數(shù)學解題方法的選擇性例談

☉江蘇省張家港市崇真中學 白桂華

數(shù)學解題方法的選擇性例談

☉江蘇省張家港市崇真中學 白桂華

數(shù)學概念教學如果說是數(shù)學教學的核心的話，那么數(shù)學解題教學就是數(shù)學教學的重點和難點.我們知道，概念是數(shù)學的基礎，但是在具體情境問題中，如何運用概念、定理、性質(zhì)，卻是一門不折不扣的解題學問和解題藝術(shù).高考問題研究專家陜西師大羅增儒教授說過：一個問題的解決方法有很多種，有些方法是低效的，有些方法則是具備啟發(fā)性的，教師解題水平的優(yōu)劣性，就直接導致在解決問題過程中方法的選擇性.好的方法耐人尋味、觸人深思，這或許就影響到一個學生學習一門學科的興趣，因此我建議大家要多多學習好的解題方法、開拓思路.

如何尋求好的解題方法是一門學問，這是教師自身水平的一種體現(xiàn)，也是多年教學經(jīng)驗的一種積累.筆者認為對于解題方法的選擇，應該從下面四個方面入手去思考：其一，立足通性、通法的解答，高考絕大部分考題都是對通性、通法的考查，平時教學中一般以此為根本，不斷加固學生對于通性、通法的理解；其二，對于思路靈活的學生要因材施教，給予簡單解法的指導和培養(yǎng)，這部分學生思路較為活躍，對于通法較為熟悉，介紹簡單的方法正是為了開發(fā)學生更高的數(shù)學思維和素養(yǎng)；其三，培養(yǎng)高等解法，利用高等數(shù)學的觀點來看待中學數(shù)學問題，是近年高考命題的一種趨勢和手段，很多稍難的高考試題正是源自高等數(shù)學中一個淺顯的定理而編制，諸如以阿波羅尼斯圓、阿基米德三角形、向量極化恒等式等為基礎編制的一系列高考問題，都有著濃郁的高等數(shù)學背景；最后，適合自身的解法是解題教學最終的目的，有些學生對圖形有著天生的敏銳力，而有些學生喜歡嚴密的代數(shù)化運算，因此在多種解答中選擇適合自己的方式、方法才是解題教學最終的目標.

一、通性、通法培養(yǎng)

通性、通法是高考數(shù)學考查的根本，也是數(shù)學解題教學中最核心的部分.以往，筆者也聆聽過一些復習教學課，某些教師將問題編制得整整齊齊、類型多樣，解答的方式、方法千奇百怪，學生聽課時都是充滿各種驚訝的表情和元素，而教師卻沾沾自喜、洋洋得意，殊不知這樣的課對教師自身研究來說是不錯的小結(jié)，但是對于學生來說，完全是一種誤導和浪費.考試大綱多次說明，數(shù)學科是以考查通性、通法為根本的，切忌耗時耗力鉆研難題、怪題，否則得不償失.

案例1：在銳角△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c.若＝6cosC，則的值是________.方法選擇分析：觀察條件，數(shù)式中既有邊又有角，應統(tǒng)一→將條件轉(zhuǎn)化為簡潔形式觀察所求結(jié)論：考慮到在△ABC中的正、余弦定理，切化弦是必由之路（角化邊、用條

說明：數(shù)學問題中的條件和結(jié)論，很多都是以數(shù)式的結(jié)構(gòu)形式進行搭配和呈現(xiàn)的.在這些問題的數(shù)式結(jié)構(gòu)中，往往都隱含著某種特殊關(guān)系，認真審視數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，對數(shù)式結(jié)構(gòu)進行深入分析，加工轉(zhuǎn)化，可以尋找到突破問題的方案.本題為江蘇省高考題，其通性、通法在于對角化邊的選擇，是平時教學的一般認識.

二、簡單解法滲透

數(shù)學中有許多問題使用常規(guī)解法固然可敬，但是往往存在一定的簡單方法.對于這樣的問題，需要教師長時間教學經(jīng)驗的積累，在教學中給予學生合理的指導.這里筆者要指出：簡單解法是對通法的一種補充，是對思維靈活的學生的一種激勵，有助于數(shù)學學習思路的開拓性和創(chuàng)新性的培養(yǎng).

分析：解決本題的通法是首先利用向量關(guān)系C→A= λB→C，代入坐標運算，可以得到橫、縱坐標之間的兩組方程，可以想象這里的兩個方程，一個是關(guān)于橫坐標之間的等式關(guān)系，一個是關(guān)于縱坐標之間的等式關(guān)系，這兩個方程中涉及5個未知量，分別是sinα、cosα、sinβ、cosβ以及λ，加上兩個隱含方程sin2α+cos2α=1和sin2β+cos2β=1共四個方程5個未知數(shù)，從理論上可以認為通過化簡手段可得到關(guān)系式λ=f（sinα），進而利用函數(shù)思想求解.但是細細一想，通法最大的困擾是如何將復雜的四個方程進行化簡，即便簡化了，對這個較為復雜的函數(shù)如何求其值域？因此，對本題的簡單解法滲透是必須思考的.我們一起觀察A、B兩點，可以發(fā)現(xiàn)它們一定出現(xiàn)在一個定曲線——橢圓上，此時點C恰為該定曲線的左焦點，利用向量共線知識，則簡單解答更有另一番風景.

