兩道測(cè)試題失分原因分析思考與啟示

☉安徽省碭山中學(xué) 辛 民

兩道測(cè)試題失分原因分析思考與啟示

☉安徽省碭山中學(xué) 辛 民

一次高三數(shù)學(xué)質(zhì)量測(cè)試中，有兩道試題學(xué)生都可以通過(guò)讀題、審題、分析、歸納、抽象、概括等活動(dòng)，利用基本概念，構(gòu)造自然、簡(jiǎn)潔的方法求解，然而，測(cè)試的結(jié)果出人意料，學(xué)生失分較多，這一現(xiàn)象引起了筆者的關(guān)注、思考、分析、探究、反思.現(xiàn)將其過(guò)程展示如下，與同行分享.

一、測(cè)試題及解答

例1 如圖1.在△ABC中，AB=2，AC=1，∠BAC=120°，O為△ABC的外心.

（1）設(shè)A—→B=a，A—→C=b，OM⊥BC于點(diǎn)M，點(diǎn)P為直線OM上的任意一點(diǎn)，試判斷A—→P·（a-b）是否為定值，并說(shuō)明理由.

圖1

（2）試用向量A—→B、A—→C表示A—→O.

分析：以三角形為載體，將三角形的外心與向量的數(shù)量積的運(yùn)算、平面向量的基本定理等基礎(chǔ)知識(shí)結(jié)合命題，考查平面向量的運(yùn)算等知識(shí)，要求學(xué)生具有一定的利用數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程思想方法分析、解決問(wèn)題的能力，適合學(xué)生練習(xí)，鞏固基礎(chǔ)知識(shí)，提高能力，屬于中等難度，不料測(cè)試的結(jié)果難度為0.27.仔細(xì)翻閱學(xué)生試卷，所教的班級(jí)解答較好的學(xué)生均采用參考答案給出的如下方法.

解：（1）如圖2，以A為原點(diǎn)，AB所在的直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，則A（0，0），的中垂線方程為x=1，AC的中垂線方程為），聯(lián)立兩中垂線方程，解得故

事實(shí)上，本題可利用向量的有關(guān)概念構(gòu)造如下基本、簡(jiǎn)潔解法.

例2 如圖3，已知直線4x-3y+3=0與單位圓交于A、 B兩點(diǎn)，劣弧AB所對(duì)的圓心角為α，則tan）的值為（ ）.

圖2

圖3

分析：以學(xué)生熟悉的直線與單位圓的位置關(guān)系為依托命制試題，考查三角函數(shù)的定義、誘導(dǎo)公式、方程的解等基本知識(shí)，突出考查數(shù)形結(jié)合思想方法及分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，測(cè)試難度0.35.調(diào)查了解學(xué)生的解題方法，結(jié)果令人吃驚，學(xué)生都是利用點(diǎn)到直線的距離公式，以及的正弦、余弦、倍角與誘導(dǎo)公式求解.

事實(shí)上，利用三角函數(shù)的概念基本解法如下：

二、座談交流

1.答題及試卷講評(píng)回顧

學(xué)生普遍反應(yīng)：對(duì)于例1，通過(guò)讀題、審題、分析、抽象、概括等活動(dòng)，回顧以前的解題經(jīng)驗(yàn)及題型選用建立平面直角坐標(biāo)系解決問(wèn)題，運(yùn)算量較大，無(wú)法得到正確的結(jié)果，對(duì)而不全.雖然題目條件有由向量的概念，但是通過(guò)讀題、審題，沒(méi)有形成向量意識(shí)，不能靈活、正確地將有關(guān)三角形的知識(shí)與向量的概念鏈接，如第（1）問(wèn)由A—→P不能轉(zhuǎn)化為M—→P-M—→A達(dá)到簡(jiǎn)化運(yùn)算的目的，第（2）問(wèn)由O為△ABC的外心不能形成向量A—→O在向量A—→B上的射影為1的概念，從而有效地建立等量關(guān)系式，達(dá)到迅速解題的目的.對(duì)于例2，讀題后圓與直線相交圖形在頭腦中印象深刻，聯(lián)想到半徑、弦及圓心到弦的垂線構(gòu)成直角三角形中含有角，因此利用解直角三角形求解，公式記憶不準(zhǔn)確、運(yùn)算錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)果不正確，會(huì)而不對(duì)，由于平時(shí)很少利用三角函數(shù)概念解題，雖然題目中的條件直線與單位圓相交于點(diǎn)A、B，沒(méi)有在頭腦中出現(xiàn)射線OA、OB，從而沒(méi)有聯(lián)想到三角函數(shù)的定義，構(gòu)造方程組求解.

