讓師生共同走出窘境
——一道考題引發(fā)的思考

☉浙江省象山縣第三中學(xué)杜海燕陳定梅

讓師生共同走出窘境
——一道考題引發(fā)的思考

☉浙江省象山縣第三中學(xué)杜海燕陳定梅

一、問題緣起

2014年高三寧波市十校聯(lián)考文科數(shù)學(xué)第10題：已知a、b、c均為單位向量，且滿足a·b=0，則（a+b+c）·（a+c）的最大值是（）·

考后統(tǒng)計，一個班50人中有17人出錯，平均得分3·3分，得分率為66%，作為選擇題的最后一題，這樣的分值還是比較正常的·時隔一月，對學(xué)生進行“回頭測”（學(xué)生在作業(yè)、測試中出現(xiàn)的錯誤問題經(jīng)適當(dāng)修改，過段時間再測試，稱之為“回頭測”），題號16：已知a、b、c均為單位向量，且滿足a·b=0，則（a+b+c）·（a+c）的最大值是________·題目只字未改，只是把選擇題改為填空題而已，同個班級50人中居然有24人出錯，平均得分2·08分，得分率52%·這種局面著實讓人尷尬、糾結(jié)，當(dāng)務(wù)之急是找到病癥根源，讓師生共同走出窘境·

二、調(diào)查統(tǒng)計

這種現(xiàn)狀不徹底改變，高考時學(xué)生肯定要翻船·教師要做的不僅僅是課堂上把學(xué)生訓(xùn)斥一頓并把正確的解答告知學(xué)生，而是應(yīng)該做好進一步的數(shù)據(jù)統(tǒng)計和分析，以及學(xué)生情況的調(diào)查和研究·

表1：高三數(shù)學(xué)檢測自我分析表

表2：出錯人數(shù)統(tǒng)計表

表3：錯誤原因分析統(tǒng)計表

表4：各種答案統(tǒng)計表

三、根源剖析

正如布魯納所說：“學(xué)生的錯誤都是有價值的·”我們必須充分挖掘錯題的價值·通過調(diào)查、統(tǒng)計之后，筆者有三點困惑：（1）為什么學(xué)生測試過、教師課堂上講評過的題目時隔一月仍有那么多學(xué)生犯錯？（2）為什么原來做對的學(xué)生現(xiàn)在反而做錯了呢？（3）學(xué)生做填空題時的錯誤答案中居然沒有十校聯(lián)考選擇題中的其他三個錯誤選項？筆者帶著疑問做了以下工作·

1·組織學(xué)生分組討論

針對這種窘境，利用數(shù)學(xué)課時間，組織學(xué)生分組討論并作書面記錄·下面摘錄其中一部分·

病癥根源如下所示·

（1）老師講的時候感覺似乎懂了，沒有深入思考，沒有弄清實質(zhì)，考試時仍按自己原來的思路去思考·

（2）因為是選擇題當(dāng)時好像是猜對的，事后沒有及時把題目記錄下來，沒有從根本上去理解和吸收，時間一長便忘了，考試時題目改了只好又瞎猜一通了·

（3）平時訓(xùn)練量不夠，做題沒時間限制，速度欠快·平時做題慢吞吞，到考試時便緊張起來，由于感到時間緊迫，即使會做的題目也老是出錯·

（4）不注意歸納和總結(jié)·不同類型的題目有不同的解題技巧和方法，選擇題可以用排除法選出來，復(fù)習(xí)時沒有更多地考慮其他解法，更沒有對同類題型加以歸納·

（5）做題粗心大意，常犯一些幼稚的錯誤，拿到題就做，這次連題目都看錯·

解決方案如下所示·

（1）一定要及時記錄錯題·如果時間確實比較緊，可將試卷、作業(yè)本上的錯題做上記號，作出批注，以后有時間再整理·

（2）一定要按時整理錯題·記著的題目不去看，不去整理，等于做無用功，反而浪費了做記錄的時間，應(yīng)做到每周清理·

（3）一定要做到作業(yè)考試化·平時做題給自己限制時間，加強計算能力，提高做題速度·

（4）一定要多動腦·對題目多加思索，抓住題目所考查的知識點，對同一類型和不同類型的題目加以歸納和總結(jié)·

（5）一定要多交流·對不懂的題目一定要認真仔細地聽老師講，如還不懂要和老師、同學(xué)交流，不放過每一個疑點和疑難問題，做到及時弄清楚·

2·召開備課組會議，借助備課組的集體智慧，群策群力

病癥根源如下所示·

（1）題目本身的難度太大，學(xué)生當(dāng)時聽老師講解時好像是聽懂了，但是學(xué)生并沒有真正聽懂，再次遇到時仍然不會做·

（2）老師不了解此題學(xué)生不會做的真正原因，講解時沒有針對性，講了等于沒講·

（3）學(xué)生思維定勢和先入為主·

（4）學(xué)生再次遇到此題時，認為已做過就不注意認真審題，結(jié)果因為審題不仔細、條件沒看清而做錯·

解決方案如下所示·

（1）調(diào)查統(tǒng)計·試卷講評前教師必須對學(xué)生的錯誤情況進行調(diào)查和統(tǒng)計，根據(jù)學(xué)生的實際情況，準確評價試題的難度，合理取舍，選擇性講解·

