切中肯綮，吃準吃透，得“意”忘“形”
——例談數學教師的說課

☉江蘇省錫山高級中學 陳 敏 吳寶瑩

切中肯綮，吃準吃透，得“意”忘“形”
——例談數學教師的說課

☉江蘇省錫山高級中學 陳 敏 吳寶瑩

說課是在備課的基礎上，面對同行或專家領導，在規定的時間內，針對具體課題，采用以講述為主的方式，系統地分析教材和學生等，并闡述自己的教學設想及理論依據的一種教研活動.說課的一般模式是：說教材—說學生—說教學目標—說教法—說教學重難點—說教學過程.說課是教師招聘、教師基本功比賽的重要環節，筆者多次擔任大學畢業生的招聘說課或者在職教師的說課比賽的評委，發現多數說課者過于模式化，甚至八股化，流于形式，幾乎沒有研究的成分.下面從破除八股，切中肯綮；吃準課標，吃透教材；突破瓶頸，得“意”忘“形”；理解本質，走出誤區等四個方面，結合實際課例闡述數學教師的說課.

一、破除八股，切中肯綮

多數教師說課過于模式化，流于形式，尤其是大學畢業生的說課，按固定的程式平均用力一說到底.在說課的一般模式中，說教學過程是關鍵的，要重點說，因為這里最能體現研究的成分，只有通過這一過程的分析才能看到說課者獨具匠心的教學安排，它反映了教師的教學思想、教學個性與風格.也只有通過對教學過程設計的闡述，才能看到教學安排是否合理、科學和藝術.如對“等比數列的前n項和”一個老師是這樣說課的：

（1）說教材：“等比數列的前n項和”是蘇教版必修5第二章第三節的第三課時，是高中數學的重要內容，在高考中也占有重要地位.

（2）說目標：說出知識與技能；過程與方法；情感、態度、價值觀三個方面的目標，尤其情感、態度、價值觀就是貼標簽，很是牽強附會.

（3）說教材的重點難點：重點等比數列的前n項和公式，難點是公式的推導方法.

（4）說學生：說學生年齡特點、說學生的知識經驗、說學生的技能態度.

（5）說教法與手段：啟發探究法、多媒體輔助教學等.

（6）說教學過程：按教材上的“錯位相減法”推出等比數列的前n項和公式.

這種說課各個環節平均用力，重點內容（說教學過程）不突出，體現不出說課者對教材的理解與研究，而這一點恰恰是評委重點關注的，這種說課水平就很一般，相比較，下面的說課就明顯高出一個層次.

簡明扼要地說明教材、學生、教學目標、教法、重難點后，直入主題——說教學過程.

用古印度國王與國際象棋的故事或折紙游戲創設情境，激發學生的好奇心和求知欲，引入等比數列的前n項和，接下來自然地就需要研究等比數列的前n項和的求法.設等比數列｛an｝的首相為a1，公比為q，則其前n項和Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1（鄢），觀察該式的特點有以下幾種思考方法.

思考一：像教材那樣在（鄢）式的兩邊同乘以公比q，再錯位相減，即可得到，當q=1時，S=

nna1.

n1

如果有上述對教材內容的思考與研究，這樣的說課遠比流于程式，每一項都泛泛而談要深入得多！破除八股、切中肯綮才算優秀等級的說課.

二、吃準課標，吃透教材

《普通高中數學課程標準（實驗）》（以下簡稱《課標》）是由教育部制訂的綱要性文件，從課程基本理念、設計思路、內容標準、實施建議（教學、評價、教材編寫）等方面進行了闡述．它是教材編寫、教學組織、考試評價的重要依據，是課程改革實踐的方向．教材是《課標》精神的載體，是外顯的教學資源.只有吃準《課標》精神，吃透教材設計意圖，尤其注意挖掘出教材在學生數學邏輯思維能力的提高、理性精神及數學素養的培養方面的教育教學功能，才能“說出”好課.下面以“橢圓的標準方程”為例加以說明.

較高層次的高中數學課程目標是使學生逐步認識數學的科學價值、應用價值和文化價值，形成批判性的思維習慣，崇尚數學的理性精神，體會數學的美學意義.［1］對于圓錐曲線《課標》的要求是了解圓錐曲線的發展歷史及其實際背景，感受圓錐曲線在刻畫現實世界和解決實際問題中的作用.