說明：從本題我們可以看出，要解決一些思維層次較高的問題，僅僅依賴通法還是不夠的，這時需要教師引導學生對問題條件的不斷思索和挖掘，從中找尋條件中隱含的蛛絲馬跡，從中開辟簡單解法的新路徑.這里要說明的是，簡單解法要在通法思路的基礎上進行滲透，而不要一味地將簡單解法灌輸給學生.

三、高端解法引領(lǐng)

近年來，越來越多的高等背景下的數(shù)學試題出現(xiàn)在中學數(shù)學教學中.以這些高等數(shù)學為背景編制的數(shù)學問題往往有著更為深刻的含義和區(qū)分度.阿基米德三角形、極化恒等式、阿波羅尼斯圓、拉格朗日中值定理等成為一些難題背景的常客.比如：對于高中數(shù)學來說，極化恒等式在二維向量中的形式如下所示（a-b）2］（本等式極好地展現(xiàn)了a·b與a+b、a-b之間的關(guān)系，其表明向量的內(nèi)積運算可以由向量線性運算的模導出（也是向量內(nèi)積的另一種定義），是溝通向量內(nèi)積運算和線性運算的重要公式.

圖1

案例3：（2013年浙江數(shù)學競賽）已知直線AB與拋物線y2=4x相交于點A、B，M為線段AB的中點，C為拋物線上一動點，若C0滿足｝，則下列結(jié)論中一定成立的是（ ）.

A.C0M⊥AB

B.C0M⊥l，其中l(wèi)是拋物線過C0的切線

C.C0A⊥C0B

D.|C0M|=|AB|

說明：需要關(guān)注的是：其一，利用極化恒等式解決數(shù)量積問題往往有效，而且以最值動態(tài)問題更顯突出；其二，解決過程中，要利用實際問題構(gòu)建數(shù)量積與向量和差間的關(guān)系，對于三角形而言，利用中點的建構(gòu)就比較方便和自然.這種基于高等數(shù)學背景的問題，自然高端的解法來得比較自然，有興趣的讀者可以查看近年的相關(guān)資料，有很多介紹上述類似問題的文獻.

四、解法選擇需因材施教

上述的三種方式，是數(shù)學解題比較普遍的三種形態(tài).但是最終能否有效地落實到實際教學中，筆者認為與受教者所處的層次有很大的關(guān)系.相對于程度較好的學生而言，上述三種方式均可以不同的呈現(xiàn)，但對于程度較弱的學生，自然施教的內(nèi)容和方式需要根據(jù)學情調(diào)整，筆者舉一個案例.

案例4：（教材習題）等差數(shù)列｛an｝的前n項和Sn=m，前m項和Sm=n（m≠n），求前m+n項的和Sm+n.

解法1：設｛an｝的公差為d.由Sn=m，Sm=n（m≠n），得

分析2：利用函數(shù)思想，理解等差數(shù)列前n項和Sn滿足的關(guān)系從函數(shù)的角度而言，是必過點（0，0）的二次函數(shù)，借此突破高效省事.

解法2：設Sn=An2+Bn（n∈N*），則

③-④得A（m2-n2）+B（m-n）=n-m.又m≠n，則A（m+ n）+B=-1.

則A（m+n）2+B（m+n）=-（m+n），即Sm+n=-（m+n）.

說明：這是等差數(shù)列非常經(jīng)典的一個問題，對于數(shù)學學習力較弱的學生而言，他們對等差數(shù)列所反映的數(shù)學本質(zhì)弄不清楚，因此更不可能從其和式二次函數(shù)的角度出發(fā)考慮，對于這樣的學生而言，教學的方式是運用最根本的通式通法求解，盡管對于他們而言運算稍顯煩瑣，但是思維方式相對簡單，成為這些學生較為喜歡的方式.另一種方式，是引導學生將數(shù)列知識和函數(shù)知識進行整合，從數(shù)列是特殊的函數(shù)這一觀念出發(fā)，加深其對函數(shù)本質(zhì)的理解和掌握，在運用這一知識解決問題的過程中，自然是較少使用運算.因此，“重思維、輕運算”還是“重運算、輕思維”的解法選擇必須因材施教，只有適合學生學情的解法選擇才是最好、最恰當?shù)?

總之，數(shù)學解題的方式、方法是多樣的，教師對其的選擇和引導必須以學生自身素質(zhì)為基礎，在此之上教師對其的選擇才是可行的、有效的.尊重通性和通法、滲透簡單解法、培養(yǎng)高端解法都是教師不停的解題教學的積累和傳承.以上為筆者自身教學之淺見，懇請讀者批評.

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2.何宗羅.整體凸顯 結(jié)構(gòu)優(yōu)化 問題引領(lǐng)［J］.教學月刊，2012（4）.

3.蘇小強.例談解析幾何中多解建構(gòu)探索與思考［J］.數(shù)理化學習，2014（6）.A