新課程理念下的數學概念教學實施與思考

☉江蘇省海門中學張婕

新課程理念下的數學概念教學實施與思考

☉江蘇省海門中學張婕

數學概念教學課是數學教學最本質、最根本的部分，它長久以來一直是數學教學的基本·中科院院士王元對于數學概念早有這樣的認知：數學，說到底就是玩概念，很多數學問題在初等階段解決起來非常煩瑣甚至根本解決不了，但是隨著數學概念的深入和發展，到了更高層次，這些問題根本談不上是問題，所以數學說到底就是學習概念！舉一個例子：初中的學生對于函數的認知是非常淺薄的，又受限于解決問題工具的局限性，所以對于很多函數是無法認知和解決的，到了高中系統地學習了函數概念之后，回頭看初中數學中的函數（主要是一次函數、二次函數、反比例函數等），才覺得這些函數僅僅是一小部分，隨著指數函數、對數函數、冪函數等的學習，加之復合函數的引進，函數越來越豐富·到了高中后期，學習了導數概念及其相關性質，我們發現前面所學的基本初等函數又不過云云，更復雜的函數問題也可以在導數這個工具的運用下得到輕松的解決·

筆者引用上述主要想說明數學概念的重要性，數學概念教學如何才能深入人心和高效、有效才是概念教學的關鍵·從我們數學優良的傳統雙基教學來看，概念教學不可謂不扎實，其中將概念的內涵和外延教授得非常扎實一直是雙基教學的特點和傳統，筆者認為可以將這些優良的部分繼續傳承下去，另一方面新課程力主踐行學生自主通過探索，在頭腦中建立起所學知識的數學概念雛形，進而完善概念自身建立的能力，這正是傳統概念教學所缺失的·筆者認為，將傳統啟發式在概念教學中進行合理的引導有助于課堂教學效率的提高，將積極探索、主動建構的新課程理念在概念教學中有效實施有助于概念在學生腦海中深深扎根，

兩者的有機整合有利于數學概念教學的完美融合·本文以立體幾何中“直線與平面垂直”內容為相關課例，談談筆者自身對新課程下數學概念教學的實施和一些思考，與大家交流·

一、課題引入

師：從前階段對直線和平面的位置關系的學習，我們知道了兩者之間存在三種不同的位置關系·

生：是平行、包含和相交·

師：對，直線和平面的平行我們已經做了比較深入的研究，從中總結了相關的判斷方式和性質定理，請同學們回顧一下·

（請學生回顧，并將相關定理進行板書，這是化歸思想的體現）

師：本節課將從直線和平面的另一種位置關系——相交入手研究，并且首先研究其中的一種特殊情形——直線和平面垂直，同學們想一想，生活中有哪些給你線面相交的直觀感覺呢？能否舉例？

生：有很多！升國旗時，旗桿與地面是相交的；種在地面上的樹和地面是相交的；路燈桿子和地面是相交的；電扇桿子和天花板是相交的等·

（教師給出投影，將學生所描述的情形給予直觀感受）

師：我們將地面、墻面等抽象為平面，將樹、桿子、旗桿等抽象成為直線，今天我們要研究的正是直線和平面相交的位置關系，首先研究它們最特殊的情形，即垂直關系·

二、建構雛形

師：請同學們利用手邊的文具進行自我感知·

（學生自我感知直線與平面垂直·如：擺放筆與本子）

師：請同學給我們舉個具體的實例·

生：圓錐·圓錐的軸和底面感覺是垂直的，其母線與底面感覺是不垂直的·

師：好，請同學思考：我們應該如何定義直線與平面的垂直？線面平行是如何實現判斷的？

（引導學生利用類比思想，將垂直關系引導到線面平行關系的判斷解決中）

生：還沒有完全想象清楚·

師：那好，請看看我利用幾何畫板給出的分析（展示圓錐形成的過程，通過動態變化思考軸與底面內直線的關系）·

（軸SO與這個平面垂直）

生：軸SO不動時，使垂直于SO的直線OC運動起來時，我發現平轉OC形成了一個平面·所以軸SO垂直于底面內過點O的所有直線·

師：為什么平面內的其他直線與軸SO也是垂直的？

（停頓思考）

生：這個可以通過異面直線所成角知道，將直線平移過來就可以解決了·

師：通過直觀感受，同學們可以清楚地認知這樣的結論，請甲同學總結下·

甲生：任意直線可以平移經過點O，SO垂直于底面內的所有直線·

意圖：教師引導下的，積極探索、主動建構概念的雛形·

三、形成定義

師：通過演示和同學們自主的工具演示，我們發現這種垂直其實并非偶然，那么這種并非偶然的背后存在著怎樣的必然呢？甲同學幫我們總結了，這里的軸SO垂直于底面內的所有直線，因此軸SO垂直于這些所有直線所在的平面·