教師講評(píng)試卷前調(diào)查：大部分學(xué)生對(duì)考試時(shí)解題方法進(jìn)行修改訂正得到了正確答案，認(rèn)為學(xué)生已經(jīng)解決了問(wèn)題，沒(méi)必要再進(jìn)行仔細(xì)評(píng)講，只需簡(jiǎn)單的點(diǎn)評(píng)強(qiáng)調(diào)一下運(yùn)算、對(duì)對(duì)答案即可，教師沒(méi)有真正坐在一起仔細(xì)分析學(xué)生失分的深層次的原因，失去了檢測(cè)的意義.

2.原因分析

由座談教師分析認(rèn)為：解析幾何引入坐標(biāo)法使部分?jǐn)?shù)學(xué)試題有了統(tǒng)一規(guī)范的解法，但是也給我們的教學(xué)帶來(lái)一些負(fù)面的影響，教師和學(xué)生往往熱衷于通過(guò)量的計(jì)算驗(yàn)證幾何的一些性質(zhì)，輕視概念教學(xué)、學(xué)習(xí)，不會(huì)或不愿由概念出發(fā)通過(guò)幾何的特征思考問(wèn)題、數(shù)量之間的關(guān)系，忽視作為幾何圖形所特有的屬性要求，使得問(wèn)題的解決流于表面，缺乏對(duì)問(wèn)題的本質(zhì)理解，長(zhǎng)此以往，學(xué)生不能養(yǎng)成由基本概念出發(fā)思考、分析、解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣，遇到問(wèn)題只會(huì)機(jī)械地對(duì)題型、尋套路，這也是當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)的一大弊端.

高中數(shù)學(xué)教師普遍對(duì)運(yùn)算教學(xué)不重視，認(rèn)為運(yùn)算教學(xué)是次要的、枯燥的，也不需要?jiǎng)幽X筋去思考，思維價(jià)值較低，不需要花功夫去應(yīng)付，不少學(xué)生平時(shí)用計(jì)算器代替筆算、心算等.追求功利化教學(xué)效果，重視例題的選擇講解輕視配套練習(xí)的設(shè)計(jì)，重視題型歸納輕視條件與基本概念屬性鏈接、解題方法的構(gòu)建，重視解題技巧記憶輕視思想方法的概括；概念復(fù)習(xí)重復(fù)高一、二的故事，忽視對(duì)概念內(nèi)涵、外延的挖掘、解讀、理解；學(xué)生重視課堂聽(tīng)講輕視課后反思?xì)w納、練習(xí)實(shí)踐，計(jì)算、思維能力提升無(wú)從談起，運(yùn)算能力的低下影響思維能力的提升，思維能力薄弱導(dǎo)致學(xué)生算理混亂、算法模糊，判斷、選擇能力低下，解題時(shí)對(duì)上題型、套路無(wú)法得到正確的結(jié)果，面對(duì)新的情境無(wú)法從多種表征中分析出本質(zhì)屬性，實(shí)現(xiàn)題設(shè)與概念對(duì)接，形成正確、有效的應(yīng)用概念的解題方法.

