領(lǐng)悟命題理念 深化解題思維*
——線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題的教學(xué)啟示

☉廣東省梅州市蕉嶺中學(xué) 黃金森

領(lǐng)悟命題理念 深化解題思維*
——線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題的教學(xué)啟示

☉廣東省梅州市蕉嶺中學(xué) 黃金森

縱觀(guān)近年高考試題對(duì)線(xiàn)性規(guī)劃的考查越來(lái)越靈活，以考查線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)的最值為重點(diǎn)，兼顧考查代數(shù)式的幾何意義（如斜率、距離、面積等），對(duì)線(xiàn)性規(guī)劃的考查既注重了對(duì)基本問(wèn)題的考查，又顯示出對(duì)線(xiàn)性規(guī)劃思想方法在解決問(wèn)題中應(yīng)用的考查.在知識(shí)交匯處命制試題更是高考試題的一個(gè)重要特點(diǎn)，因此，在教學(xué)中首先要抓好基本功的訓(xùn)練，通過(guò)數(shù)學(xué)手段進(jìn)行恒等變形，將相關(guān)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為用線(xiàn)性規(guī)劃思想方法可以解決的問(wèn)題.鑒于此，在線(xiàn)性規(guī)劃學(xué)習(xí)中要處理好以下幾個(gè)問(wèn)題.

一、關(guān)注線(xiàn)性規(guī)劃的多重交匯

A.2 B.1 C.0 D.3

圖1

圖2

評(píng)析：向量背景下的線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題是“平面向量”與“線(xiàn)性規(guī)劃”知識(shí)的一個(gè)交匯點(diǎn)，這類(lèi)問(wèn)題由于具有一定的綜合性，能較好地考查學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力，因而頻頻出現(xiàn)在高考或各類(lèi)模擬考試中.解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是剝開(kāi)“平面向量”這層“外衣”，還“線(xiàn)性規(guī)劃”于“本來(lái)面目”.

二、靈活處理目標(biāo)函數(shù)最值

圖3

解析：畫(huà)出可行域，如圖3中陰影部分所示，z＝y(tǒng)-ax可變?yōu)閥＝ax＋z，令l0：y＝ax，則由題意知l0∥AB或l0∥AC，所以a＝-1或a＝2.故選D.

評(píng)析：正確畫(huà)出可行域后，將目標(biāo)函數(shù)z= ax+by（b≠0）化為的形式，通過(guò)斜率為的直線(xiàn)平移求出z的最值，在這個(gè)過(guò)程中，需需注意兩點(diǎn)：一是所求可行域的邊界與直線(xiàn)z傾斜程度之間的關(guān)系；二是z的系數(shù)的正負(fù)對(duì)z取最值的影響，當(dāng)＞0時(shí)，取得最大（小）值時(shí)，相應(yīng)地z也會(huì)取得最大（小）值，當(dāng)＜0時(shí)，則恰好相反.

三、多個(gè)變量的消元處理

例3 （2012年江蘇卷理）已知整數(shù)a，b，c滿(mǎn)足：5c-3a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc，則的取值范圍是____.

評(píng)析：有些問(wèn)題涉及的變量較多，我們可以把兩個(gè)或多個(gè)變量的商看作一個(gè)變量，從而達(dá)到消元的目的，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線(xiàn)性規(guī)劃的問(wèn)題來(lái)解決.

圖4

四、透析簡(jiǎn)單線(xiàn)性規(guī)劃模型

例4 （2015年北京西城一模）已知6枝玫瑰與3枝康乃馨的價(jià)格之和大于24元，而4枝玫瑰與4枝康乃馨的價(jià)格之和小于20元，那么2枝玫瑰和3枝康乃馨的價(jià)格的比較結(jié)果是（ ）.

