導數應用中的“對而不全”原因剖析

☉江蘇省南京市溧水區(qū)第二高級中學 石保恒

導數應用中的“對而不全”原因剖析

☉江蘇省南京市溧水區(qū)第二高級中學 石保恒

大部分同學都有過這樣的經歷：考試過后感覺良好，但成績出來后并不理想.究其原因主要是因審題不細，隱含條件挖掘不徹底，對重要公式、性質、定理的把握不準確等，造成“會而不對”、“對而不全”的現象.本文以一道北京高考模擬題為引例，就導數應用中的“對而不全”問題進行剖析，以期加深同學們對此部分知識點的理解和熟練運用.

引例 （2015年北京東城一模）已知函數f（x）=2x++lnx.

（1）若x=1是函數f（x）的一個極值點，求實數b的值；

（2）若f（x）在區(qū)間（-1，1）上單調遞減，求b的取值范圍；

高考對導數問題的考查，主要包含導數概念及幾何意義，導數運算及在研究函數中的應用.具體體現在與切線、單調性和極值有關的問題上；以函數為問題背景，以知識交匯點上的二次函數、不等式為知識重點，以函數與方程思想、數形結合思想、分類討論思想、轉化與化歸思想為考查的數學思想方法進行考查.

問題解答：（1）函數f（x）的定義域為（0，+∞）.因為由已知（fx）在x=1處取得極值，故f′（1）=0，解得b=3.

剖析：在處理導數有關極值問題時，我們需明確：函數在某點取得極值，則函數在此點的導數值必等于0；反之，若在某點的導數值為零，則函數在該點不一定取得極值，還需進一步檢驗f′（x）在該點左右兩側的符號變化.也就是說，一個函數在某點處的導數為0是這個函數在該點取得極值的必要而非充分條件.

檢驗：當b=3時，令f′（x）=0，即2x2+x-3=0，（x-1）（2x+（舍），x=1.2

x （0，1） 1 （1，+∞）f′（x） - 0 + f（x） 減 極小值 增

故當b=3時，f（x）取得極小值.

剖析：在區(qū)間D內函數f（x）可導，利用導數判別f（x）單調性法則為：若x∈D時，有f′（x）＞0（或f′（x）＜0），則f（x）在D內是單調遞增（或單調遞減）函數；反之，若f（x）在D內是單調遞增（或單調遞減）函數，則x∈D時，恒有f′（x）≥0（或f′（x）≤0），且f′（x）不恒為0.故本題答案應為b≥3.

（3）曲線y=f（x）的切線問題，通常有兩種題型，即“在某點處的切線”與“過某點的切線”.求曲線在某點處的切線，關鍵是要求出切線的斜率，而根據導數的幾何意義，該點處的導數值就是該點處的切線的斜率，該點就是切線的切點，當然切線經過該點.因此，求曲線上一點處的切線方程的基本步驟是：

第一步，求出函數y=f（x）的導數在點x=x0處的值，即曲線y=f（x）在點P（x0，f（x0））處的斜率f′（x0）.

第二步，在知道切點斜率和切點坐標的前提下，切線方程為y-f（x0）=f′（x0）（x-x0）.若曲線y=f（x）在點P（x0，f（x0））處的切線平行于y軸（導數不存在），切線方程為x= x0.

針對過某點M（x1，（fx1））（不是切點）的切線斜率為k時，常需設出切點A（x0，（fx0）），利用，從而得到曲線的切線的統(tǒng)一方程；因為切點既在切線上，又在曲線上，從而可以列出方程組，求出切點坐標，進而寫出切線的方程.

二者的區(qū)別與聯(lián)系：曲線在某一點處的切線，就是指以該點為切點的曲線的切線，既然是以此點為切點，那么該點必然在曲線上.過某點的曲線的切線，是指只要是經過該點的曲線切線，均為所求.區(qū)分兩種題型的唯一標準就是題目敘述中含“在……處”還是“過……”，而不是看點是否在曲線上，“過某一點的曲線的切線”不受點“在”與“不在”的限制.

剖析：此問大部分同學在求解中，由極小值小于0，直接得出函數有兩個零點，造成“對而不全”失分.如何判斷在極值點的左右兩側存在使函數值大于零的點呢？此時通常借助特殊值法，在極值點兩側各選一特殊點，判斷其正負，進而得出零點個數.

（2，5）可作兩條直線與曲線y=g（x）相切.

（1）求函數f（x）的單調區(qū)間；

①當a＜0時，f′（x）＜0，則函數f（x）的單調遞減區(qū)間是（0，+∞）.

當x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下表.

（2）由（1）知：當a＜0時，函數f（x）在區(qū)間（0，+∞）內是減函數，所以，函數f（x）至多存在一個零點，不符合題意.

當x＞e時，g′（x）＞0，所以g（x）在［e，+∞）上是增函數.

所以當a＞e時，g（a）=a-2lna＞g（e）=e-2＞0，所以＞0.因為所以f（x）在）內存在一個零點，不妨記為b，在）內存在一個零點，不妨記為c.因為（fx）在 （0， 1）內是減函數，在a）內是增函數，所以

綜上所述，a的取值范圍是（e，+∞）.

總之，為了避免無謂的失分，解題中還應弄清以下幾個問題：

（1）求函數定義域：為什么要求定義域？通常什么時候需要求定義域？求定義域的注意事項是什么？

（2）求導函數：通常都有哪些類型？求導的易錯點有哪些？怎樣整理導數式？

（3）求導函數零點：求導函數零點通常都有哪些類型？是否一定有零點？零點及定義域邊界或限定域的邊界的大小關系？

（4）函數符號變化表：明確研究的范圍是什么？判斷符號的依據是什么？（基本初等函數圖像和性質，以及因式符號判斷）有哪些注意事項等.F