“提煉”誠(chéng)可貴，“升華”價(jià)也高
——記一堂賽課“雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程”

☉江蘇省栟茶高級(jí)中學(xué) 冒文文

“提煉”誠(chéng)可貴，“升華”價(jià)也高
——記一堂賽課“雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程”

☉江蘇省栟茶高級(jí)中學(xué) 冒文文

一、背景介紹

近期，筆者有幸參加一次高質(zhì)量課堂展示活動(dòng)，來(lái)自各地的選手齊聚一堂，大家同臺(tái)獻(xiàn)藝，交流學(xué)習(xí)，其中一位老師執(zhí)教“雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程”一課給筆留下深刻印象，課后感觸頗多，現(xiàn)整理成文，與大家分享.

二、課堂實(shí)錄

1.創(chuàng)新引入——一箭雙雕

師：同學(xué)們，大家好，非常高興能有這樣的機(jī)會(huì)和大家一起來(lái)學(xué)習(xí)和交流.我們浙江有一位商界的奇才——馬云.前幾天新聞上說(shuō)，他已經(jīng)超越李嘉誠(chéng)成為亞洲的新首富.馬云之所以能獲得事業(yè)上如此巨大的成功，就在于他敢于大膽創(chuàng)新，從阿里巴巴，到淘寶，再到支付寶，馬云在創(chuàng)造著一個(gè)個(gè)變化的傳奇.我們知道，萬(wàn)物皆在變化中發(fā)展，只有變革才有生命力，我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，也要勇于創(chuàng)新，敢于變化.當(dāng)然，創(chuàng)新和變化必須建立在原有的基礎(chǔ)上，下面就讓我們一起來(lái)回憶前幾天剛剛學(xué)習(xí)過(guò)的一個(gè)重要的數(shù)學(xué)概念，它是……

生：橢圓！

師：對(duì)，那大家還記得它的定義嗎？

設(shè)計(jì)意圖：運(yùn)用這個(gè)具有鮮明時(shí)代特點(diǎn)的故事作引入，意在激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，同時(shí)點(diǎn)出這堂課的靈魂——變化和創(chuàng)新.

2.及時(shí)提煉——架路鋪橋

生：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離之和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.

師：很好，那大家覺(jué)得此定義中有哪些關(guān)鍵詞呢？

生（眾搶答）：平面內(nèi)，兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M，|MF1|+|MF2|=2a（2a＞|F1F2|＞0）.

教師將學(xué)生提出的關(guān)鍵詞寫(xiě)在黑板上.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)對(duì)橢圓定義的提煉，抓住了概念的核心，并為接下來(lái)學(xué)生自主探究雙曲線的定義鋪平了道路.

3.大膽變化——漸入主題

師：現(xiàn)在我們來(lái)學(xué)習(xí)馬云，進(jìn)行大膽創(chuàng)新，請(qǐng)同學(xué)們隨意更改黑板上出現(xiàn)的關(guān)鍵詞！

生1：可以把“距離之和”改為“距離之差”！

生2：也可以把“距離之和”改為“距離之積”！

生3：還可以把“距離之和”改為“距離之商”！

生4：把“距離之和”改成“距離的平方和”！

生5：我認(rèn)為可以把“平面內(nèi)”改為“空間中”！

生6：把“兩個(gè)定點(diǎn)”可改為“三個(gè)定點(diǎn)”！

……

師：看來(lái)同學(xué)們和馬云一樣，都具有很強(qiáng)的創(chuàng)新精神，想出了這么多好點(diǎn)子，當(dāng)然，這些好點(diǎn)子不可能一下子都實(shí)現(xiàn)，我們就暫時(shí)選取其中一位同學(xué)提出的想法：把“距離之和”改為“距離之差”，來(lái)深入探究，看看此時(shí)動(dòng)點(diǎn)的軌跡會(huì)是什么？

教師將黑板上的關(guān)鍵詞“|MF1|+|MF2|=2a”改成“|MF1|-|MF2|=2a”.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)復(fù)習(xí)、剖析橢圓的概念，引導(dǎo)、鼓勵(lì)學(xué)生大膽創(chuàng)新，在創(chuàng)新中自主探索新知.