A.2枝玫瑰的價(jià)格高 B.3枝康乃馨的價(jià)格高

C.價(jià)格相同 D.不確定

評(píng)析：應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決各類(lèi)實(shí)際問(wèn)題時(shí)，建立數(shù)學(xué)模型是十分關(guān)鍵的一步，同時(shí)也是十分困難的一步.建立數(shù)學(xué)模型的過(guò)程，是把錯(cuò)綜復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題簡(jiǎn)化、抽象為合理的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的過(guò)程.要通過(guò)閱讀、分析、處理數(shù)據(jù)資料，觀(guān)察和研究實(shí)際對(duì)象的固有特征和內(nèi)在規(guī)律，抓住問(wèn)題的主要矛盾，建立起反映實(shí)際問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系.

圖5

五、深刻感悟線(xiàn)性規(guī)劃思想

例5 設(shè)數(shù)列｛an｝為等差數(shù)列，Sn為前n項(xiàng)和，若S1≤13，S4≥10，S5≤15，則a4的最大值為（ ）.

A.3 B.4 C.-7 D.-5

解析：此題若用數(shù)列的前n項(xiàng)和及通項(xiàng)公式去求解相當(dāng)煩瑣，所以可將其看成是關(guān)于a1和d的線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題，即可化為求的最大值，將其轉(zhuǎn)化為，求z=x+3y的最大值問(wèn)題，通過(guò)畫(huà)出可行域，求目標(biāo)函數(shù)最值問(wèn)題，得答案為B.

評(píng)析：線(xiàn)性規(guī)劃蘊(yùn)含的優(yōu)化思想方法是數(shù)學(xué)中的基本思想方法，線(xiàn)性規(guī)劃研究的是線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)在線(xiàn)性約束條件下的最優(yōu)化問(wèn)題，體會(huì)了這種思想后，可以讓學(xué)生明白“一個(gè)目標(biāo)函數(shù)，其變量在某種約束條件下，就可以求該變量的最優(yōu)化問(wèn)題”的數(shù)學(xué)規(guī)劃思想.本題抓住了等差數(shù)列的基本量的關(guān)系列式，巧妙地將基本量a1和d形成的數(shù)對(duì)設(shè)為平面中點(diǎn)的坐標(biāo)，這樣就形成了一元二次不等式表示平面中的區(qū)域，而所求的a4=a1+3d就是目標(biāo)函數(shù)，因此將數(shù)列問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題.

六、加強(qiáng)以線(xiàn)性規(guī)劃為背景的綜合題訓(xùn)練

例6 在平面直角坐標(biāo)系xOy，已知平面區(qū)域A=｛（x，y）|x+y≤1，且x≥0，y≥0｝，則平面區(qū)域B=｛（x+y，x-y）|（x，y）∈A｝的面積為_(kāi)_______.

評(píng)析：本題融集合、平面區(qū)域、線(xiàn)性規(guī)劃等知識(shí)，以及換元等方法于一體，教學(xué)中，在適當(dāng)時(shí)機(jī)將其選作例題，指導(dǎo)學(xué)生探索其解法，可以使這些鮮活的知識(shí)和方法在整合的過(guò)程中得到進(jìn)一步升華.

總之，線(xiàn)性規(guī)劃與集合、函數(shù)、方程、不等式、數(shù)列、解析幾何等知識(shí)聯(lián)系密切，在教學(xué)中，注意在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的交匯點(diǎn)處設(shè)計(jì)問(wèn)題，對(duì)學(xué)生進(jìn)行綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解題的訓(xùn)練，既可以深化學(xué)生對(duì)線(xiàn)性規(guī)劃知識(shí)和方法的認(rèn)識(shí)與理解，又能有效地幫助學(xué)生弄清學(xué)科知識(shí)間的聯(lián)系，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)學(xué)科知識(shí)的整體把握.F

*課題基金項(xiàng)目：廣東省教育科學(xué)規(guī)劃課題 “高中數(shù)學(xué)生態(tài)課堂教學(xué)模式的實(shí)踐與研究”（課題批準(zhǔn)號(hào)：2015YQJK253）.