數列高考題型解讀

石家莊市第二中學 劉英娟

數列是高考數學的主要考查內容之一，其試題有著鮮明的特點，有著多層次多角度考查學生數學能力的功能．

數列試題的難度分布幅度大，既有容易的基本題和難度中等的小綜合題，也有綜合性和思考性強的難題，試題形態多變，時常有新穎的試題入卷.考生為了在高考中取得好成績，必須復習掌握好數列這一板塊及其相關的知識和技能，了解數列試題的能力考查特點，提高解答這類試題的能力.為此，建議考生關注近幾年來高考數列試題的考查特點，下面舉例說明之．

一、等差、等比數列及其前n項和需要完全掌握

例1（.溫州市十校聯合體2014屆高三10月測試理）已知數列{an}中，a1=1，

（2）數列{bn}滿足，數列{bn}的前 n 項和為 Tn，若不等式（-1）nλ對一切n∈N*恒成立，求λ的取值范圍.

所以（-1）nλ

即-λ<2，所以λ>-2. 因此-2<λ<3.

評注：（1）理解等比數列的概念.（2）掌握等比數列的通項公式與前n項和公式.（3）能在具體的問題情境中識別數列的等比關系，并能用有關知識解決相應的問題.（4）了解等比數列與指數函數的關系．

二、遞推數列注重創新

例2（.2012年廣東）設數列{an}的前n項和為 Sn，滿足 2Sn=an+1-2n+1+1，n∈N*，且 a1，a2+5，a3成等差數列．

（1）求a1的值；

（2）求數列{an}的通項公式．

解析：（1）令 n=1得 2a1=a2-3，①

令 n=2得 2（a1+a2）=a3-7，②

又 2（a2+5）=a1+a3，③

聯立①②③解得：

a1=1，a2=5，a3=19．

（2）由2Sn=an+1-2n+1+1，

得 2Sn-1=an-2n+1（n≥2），

兩式相減得2an=an+1-an-2n，

即an+1=3an+2（nn≥2），

得 an+1+2n+1=3（an+2n），

即{an+2n}以a2+22=9為首項，公比為3的等比數列，得an+2n=9·3n-（2n≥2），

故an=3n-2n(n≥2)，而此式對n=1時也成立，所以an=3n-2n(n∈N*)．

評注：Sn與an的關系是高考常見題型，主要根據 an=Sn-Sn-1（n≥2）將和、項“混合式”轉化為和或項的“單純式”．常用構造新數列思想，以考查學生的推理與創新能力．

三、數列與函數、不等式、解析幾何的綜合問題是重中之重

例3．（2010年江蘇）設各項均為正數的數列{an}的前n項和為Sn.已知2a2=a1+a3，數列公差為d的等差數列.

（1）求數列{an}的通項公式（用n，d表示）；

（2）設c為實數，對滿足 m+n=3k且m≠n的任意正整數m，n，k，不等式Sm+Sn>cSk都成立，求證：c的最大值為

解析：（1）由題意知：d>0，

則當n≥2時，

由2a2=a1+a3得

評注：本小題主要考查等差數列的通項、求和以及基本不等式等有關知識，考查探索、分析及論證的能力.

從以上分析可看出，數列的綜合題難度都很大，甚至很多都是試卷的壓軸題，它不僅考查函數與方程、轉化與化歸、分類討論等重要思想，還涉及了配方法、換元法、待定系數法、放縮法等基本數學方法.其中的高考熱點——探索性問題也出現在近年高考的數列解答題中.