試卷講評(píng)教師沒(méi)有真正理解學(xué)生解題因何而錯(cuò)、錯(cuò)誤的地方、產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因是什么？不知道思想方法的缺失根本癥結(jié)所在，產(chǎn)生缺失的原因是什么？不了解學(xué)生的想法、錯(cuò)誤、糾結(jié)之處，僅僅注重結(jié)果的正確與否、問(wèn)題是否解決？不能根據(jù)學(xué)生暴露的問(wèn)題采取相應(yīng)的教學(xué)策略，對(duì)癥下藥，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)及思想方法理解的提升，培養(yǎng)學(xué)生良好的解題習(xí)慣，形成較為扎實(shí)的解題技能.

三、教學(xué)啟示

1.提升自身素質(zhì)領(lǐng)悟數(shù)學(xué)本質(zhì)

數(shù)學(xué)概念作為反映現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的思維形式，是一類對(duì)象本質(zhì)屬性的反映，是數(shù)學(xué)知識(shí)的最基本內(nèi)容、學(xué)科系統(tǒng)精髓和靈魂；是數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的重要組成部分，是構(gòu)建數(shù)學(xué)理論的基石、導(dǎo)出數(shù)學(xué)定理、數(shù)學(xué)法則、解決問(wèn)題的邏輯基礎(chǔ).解題過(guò)程即在基本概念理解的基礎(chǔ)之上對(duì)問(wèn)題的本質(zhì)屬性分析、概括、比較、聯(lián)想、判斷、推理、論證等的思維活動(dòng)，自然、簡(jiǎn)潔的解題方法源于對(duì)問(wèn)題本質(zhì)深層次的理解與概括，由此可見(jiàn)，一個(gè)人數(shù)學(xué)能力的高低取決于對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象本質(zhì)屬性的理解掌握的深淺.從以上兩題的答題及教學(xué)可以看出，教師自身要加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象本質(zhì)屬性的研究，站在數(shù)學(xué)整體高度上理解概念，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)概念的形成過(guò)程、內(nèi)涵與外延，以及數(shù)學(xué)對(duì)象本質(zhì)的抽象與概括，挖掘基本概念蘊(yùn)含的智力開發(fā)價(jià)值及數(shù)學(xué)思想方法的教育價(jià)值，養(yǎng)成“回歸概念，從基本概念、基本原理出發(fā)，分析、思考問(wèn)題本質(zhì)屬性，從概念的聯(lián)系中尋找解決問(wèn)題的思維方法”解題習(xí)慣.自覺(jué)地把研究概念、解讀概念、應(yīng)用概念根植于整個(gè)高中數(shù)學(xué)的教學(xué)、研究中去.

2.加強(qiáng)基礎(chǔ)復(fù)習(xí)提高運(yùn)算能力

運(yùn)算技能是數(shù)學(xué)的基本能力，它是解題的基本功，也是學(xué)生發(fā)展思維能力、取得高分的根本保證，其重要性是不言而喻的，以上兩題所考查的運(yùn)算技能，主要包括方程、方程組求解，字母及無(wú)理數(shù)的運(yùn)算等，從學(xué)生答題情況看卻令人擔(dān)憂，相當(dāng)一部分學(xué)生運(yùn)算能力不過(guò)關(guān)，如例1無(wú)理數(shù)的四則運(yùn)算不準(zhǔn)確，數(shù)量積、直線斜率計(jì)算出錯(cuò)，方程組不能正確求解等，例2點(diǎn)到直線的距離、半角、和角公式不能正確運(yùn)用，計(jì)算不準(zhǔn)確，費(fèi)了九牛二虎之力計(jì)算出錯(cuò)誤的結(jié)果.數(shù)學(xué)每一步運(yùn)算都以定義、定理、公式、法則為依據(jù)，因此，正確理解概念、準(zhǔn)確掌握公式、定理、法則是準(zhǔn)確、迅速、靈活運(yùn)算的根本保證，提高學(xué)生的運(yùn)算能力應(yīng)是數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中一項(xiàng)長(zhǎng)抓不懈的工作.