“橢圓的標準方程”是解析幾何中圓錐曲線的起始課，多次被選為省市評優課的課題.新教材的設計思路遵循了橢圓的這樣一段發展的歷史：公元前3世紀，阿波羅尼奧斯（Apollonius，約公元前262年～約公元前190年）在《圓錐曲線論》中采用平面截對頂的圓錐得到橢圓，并由多個命題導出橢圓的兩個焦半徑之和等于常數這一性質.17世紀荷蘭數學家舒騰（F.van.Schooten，1615~ 1660）利用橢圓的兩個焦半徑之和等于常數這一性質，給出橢圓的畫法.直到1822年比利時數學家旦德林（G．P. Dandelin，1794～1847）利用雙球模型總結出橢圓的定義.新教材中第二節課才是橢圓的標準方程的推導，但在實際教學中（包括省市評優課），由于大部分老師不習慣新教材的設計思路，往往還是沿襲舊教材的做法，把橢圓的標準方程和橢圓的定義放在一節課上，報刊雜志上發表的相關文章大多也是把橢圓的標準方程和橢圓的定義放在一起的，下面就談一談遵循《課標》精神，按照新教材的設計思路，基于橢圓發展歷史的“橢圓的標準方程”的說課.［2］

1.形成認知沖突，驅動探求欲望

17世紀荷蘭數學家舒騰的橢圓的畫法（基于兩個焦半徑之和等于常數）是在的把圓壓扁變成“橢圓”之后總結出來的，教師用幾何畫板再現這一歷史過程，直觀地可以看出圓壓扁后的曲線上任一點到兩個定點F1、F2的距離的和始終等于同一個常數（大于F1F2），根據橢圓的定義，圓壓扁后的曲線應當是橢圓.但這只是幾何直觀驗證，有失嚴謹性，需要代數意義上的嚴格證明.那又如何證明呢？現有的知識解決不了，這就引起認知沖突，驅動學生進一步探求的欲望，引導學生用代數的方法研究幾何問題，這恰恰是解析幾何的本質特征！聯想類比圓的研究過程，為了研究圓的性質，就要建立圓的方程，而圓的方程實際上就是圓上任一點的坐標（x，y）中x，y的關系，坐標是存在于坐標系中的，所以首先要建立坐標系.于是求曲線方程的一般步驟就自然浮出水面：建系→設點→列式→化簡→證明.然后按照上述步驟推導橢圓的標準方程，直入本節的重點與難點.

2.教學中“突兀點”的處理

圖1

數學教學追求合理順暢.數學概念的合理性、數學公式的來龍去脈、為什么要引入某個參數、怎樣引入才不顯“突兀”、怎樣引入才順接學生認知的“最近發展區”等這些問題都值得我們注意.一方面，通過計算機模擬將圓壓扁成橢圓的演示（如圖1，圓心一分為二，兩條重疊的半徑MF分裂成兩條焦半徑MF1，MF2），為學生建立橢圓方程時2a的引入作了認識上的準備，這要比教材中直接設出|MF1|+ |MF2|=2a要自然的多，避免了這個“突兀點”.另一方面，如圖2，當點M運動到橢圓的上頂點時，在Rt△MOF2中，MF2=a，OF2=c，所以a2-c2=OM2，令b2=a2-c2，這里引入參數b既簡化了計算，更重要的是參數b具有確切的幾何意義：線段OM的長（橢圓的中心到上頂點的距離）.這樣的教學就比較合理順暢，不顯突兀.

圖2

3.努力提煉數學思想方法

通過引導學生參與探索活動，幫助學生提煉和應用數學知識本身所隱含的數學思想方法.

（1）轉化與化歸的思想.

將 |MF1|+|MF2|=2a坐 標 化 為是幾何形式向代數形式的轉化；將化成橢圓的標準方程是化繁為簡的過程，這是轉化與化歸思想的應用.

（2）數形結合的思想.

通過探求橢圓的標準方程，從代數層面的嚴謹證明圓壓扁變成的曲線是橢圓，是典型的“以數解形”，幾何問題代數化.

（3）分類討論的思想.

不能確定焦點的位置，不妨就分焦點在x軸上、y軸上兩種情況討論，是很自然的想法，也是很好的方法.當焦點在x軸上，設橢圓的標準方程為由題意可知所以橢圓的標準方程為同理可判斷焦點在y軸上時，不符合題意.這里用到的就是分類討論的思想，當然教師還可以引導學生分析引起討論的原因，為了避免討論，可設成x2或y2項的分母不分大小的橢圓的方程為m≠n），甚至進一步設橢圓的方程為px2+qy2=1（p＞0，q＞0，p≠q），這樣就有一定的靈活性，避免了討論，大大簡化了解題過程，很好地體現了數學的簡潔之美，同時培養了學生精益求精的良好行為習慣.