4.實(shí)驗(yàn)探究——揭開(kāi)面紗

師：現(xiàn)在我們來(lái)做個(gè)實(shí)驗(yàn)，取一根拉鏈，我們?cè)谄矫嫔瞎潭▋蓚€(gè)點(diǎn)F1、F2，并讓拉鏈上兩個(gè)點(diǎn)分別和F1、F2重合，當(dāng)拉鏈運(yùn)動(dòng)時(shí)，請(qǐng)觀察拉鏈扣子的運(yùn)動(dòng)軌跡會(huì)是什么？（教師演示拉拉鏈的動(dòng)畫(huà)，并得到雙曲線的一支）

師：我們現(xiàn)在改變拉鏈左右兩個(gè)點(diǎn)的位置，請(qǐng)?jiān)儆^察拉鏈扣子的運(yùn)動(dòng)軌跡會(huì)是什么？

教師演示拉拉鏈的動(dòng)畫(huà)，并得到雙曲線的另一支，并將黑板上的關(guān)鍵詞“|MF1|-|MF2|=2a”改成“|MF1|-|MF2|= 2a”.

師：我們把這個(gè)圖形叫做雙曲線.

師：大家發(fā)現(xiàn)2a與|F1F2|的大小關(guān)系怎樣？是否還是2a＞|F1F2|＞0？

生：不是，應(yīng)該為0＜2a＜|F1F2|.

教師將黑板上對(duì)應(yīng)的關(guān)鍵詞“2a＞|F1F2|＞0”更改為“0＜2a＜|F1F2|”.

師：根據(jù)黑板上的這些關(guān)鍵詞，現(xiàn)在大家能說(shuō)說(shuō)什么是雙曲線嗎？

生：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1、F2的距離的差的絕對(duì)值為常數(shù)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡是雙曲線.

設(shè)計(jì)意圖：利用多媒體技術(shù)演示實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生通過(guò)觀察、分析雙曲線的形成過(guò)程，從而抽象、概括雙曲線的定義.

5.深入研究——發(fā)現(xiàn)“李鬼”

師：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1、F2的距離的差的絕對(duì)值為常數(shù)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定是雙曲線嗎？

我們知道雙曲線的關(guān)鍵詞中說(shuō)“0＜2a＜|F1F2|”，那距離之差的絕對(duì)值2a如果不在這個(gè)范圍內(nèi)，得到的動(dòng)點(diǎn)軌跡還是雙曲線嗎？

請(qǐng)同學(xué)們探究下列問(wèn)題組：

①如果2a=0，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是什么？

②如果2a=|F1F2|，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是什么？

③如果2a＞|F1F2|，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡又是什么？

學(xué)生經(jīng)過(guò)探究交流，再結(jié)合多媒體技術(shù)，最終得出：①中動(dòng)點(diǎn)的軌跡是線段F1F2的中垂線，②中動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以F1、F2為端點(diǎn)的兩條向外的射線，③中動(dòng)點(diǎn)的軌跡不存在.

師：經(jīng)過(guò)剛才的探究，你現(xiàn)在能說(shuō)出雙曲線的精確定義嗎？

生：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1、F2的距離的差的絕對(duì)值為常數(shù)（小于|F1F2|）的動(dòng)點(diǎn)的軌跡是雙曲線.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)對(duì)限制條件的剖析，使學(xué)生對(duì)雙曲線的認(rèn)識(shí)去粗取精、去偽存真，更深刻地認(rèn)識(shí)雙曲線的本質(zhì)，從而培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性和縝密性.

6.類比聯(lián)想——乘勝追擊

師：請(qǐng)大家回想橢圓，當(dāng)我們?cè)诘玫綑E圓的定義之后，利用定義我們馬上得到了橢圓的……

生：標(biāo)準(zhǔn)方程.

師：很好，我們剛剛研究了雙曲線的定義，那接下來(lái)你想知道什么？

生：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

師：請(qǐng)大家回憶，求曲線方程的步驟是怎樣的？

生：建、設(shè)、限、代、化！

師：怎樣建系？

生：以F1、F2所在直線為x軸，線段F1F2的中垂線所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系.