3.設(shè)計(jì)問(wèn)題串展示概念表征的多層性

數(shù)學(xué)概念的層級(jí)性決定數(shù)學(xué)概念表征的多層性、多樣性，同一個(gè)概念可以從符號(hào)、文字、圖形等方面認(rèn)識(shí)它，這是學(xué)生理解概念的一個(gè)困難，其次，學(xué)生不能熟練地在不同表征之間將概念轉(zhuǎn)換，在新情境中識(shí)別概念的表征是學(xué)生不能正確解題的一個(gè)重要原因.因此，高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教師要幫助學(xué)生站在數(shù)學(xué)學(xué)科整體高度上再次經(jīng)歷概念的形成過(guò)程，了解概念的產(chǎn)生背景，體驗(yàn)數(shù)學(xué)化的方法，多角度、多層次設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)問(wèn)題、數(shù)學(xué)活動(dòng)分析、理解概念的表征，提高抽象概括能力、數(shù)學(xué)表達(dá)能力，幫助學(xué)生構(gòu)建概念系統(tǒng)，清除理解上的盲點(diǎn)、難點(diǎn)，優(yōu)化知識(shí)結(jié)構(gòu)，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)概念中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想、方法，建立從概念到解題方法的自然鏈接，在概念辨析中深化認(rèn)識(shí)，強(qiáng)化概念本質(zhì)的理解與應(yīng)用意識(shí)的培養(yǎng)，使數(shù)學(xué)問(wèn)題解決過(guò)程變?yōu)閷W(xué)生玩概念、品概念、用概念的活動(dòng)，提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，堅(jiān)決摒棄一個(gè)概念、多項(xiàng)注意的抽象講解式的復(fù)習(xí)模式.

如在復(fù)習(xí)平面向量的基本定理時(shí)筆者設(shè)計(jì)如下問(wèn)題（取得較好的復(fù)習(xí)效果）：

問(wèn)題1：平面向量基本定理是什么（多種表示）？如何證明？基本定理的核心是什么？作用是什么？在解題過(guò)程中什么樣的兩個(gè)向量最有資格作為基底向量？如何求常數(shù)λ、μ（數(shù)形結(jié)合、方程思想）？

通過(guò)問(wèn)題經(jīng)歷概念的形成過(guò)程，理解概念的內(nèi)涵、外延等，深化概念認(rèn)識(shí)，通過(guò)概念不同表征之間的聯(lián)系，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的表達(dá)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的發(fā)展，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的應(yīng)用.

創(chuàng)設(shè)情境，應(yīng)用概念，體會(huì)思想方法，深化理解概念.

變化條件，設(shè)置情境，發(fā)展概念，引領(lǐng)學(xué)生深化概念的理解及應(yīng)用，升華學(xué)生的思維，提高理解能力.

問(wèn)題4：在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，兩定點(diǎn)A、B滿足則點(diǎn)集|λ|+|μ|≤1，λ，μ∈R｝所表示的區(qū)域的面積是（ ）.

設(shè)置新的情境，強(qiáng)化抽象、概括、閱讀、理解、應(yīng)用意識(shí)，在不同背景下應(yīng)用概念，形成自覺(jué)運(yùn)用概念的思維定勢(shì)，建立從概念到解題方法的自然鏈接，在概念的應(yīng)用過(guò)程中自然、流暢地解決問(wèn)題.

創(chuàng)設(shè)情境，增加內(nèi)涵，增大思維量，一題多解，提升學(xué)生的解題能力.

通過(guò)以上問(wèn)題的解決，能夠達(dá)到將平面向量基本定理這一基礎(chǔ)知識(shí)放在不同表征系統(tǒng)中，在給定的表征系統(tǒng)中能夠熟悉地識(shí)別，能夠熟練地從一個(gè)表征系統(tǒng)轉(zhuǎn)化到另一個(gè)表征系統(tǒng).

1.章建躍.中學(xué)數(shù)學(xué)課改的十個(gè)論題［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上），2010（3~5）.F