（4）方程的思想.

實際上，上述分類討論中用到的待定系數法就是方程的思想的應用.另外引導學生在=2a兩邊同乘以有理化因子得到把和看作兩個未知數，然后利用方程的思想，解出其中一個，再平方化簡得到橢圓的標準方程，也是方程思想的應用.

數學思想方法是數學知識的精髓，是知識轉化為能力的橋梁.在數學課堂教學中，有意識地提煉和運用數學思想方法，值得每一個數學教師認真關注.

4.注意發展學生的數學理性思維

數學是思維的體操，這里的思維主要指理性思維.一般認為，數學理性思維主要包括三個方面.

（1）從數和形的角度觀察事物，提出有數學特點的問題（存在性、唯一性、不變性、充要性）.

（2）運用歸納抽象、演繹證明、運算求解、空間想象、直覺猜想等思維方式進行分析和思考問題.

（3）運用數學語言進行表述和交流.

其一，上文中提到的“以數解形”與“以形助數”就是從數和形的角度觀察事物，提出有數學特點的問題的具體體現.

其二，整個標準方程的推導化簡過程，既是歸納抽象，又是演繹推理.尤其在教學時不拘泥于教材的橢圓標準方程的推導方法，上述有理化的方法，以及把看 成成等差數列，設經整體處理，消去參量d后，可得（a2-c2）x2+a2y2=a2（a2-c2）.這些教學處理方法很好地培養了學生思維的靈活性與發散性.

其三，圍繞標準方程的推導展開的師生、生生之間的對話，則顯然是數學語言的表述和交流.所有這些，都體現了對數學理性思維的要求.

5.努力體現數學的文化價值

數學作為文化的一部分，其最根本的特征是它表達了一種勇于探索的精神.這種探索精神，將不斷促進人類的思想解放，使人成為更完全、更豐富、更有力量的人.為此，中學數學教學必須充分發掘數學的文化教育功能.

這節課，通過引導學生推導標準方程，努力促使教學、學習、研究三者同步協調和諧發展.這一過程對于初學橢圓的學生有一定的困難，但是經過自己不畏困難的努力與探索欣賞到數學的和諧之美、簡潔之美，可以幫助學生體會追求真理的艱辛，以及成功時的愉悅，以此培養學生的探索精神，逐步形成良好的個性品質，而這正是數學文化價值的真諦.

三、突破瓶頸，得“意”忘“形”

教材處理的最高境界就是在充分吃透教材根本要義的前提下，“得其意，忘其形”，不拘泥于教材內容的安排，創造性地使用教材，用教材教，而不是教教材.下面就以蘇教版高中數學新課標教材必修4中“函數y= Asin（ωx+φ）的圖像”為例說明.

蘇教版教材對這節課的組織形式是：問題情境→學生活動→意義建構→數學理論→數學運用.

在物理和工程技術的許多實際問題中，經常會遇到形如y=Asin（ωx+φ）的函數，如物體做簡諧運動時，物體的位移s與時間t的關系為s=Asin（ωt+φ）（A＞0，ω＞0）.教材由實際問題引起認知需求，引入課題.

教材研究的順序是：（1）平移變換：由y=sinx的圖像如何變換得到y=sin（x+1）的圖像；（2）振幅變換：由y=sinx的圖像如何變換得到y=3sinx的圖像；（3）周期變換：由y= sinx的圖像如何變換得到y=sin2x的圖像；（4）研究由y= sin2x的圖像如何變換得到y=sin（2x+1）的圖像.

