Camassa-Holm方程的高階局部中心間斷Galerkin有限元法

馬健軍, 陳愛敏, 郝怡非(. 四川外國語大學 國別經濟與國際商務研究中心, 重慶 40003; . 重慶大學 城市科技學院, 重慶4067)

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Camassa-Holm方程的高階局部中心間斷Galerkin有限元法

馬健軍1, 陳愛敏2, 郝怡非1
(1. 四川外國語大學 國別經濟與國際商務研究中心, 重慶 400031; 2. 重慶大學 城市科技學院, 重慶402167)

發展一個求解具有尖波解的Camassa-Holm方程的高階局部中心間斷Galerkin有限元法,該方法首先將Camassa-Holm方程改寫為一個守恒律方程和一階方程組的耦合系統,然后,使用局部中心間斷Galerkin法求解該守恒律和使用有限元法求解一階方程組,數值算例用來檢驗該方法的精度和有效性.

Camassa-Holm方程; 尖波解; 局部中心間斷Galerkin法; 有限元法

1 預備知識

Camassa-Holm方程(簡稱C-H方程)是一類十分重要而又特別的新型淺水波方程.1981年,C-H方程由Fuchssteniner和Fokas作為具有雙Hamilton結構的例子給出,隨后,R. Camassa等[1]將其作為淺水波方程重新提出,并發現了具有的一些特殊性質一尖峰孤波解和Blow-up解等,由此引發了人們對C-H方程的極大興趣.關于C-H方程的數學理論研究( 從方程的角度) 從20世紀90年代開始,眾多數學家在這方面做了很多重要的研究工作,如孤立波的軌道穩定性[2-3]、強解的局部適定性[4]、尖峰孤立子形式弱解的結構[5]、C-H方程光滑孤立波是軌道穩定的[6-7]、C-H方程的孤立尖波、孤子類解、周期解[8]和行波解[9]等.

本文考慮如下的Camassa-Holm方程

ut-uxxt+3uux=2uxuxx+uuxxx,

(1)

其中u表示流體的自由表面高度,下標ut和ux分別表示對時間和空間的偏導數.關于方程(1) 的基本性質,文獻[1]中有比較全面的討論.該方程是一個非線性色散的偏微分方程,除了具有光滑解,還允許有尖波解.由于尖波解的極大值點不光滑,在計算中可能引起高頻的色散誤差,這是數值求解該方程的一個難點.因此數值求解C-H方程吸引了很多研究者的注意.例如,有限差分法[10-11]、有限體積法[12]、局部間斷有限元法[13]、中心間斷Galerkin有限元法[14]等都被使用來模擬該方程的尖波解.本文將提出一個局部中心間斷Galerkin-有限元法來求解該方程.

2 數值方法

(2)

(3)

其中,Pk(I)是定義在I上的維度不超過k的多項式集合,{tn}n是對時間域的剖分,Δtn=tn+1-tn.方程(1)能夠被改寫為一個一階系統

qt+f(q,u,r)x=0,

(4)

q=u-rx,

(5)

r=ux,

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

3 數值算例

在這一部分,一些數值算例被使用來檢驗該算法的精度和有效性.在計算中,總是使用均勻的網格剖分,網格大小為△x,時間步長△tn=0.1△x,參數θ=1.

例 1 精度測試.該算例考慮光滑行波u(x,t)=φ(x-ct),其中φ滿足二階常微分方程

(13)

在計算中,取α=c=3,方程(13)的初始條件為φ(0)=1,φx(0)=0.由此產生了一個周期行波,周期為6.469 546 036 35.將四階的Runge-Kutta法在100 000個節點上計算出的近似解做為參考解來計算本文算法的精度和收斂階,如表1所示.計算結果顯示了本文提出的算法對pk(k=1,2)近似具有k+1階精度.

表 1 u在t=0.3時的L2誤差和收斂階 Table 3 The L2 tolerance and order of convergence while u at t=0.3

例 2 尖波解.該算例考慮了一個尖波解.初始條件為u(x,0)=φ(x,x0,α,c),其中

φ

其中,α是周期,取α=30,x0=-5和c=1,計算區域是[0,α],離散為320個均勻網格.時刻t=0,5,7.5,10的解顯示在圖1中.從計算結果可以看出,尖波保持得非常好,該計算結果與文獻[14]的結果也吻合得比較好.

例 3 本算例研究2個尖波的相互作用,初始條件為u(x,0)=φ(x,-5,30,2)+φ(x,5,30,2).計算區域[0,30]離散為320個均勻網格.時刻t=0,5,12,18的解顯示在圖2中.從計算結果可以看出,2個尖波在相互作用后保持得非常好,除了尖波的位置在后期有一定的偏移,該計算結果與文獻[14]的結果大體上吻合得比較好(圖1～3中的點均為本文數值解,線均為文獻[14]的結果).

例 4 本算例研究3個尖波的相互作用,初始條件為u(x,0)=φ(x,-5,30,2)+φ(x,-3,30,1)+φ(x,-1,30,0.8).計算區域[0,30]離散為320個均勻網格.時刻t=0,1,2,3,4,6的解顯示在圖3中.從計算結果可以看出,3個尖波在相互作用后保持得非常好,且與文獻[14]的結果吻合得非常好.

4 結論

本文提出一個高階局部中心間斷迦遼金有限元法來求解一維Camassa-Holm方程的,與文獻[14]不同的是,該方法將Camassa-Holm方程改寫為一個一階方程組.數值算例檢驗了該方法的精度和有效性.

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2010 MSC：65M60; 35J05

(編輯 鄭月蓉)

High Order Local Central Discontinuous Galerkin-Finite Element Methods for the Camassa-Holm Equation

MA Jianjun1, CHEN Aimin2, HAO Yifei1
(1.ResearchCenterforInternationalBusinessandEconomy,SichuanInternationalStudiesUniversity,Chongqing400031;2.CityCollegeofScienceandTechnology,ChongqingUniversity,Chongqing402167)

In this paper, we develop high order local central discontinuous Galerkin-finite element methods for solving the Camassa-Holm equation which supports peakon solutions. In our numerical approach, we first reformulate the Camassa-Holm equation into a conservation law coupled with a system of first order equations. Then we propose a family of high order numerical methods which discretize the conservation law with local central discontinuous Galerkin methods and the system of first order equations with continuous finite element methods. Numerical tests are presented to illustrate the accuracy and validity of the proposed schemes.

Camassa-Holm equation; peakon solutions; local central discontinuous Galerkin methods; finite element methods

2014-08-29

重慶市自然科學基金一般項目(CSTC2012JJA00005)

馬健軍(1983—),男,講師,主要從事偏微分方程數值解的研究,E-mail:majianjun425@163.com

O241.82

A

1001-8395(2015)06-0871-04

10.3969/j.issn.1001-8395.2015.06.016