圖1

（形成定義，并板書）

定義：若直線a與平面α內的任意一條直線均垂直，我們就說直線與平面互相垂直，記作a⊥α·（如圖1所示，P為垂足，a為垂線，α為垂面）

師：對線面垂直的概念了解之后，我們來看看概念的延伸，你是否真正讀懂了概念？概念中有個關鍵的詞語，你能找出來嗎？

生：任意·

師：好，請看定義辨析·

（給出3個定義辨析，加強學生對數學概念的理解）

①若一個平面內的無數條直線垂直于平面外的一條直線，那么這個平面就與這條直線垂直·

②若一條直線垂直于一個平面，那么這條直線垂直于平面內的任意一條直線·

③若一條直線垂直于一個平面，那么這條直線就垂直于平面內的無數條直線·

對①分析無數條與任意一條的區別·（指出反例中的無數條平行直線與平面外的直線垂直可以轉化為其中一條直線與平面外的直線垂直，原因是異面直線所成的角相等）

師：一般來說定義都有兩個方面（兩重性）·從兩個方面來認識定義（充要條件）·

四、探索判定

師：有了這個定義，我們就可以知道直線和平面的關系是否是垂直的了·大家試想：用定義如何去判定線面垂直呢？是不是要一條一條直線去判定？

生：顯然不可能·我覺得和線面平行比較類似，定義是一種理想化的抽象，用于實際判定必須找到一個新的方式、方法，類似于線面平行的判定定理·

師：請同學想一想，用手中的筆去試試，要判定線面垂直需要使用平面中的幾條直線呢？

（學生開始嘗試）

生：通過嘗試，我發現只需要兩條直線就可以判定·

師：這兩條直線位于平面內任意位置都可以嗎？

生：我用鉛筆搭建了一下，發現這兩條直線是相交的才可以·

師：好！那么這位同學到底說的對不對呢？老師設計了實驗，請同學們試試·

（辨別得到相交直線的過程，可以要求學生擺出反例模型進行說明）

（教師準備實驗操作（折紙實驗）：準備一張白紙，隨后將白紙進行折疊，得到折痕AD，將折疊后的紙片打開豎起放置在桌面上·引導學生分析后得到結論：一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直，則這條直線垂直于這個平面）

圖2

師：我們把這個結論叫做直線和平面垂直的判定定理，事實上在幾何中除了公理，其他的定理都是要求嚴格證明的·現在新課程對于同學們定理證明的要求降低了，新課改后很多定理不要求證明了，只要求先進行直觀的感知·比如這里，這個定理的證明方法較多，留給大家課后查閱相關資料思考·老師相信同學們有能力把它解決掉·

（引導學生從文字語言、符號語言、圖形語言三個方面歸納）

師：直線和平面垂直的判定定理即：文字語言：如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直，則這條直線垂直于這個平面；符號語言：l⊥a，l⊥b，a?α，b?α，a∩b=A?l⊥α；圖形語言：（略）·用關鍵語句可以說：線不在多兩條就行，位置關系相交就靈·

五、定理運用

例題：已知：a∥b，a⊥α·求證：b⊥α·

（由學生上黑板板演并分析求證過程）

生1：在平面α內作任意一條直線m，因為直線a⊥α，根據直線與平面垂直的定義知：a⊥m·又因為b∥a，所以b⊥m·又因為m是平面α內任意一條直線，所以b⊥ α·

生2：在平面α內作兩條相交直線m、n，因為直線a⊥α，根據直線與平面垂直的定義知a⊥m，a⊥n·又因為b∥a，所以b⊥m，b⊥n·又因為m?α，n?α，m、n是兩條相交直線，所以b⊥α·

圖3

設計說明：設計目的是讓學生對定理的初步使用有一定的感受，加深學生對定理的理解·

六、反演辨析

師：對于判定定理，我們都有了一定的了解，若將上述例題中的條件和結論進行對換，請同學們思考這個結論正確與否，即：若b⊥α，a⊥α，則a∥b·

考慮到證明并不是重點，因此采用投影的方式給予學生課后思考和探索·分析直接證明較困難，采用反證法·（板書）

證明：設b不平行于a，設b∩α=O，b′是經過點O與直線a平行的直線·直線b與b′確定平面β，設α∩β=c·因為a⊥α，b⊥α，所以a⊥c，b⊥c·又因為b′∥a，所以b′⊥c·因此在平面內經過直線c上同一點，就有兩條直線b和b′與c垂直，顯然不可能·因此a∥b·

師：這個命題的已知條件為線面垂直（線面關系），結論為線線平行（線線關系），我們把這個命題叫做直線與平面垂直的性質定理·

思考：通過實例引導學生認識線面“垂直”，并指出這就叫直線與平面垂直，引出課題·類比研究線面平行的方法，通過圓錐的動畫演示來使學生理性認識線面垂直與線線垂直的關系，以及線面垂直存在的必然性·通過展示實例，多媒體演示，使學生感受l與平面內任意一條直線都垂直，進而引導學生歸納出直線與平面垂直的定義·通過直觀感知、操作確認，從兩個角度“相交”“兩垂直”認識歸納出線面垂直的判定定理，運用判定定理證明一些空間位置關系的簡單命題·完成兩個例題的研究，由學生根據定理的內容進行判定·按照研究數學問題的一般模式，給出性質定理的猜想，并通過分析引導學生給予證明·最后對本節課進行總結，從知識和方法兩個層面認識線面垂直·

總之，從案例實施和案例分析，我們可以看出教師是將啟發式教學孕育在新課程理念中，既通過合理的數學實驗設計、折紙等將學生帶進動手操作的地步，又引導學生積極自主探索、合理建構線面垂直的定義形成和判斷定理的成形，并為性質定理的出現做出了合理的設計鋪墊，正所謂數學概念教學比較完善地融合了啟發式教學與新課程理念，既發揚了傳統教學的優勢也滲透了新課程提倡的探索、建構的理念·懇請讀者做出指正·

圖4

1·羅成·談數學概念教學的挖掘和運用［J］·中國數學教育，2013（2）·

2·沈先禮·數學概念教學的實踐與思考［J］·中小學數學（高中版），2011（12）·

3·展國培·有效教學，從關注學生開始［J］·中小學數學（高中），2013（1）·A