本節課的數學具體應用是研究由y=sinx的圖像如何變換得到y=3sin）的圖像，教材研究函數y= Asin（ωx+φ）的圖像的策略與方法是由特殊到一般、化整為零、分解難點、各個擊破.這就是教材之“意”所在！

筆者在充分研究教材，“得其意”的前提下，“忘其形”，對教材的上述安排可以做以下處理：

1.平移變換：把“y=sinx→y=sin（x+1）”改為“y= sinx→y=sin）”

教材用“由函數y=sinx的圖像→y=sin（x+1）的圖像”作為平移變換的例子，最大的好處是，在用五點法列表時，明顯地可以看出函數y=sinx的圖像上點的橫坐標減去1后對應于函數y=sin（x+1）的圖像上的點（縱坐標不變），所以，函數y=sin（x+1）的圖像可以看作是由函數y= sinx的圖像上的所有的點向左平移1個單位而得到的.但是用這個例子也有其明顯的缺點，就是在“五點法”作圖中，函數y=sin（x+1）的五個點的橫坐標分別是，不太容易準確地確定點的位置，從而圖像畫不好，可能會誤導平移變換正確結論的形成.面試者把教材中的平移變換的例子換成“由函數y=sinx的圖像→函數）的圖像”就能解決了這個問題，而且從列表中也容易看出二者相應的點的橫坐標之間的關系，更重要的是，這個平移變換就是本節課的數學具體應用（研究由y=sinx的圖像如何變換得到y=）的圖像）的其中一步，很好地體現了研究問題的連續性與整體性.

2.把教材第二步研究振幅變換與第三步研究周期變換互調

3.把教材第四步研究內容前置，使同類問題及時解決，為后面知識整合掃除障礙

四、理解本質，走出誤區

誤區之一：說課就是復述教案

說課稿與教案有一定的聯系，但又有明顯的區別，不應混為一談.說課稿是在個人鉆研教材的基礎上寫成的，說課稿不宜過長，時間應控制在10分鐘之內為宜；教案只說“怎樣教”，而說課稿重點說清“為什么要這樣教”.教案是教師備課這個復雜思維過程的總結，是教師進行課堂教學的操作性方案.它重在設定教師在教學中的具體內容和行為，即體現了“教什么”、“怎么教”.說課稿側重于有針對性的理論指導的闡述，它雖也包括教案中的精華部分，但更重要的是要體現出執教者的教學思想、教學意圖和理論依據，即思維內核.簡單地說，說課稿不僅要精確地說出“教”與“學”的內容，而且更重要的是要從理論和實踐的結合上具體闡述“我為什么要這樣教”.教案是平面的、單向的，而說課是立體的、多維的.說課稿是教案的深化、擴展與完善.

誤區之二：說課就是再現上課過程

有些教師在說課過程中一直口若懸河、激動萬分地給聽者“上課”：講解知識難點、分析教材、演示教具、介紹板書等，把講給學生的東西照搬不誤地拿來講給下面就座的各位評委、同行們聽.其實，如果他們準備的內容和課程安排面對的是學生，可能會是一節很成功的示范課.但說課絕不是上課，二者在對象、要求、評價標準及場合上具有實質性的區別，不能等同對待.說課是說教師的教學思路軌跡，說教學方案是如何設計出來的，設計的優勝之處在哪里，設計的依據是什么，預定要達到怎樣的教學目標，這好比一項工程的可行性報告，而不是施工工程的本身.由此可見，說課是介于備課和上課之間的一種教學研究活動，對于備課是一種深化和檢驗，能使備課理性化，對于上課是一種更為嚴密的科學準備.

誤區之三：說教學方法太過籠統，說學習方法有失規范

“教學設計和學法指導”是說課過程中不可缺少的一個環節，有些教師在該環節中多一言以蔽之：我運用了啟發式、直觀式等教學法，學生運用自主探究法、合作討論法等.至于教師如何啟發學生，怎樣操作，卻不見了下文.甚至有的教師把“學法指導”誤解為：解答學生疑問、學生習慣養成、簡單的技能訓練.

誤區之四：說課只說不寫，“一窮二白”

有的教師在說課過程中，既無說課文字稿，也沒有運用任何的輔助手段.有的教師明明說自己動手設計了多媒體課件來輔助教學，但在說課過程中，始終不見廬山真面目，讓聽者不禁懷疑其真實性.所以，說課教師在說課過程中可以運用一定的輔助手段：如多媒體課件的制作、實物投影儀、說課文字稿、黑板板書等，在有限的時間里向同行及評委們說清楚課，說好課.

總而言之，說課要注意避開幾個常見誤區，不能過于模式化，流于形式，平均用力，要有研究的成分，重點說教學過程，逐步從破除八股、切中肯綮到吃準課標、吃透教材，最后達到得“意”忘“形”、游刃有余的最高境界！

1.中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（實驗）［M］.北京：人民教育出版社，2003.

2.吳寶瑩.旦德林雙球模型定義后的“橢圓的標準方程”的教學［J］.中學數學（上），2015（1）.F