師：為何這樣建系？這樣建有何好處？

生：這樣建系具有對(duì)稱性，待會(huì)得到的方程也會(huì)很簡(jiǎn)潔.

師：嗯，看來(lái)同學(xué)們?cè)跈E圓上已經(jīng)積累了經(jīng)驗(yàn)，那接下來(lái)我們要干什么？

生：設(shè)點(diǎn)M（x，y）.

師：為了方便，我們不妨設(shè)|F1F2|=2c.

師：你能找到一個(gè)限制等式嗎？

生：||MF1|-|MF2||=2a.

師：接著呢？

生：代入.

生：不好，次數(shù)會(huì)很高.

師：去絕對(duì)值還要什么辦法？

生：分類討論！

師：類比橢圓，此式還能再次化簡(jiǎn)嗎？

生：設(shè)a2-c2=b2.

師：這里a2和c2哪個(gè)大？

生：c2大.

師：所以……

生：設(shè)c2-a2=b2.

師：焦點(diǎn)在x軸和y軸上的雙曲線圖像上的區(qū)別只是交換了x軸和y軸，那我們?cè)诖鷶?shù)的方程上也只要……

生：交換x和y即可！

師：故焦點(diǎn)在y軸上時(shí)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程應(yīng)為……

師：很好，請(qǐng)大家課后去證明一下這個(gè)猜想！

師：我們剛才類比橢圓，得到了雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，那橢圓與雙曲線之間有何異同呢？

師生共同歸納總結(jié)，得到下表：

橢圓 雙曲線定義 |MF1|+|MF2|=2a ||MF1|-|MF2||=2a標(biāo)準(zhǔn)方程x2 a2+y2 b2= 1 y2 a2+x2 b2= 1口訣：誰(shuí)大跟誰(shuí)x2 a2-y2 b2= 1 y2 a2-x2 b2= 1口訣：誰(shuí)正跟誰(shuí)a、b、c的關(guān)系 a2=b2+c2 c2=a2+b2（a＞b＞0） （a＞b，b＞0）

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)橢圓與雙曲線的類比和對(duì)比，使學(xué)生加深對(duì)類比推理的體會(huì)和理解，深刻認(rèn)識(shí)兩種曲線的聯(lián)系與區(qū)別，讓學(xué)生學(xué)會(huì)用聯(lián)系的眼光看問(wèn)題.

7.玩轉(zhuǎn)概念——學(xué)以致用

例1 已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1（-5，0）、F2（5，0），雙曲線上一點(diǎn)P到F1、F2的距離差的絕對(duì)值等于6，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

對(duì)例1，教師重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)解題的兩個(gè)步驟：（1）設(shè)方程；（2）定參數(shù).

對(duì)例2，有些學(xué)生采用分類討論的方法來(lái)解決，也有的學(xué)生直接統(tǒng)一設(shè)所求雙曲線的方程為mx2+ny2=1，教師分別予以點(diǎn)評(píng)，并歸納解題的步驟.

思考：下列方程分別表示什么軌跡？

此題暴露出學(xué)生對(duì)相似概念還存在著混淆現(xiàn)象，教師一一予以糾正.

設(shè)計(jì)意圖：例1和例2是已知曲線求方程，意在使學(xué)生體驗(yàn)和強(qiáng)化解決這種問(wèn)題的基本思想方法：待定系數(shù)法和方程組的思想方法.而思考題是為了鞏固和運(yùn)用雙曲線的概念而設(shè)計(jì)的.另外，例1和例2是由形到數(shù)的過(guò)程，而思考題則是由數(shù)到形的過(guò)程，三道題目覆蓋了整堂課的重點(diǎn)知識(shí)，也讓學(xué)生了解數(shù)形之間可以互相轉(zhuǎn)化，又互相依賴的特性.

8.反思小結(jié)——再度升華

師：通過(guò)今天的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲？

生：我們學(xué)習(xí)了雙曲線的定義，以及兩種標(biāo)準(zhǔn)方程，也知道了橢圓和雙曲線的聯(lián)系和區(qū)別.