（2）歸納提煉·教師要幫助學(xué)生掃除盲點、查缺補漏并系統(tǒng)地復(fù)習(xí)、梳理已學(xué)的基礎(chǔ)知識，整合知識要點，構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)，總結(jié)解題規(guī)律，熟練基本技能，掌握思想方法，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)·

（3）變式矯正·通過變式訓(xùn)練，舉一反三，鞏固所學(xué)·針對本題，備課組編制如下變式訓(xùn)練·

①（2008年浙江高考改編）已知a、b是互相垂直的兩個單位向量，若向量c滿足：（a-c）·（b-c）=0，則|c|的最大值等于_________·

②（2010年浙江高考）已知平面向量a、b（a≠0，a≠b），滿足|b|=1，且a與b-a的夾角為120°，則|a|的取值范圍是_________·

③（2013年湖南高考改編）已知|a|=2，|b|=3，a、b的夾角為60°，若滿足|c-a-b|=1，則|c|的取值范圍是_________·

（4）個別輔導(dǎo)·學(xué)生對問題的理解和掌握程度是不同的，興奮點、疑難點也各不相同，這就需要教師針對學(xué)生的特殊性進行個別輔導(dǎo)，尋找適合學(xué)生需要的個別化幫助·

四、教學(xué)反思

1·對≠懂

選擇題選項雖然相同，但解題的思路不盡一樣，正確的選項也可能隱藏著錯誤的解釋·對于解答結(jié)果，我們應(yīng)該摒棄簡單的“二元論”，解題結(jié)果不只是簡單的對錯而已·試卷講評時，選擇典型題目讓學(xué)生的思維過程充分暴露出來，只有這樣，教師才能有的放矢地進行教學(xué)，學(xué)生的錯誤方案才能及時得以糾正，學(xué)生的數(shù)學(xué)能力才能進一步提高·

2.1×100%＞100×1%

“1×100%”的意思是做一道題目100%理解，“100× 1%”的意思是做100道題都只知皮毛，兩者的學(xué)習(xí)效果不言而喻·學(xué)生之所以同類錯誤再現(xiàn)，癥結(jié)何在？筆者認為這是重結(jié)果輕過程的后遺癥，掩蓋了問題的本質(zhì)，滋長了學(xué)生的思維惰性，一旦碰到稍加改變的問題就束手無策，學(xué)生再次跌倒不足為奇·羅杰斯認為：“倘若要使學(xué)生全身心地投入學(xué)習(xí)活動中，就必須讓學(xué)生面對對他們個人來說有意義的或有關(guān)的問題，就必須培養(yǎng)學(xué)生自主解決問題的能力，使問題解決過程成為一個再創(chuàng)造的過程，使學(xué)生在自覺、主動、深層的參與過程中，實現(xiàn)自主發(fā)現(xiàn)、理解、創(chuàng)造與應(yīng)用，在學(xué)習(xí)中學(xué)會自主學(xué)習(xí)·”糾錯過程就是自我否定的過程，糾錯行為的主體應(yīng)該是學(xué)習(xí)者本人，變教師講解為學(xué)生自我探究，合作討論，引導(dǎo)學(xué)生體驗從失敗走向成功的思維過程·亞里士多德也說過：告訴我的我會忘記，給我看的我會記住，讓我參與的我會理解·所以我們要切實轉(zhuǎn)變觀念，改變教師一講到底的課堂教學(xué)模式·

3·好題+研究=高效

做題占了高三復(fù)習(xí)的大量時間，這樣一來選好題是重點，講好卷是關(guān)鍵·在“回頭測”中，把寧波市十校聯(lián)考的選擇題第10題改為填空題，我們遺憾地發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的答案居然沒有一個是選擇題中的其他3項，這種選項的設(shè)置是暴露不出學(xué)生的思維問題的，若學(xué)生算出的答案在選項中找不到，就會找一個比較接近的，測試中如果運氣好選對了，學(xué)生考后就不會去深究，教師也發(fā)現(xiàn)不了學(xué)生的知識漏洞，那么學(xué)生在同樣的問題上“翻船”就不稀奇了·A