程的本質，當學生在“水壺倒水”的問題中出現“2x+20=200，（200-20）÷2”兩種不同思維的式子，以及在圖2的表達中出現“3x+5=65，（65-5）÷3，（65-5）÷3=x”三個不同表達式時，在結合具體事例背景的對比中，使學生生成“以前是從已知數求出未知數，方程是把不知道的和知道的一起變成等式”的認知。其次是以事例類比促領悟，當學生在上述比較中對方程的本質內涵有理解但又無法表達時，吳老師及時以“拿到河對岸的寶石”的事例進行類比，通過對取寶石不同途徑的分析，讓學生進一步感悟“兩者目標一樣，思考方式不一樣”。體現了“方程是為了尋求未知數，在未知數和已知數之間建立起來的等式關系”與“方程概念的核心是要‘求未知數”的本質內涵。

“還能往方程里面走走嗎？”這句話是吳正憲老師在執教“認識方程”一課時，在課前與課中對聽課教師和學生提出的思考。大師智慧的課堂教學實踐告訴我們，教師和學生都可以向方程本質內涵里面走一走，多走一步便能為學生多開一扇窗，學生由此可以看到更多的風景。正如吳正憲老師所說：“有時候在課堂上‘多喘半口氣兒，多走一步就有可能觸摸到數學的本質。”

（作者單位：重慶市沙坪壩區教師進修學院 責任編輯：王彬）endprint