師：剛才同學(xué)們從知識(shí)的角度進(jìn)行了總結(jié)，那我們能否從思想方法的角度再來(lái)總結(jié)一下呢？

比如從橢圓類比到雙曲線，從焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線類比到焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，這是……

生：類比思想.

師：我們剛才研究雙曲線時(shí)，有時(shí)從形到數(shù)，有時(shí)又從數(shù)到形，這是……

生：數(shù)形結(jié)合思想.

師：在解決例1時(shí)，我們先設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，利用方程來(lái)解決，這是……

生：方程思想

師：在解決例2時(shí)，有的同學(xué)選擇了……

生：分類討論！

師：還有的同學(xué)選擇了等價(jià)的形式來(lái)解決，這是……

生：等價(jià)轉(zhuǎn)化思想.

師：下面我們從數(shù)學(xué)美的角度再來(lái)回顧整堂課，其實(shí)，數(shù)學(xué)給我們帶來(lái)了很多美的享受！比如雙曲線圖形本身具有……

生：對(duì)稱美！

師：而雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程又具有……

生：簡(jiǎn)潔美！

師：當(dāng)然，大家細(xì)細(xì)體會(huì)后會(huì)發(fā)現(xiàn)，橢圓和雙曲線之間還具有統(tǒng)一美！

師：最后，我們一起來(lái)欣賞幾幅優(yōu)美的圖片，如圖1，來(lái)感受雙曲線帶給我們的視覺(jué)享受！

圖1

設(shè)計(jì)意圖：課堂小結(jié)，從知識(shí)、方法、情感三個(gè)維度逐次展開(kāi)，對(duì)課堂內(nèi)容進(jìn)行提煉和升華，使學(xué)生對(duì)所學(xué)內(nèi)容的全貌有一個(gè)清晰的認(rèn)識(shí)，以求收到“會(huì)當(dāng)凌絕頂，一覽眾山小”的效果.

9.課后延伸——余音繞梁

師：剛才大家在推導(dǎo)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，稍加變形就能得到如下兩個(gè)方程，請(qǐng)大家課后探究一下它們分別具有什么幾何意義？

師：更進(jìn)一步，請(qǐng)聯(lián)系橢圓，再談?wù)勀阌钟泻涡碌陌l(fā)現(xiàn)！

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)貴于思，思才有所獲.在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，提出這個(gè)問(wèn)題意在把課內(nèi)延伸到課外，引導(dǎo)學(xué)生去思考、去探索，從中培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，也為數(shù)學(xué)愛(ài)好者提供發(fā)展的機(jī)會(huì)和平臺(tái).

三、課后反思

1.關(guān)于提煉

人教A版教材的“主編寄語(yǔ)”中曾有這么一句話：“數(shù)學(xué)是清楚的”，此語(yǔ)道破了數(shù)學(xué)的玄機(jī)，我們?cè)鯓硬拍馨鸭姺睆?fù)雜的現(xiàn)實(shí)世界變成清清楚楚的數(shù)學(xué)呢？這就需要提煉！

提煉是本課的一大亮點(diǎn)，我們從橢圓的定義中提煉出關(guān)鍵詞，這是對(duì)文字和符號(hào)的提煉；而接下來(lái)的實(shí)驗(yàn)探究則是對(duì)圖形的提煉，通過(guò)一次次的類比，發(fā)現(xiàn)橢圓和雙曲線的異同，則是多角度的綜合提煉.通過(guò)提煉，學(xué)生不但能輕松地學(xué)到數(shù)學(xué)的知識(shí)，更是領(lǐng)悟了探究數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要方法——提煉概括，引導(dǎo)學(xué)生更透徹、更本質(zhì)地看問(wèn)題.

2.關(guān)于升華

同時(shí)“數(shù)學(xué)也是深刻的”.我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，不能停留在很膚淺、很低的層次，我們應(yīng)當(dāng)抓住時(shí)機(jī)進(jìn)行升華.本課不但重視對(duì)知識(shí)的升華，更注重對(duì)思想方法和數(shù)學(xué)情感的升華.例如，在課后延伸環(huán)節(jié)中，方程和就是對(duì)橢圓和雙曲線已學(xué)知識(shí)的再次升華；又如，在課堂教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)中，無(wú)時(shí)無(wú)刻不在滲透著數(shù)學(xué)的思想方法：類比、分類討論、數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化……，這是潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲的升華；再如，課堂伊始，以馬云的故事引入，極大地激起學(xué)生的好奇心和學(xué)習(xí)興趣，這是一次情感的升華，而在課堂小結(jié)處，通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)美的欣賞，更是畫(huà)龍點(diǎn)睛，在潛移默化中讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)有了更深刻的理解，實(shí)現(xiàn)了情感的再度升華.

當(dāng)然，本課也存在著些許遺憾，打開(kāi)教材，我們發(fā)現(xiàn)，教材中設(shè)計(jì)了如下一道應(yīng)用題：“已知A，B兩地相距800m，在A地聽(tīng)到炮彈爆炸聲比在B地晚2s，且聲速為340m/s，求炮彈爆炸點(diǎn)的軌跡方程.”編題者設(shè)計(jì)此題的功能是什么？其實(shí)，這正是中國(guó)獨(dú)立研制的北斗衛(wèi)星定位系統(tǒng)的工作原理！我們知道，數(shù)學(xué)源于生活，又應(yīng)用于生活，此題不但能體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，更能培養(yǎng)學(xué)生的愛(ài)國(guó)情懷，建議稍加改編，作為學(xué)生課外延伸探究的思考題，則又是對(duì)課堂的一次絕佳的升華.F

書(shū)訊：由一人撰寫(xiě)的數(shù)學(xué)高考首輪復(fù)習(xí)用書(shū)

湖北教育出版社于2015年6月出版的《高考數(shù)學(xué)150專題》是適應(yīng)我國(guó)各地?cái)?shù)學(xué)高考（兼容自主招生）的首輪復(fù)習(xí)用書(shū)，是湖北省第五批（1997）特級(jí)教師、本刊《中學(xué)數(shù)學(xué)》原“新題征展”欄目第1~106期（1999~ 2009）主持人甘大旺的新作.

《高考數(shù)學(xué)150專題》在整體布局上涵蓋目前我國(guó)各地高考數(shù)學(xué)的所有考點(diǎn)內(nèi)容（兼顧重點(diǎn)大學(xué)自主招生的主要內(nèi)容），在各個(gè)專題的題目搭配和默記點(diǎn)撥中力戒漏點(diǎn)，力求在強(qiáng)化重點(diǎn)、突破難點(diǎn)、關(guān)注熱點(diǎn)的基礎(chǔ)上凸顯寬廣覆蓋面，精選高考題和自主招生題為例題以提高學(xué)生的研讀興趣，循序漸進(jìn)地精編自測(cè)題以符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.自1995年滬津晉贛的數(shù)學(xué)高考率先陸續(xù)增加向量、導(dǎo)數(shù)、概率等內(nèi)容以來(lái)，本書(shū)是近20年來(lái)我國(guó)數(shù)學(xué)高考首輪復(fù)習(xí)的第一本正版專著，具有系統(tǒng)、規(guī)范、經(jīng)典等天然優(yōu)勢(shì)，在鞏固通法、揭秘巧法、題組型選擇題、力學(xué)應(yīng)用、嵌入數(shù)學(xué)史、統(tǒng)籌時(shí)間、激活潛能、積攢后勁等方面也有創(chuàng)意.

本書(shū)大開(kāi)本376頁(yè)，單價(jià)50元，在章節(jié)、內(nèi)容、排版等方面都別出心裁，既能夠適合于學(xué)生個(gè)人的自主研讀，又可以拆分成班級(jí)講練的活頁(yè)學(xué)案.欲購(gòu)者，量少可在當(dāng)?shù)匦氯A書(shū)店（及網(wǎng)店）或當(dāng)當(dāng)、京東、亞馬遜、天貓等網(wǎng)站上購(gòu)買(mǎi)，量多優(yōu)惠可致電027-83666697聯(lián)系湖北教育出版社郵購(gòu)部.

湖北大學(xué)《中學(xué)數(shù)學(xué)》編輯部