解析幾何中“向量”工具實用優(yōu)點探析

☉江蘇省響水中學(xué) 趙鳳路

解析幾何中“向量”工具實用優(yōu)點探析

☉江蘇省響水中學(xué) 趙鳳路

解析幾何是高中數(shù)學(xué)課程教學(xué)重要組成部分之一，基本上每年都是高考內(nèi)容中的主要部分.在處理解析幾何問題時，向量是運用較多的有效工具，也是代數(shù)與幾何緊密聯(lián)系的橋梁.筆者在從事高中數(shù)學(xué)教育教學(xué)的實踐過程中，發(fā)現(xiàn)既有大小又有方向的向量在解析幾何問題的處理方面具有獨特的優(yōu)越性，向量的大小可以解決距離問題，向量的方向可以解決與角度相關(guān)的問題，向量的坐標(biāo)形式在解析幾何問題的處理中表現(xiàn)突出.本文中筆者通過典型案例的剖析，充分說明向量在處理高中數(shù)學(xué)解析幾何問題中的優(yōu)點，以期為讀者帶來一定幫助和參考.

一、巧借“向量”的方向和夾角運用于解析幾何之中，體現(xiàn)“它山之石，可以攻玉”

合理運用向量的方向來表示直線的方向，可以避免對直線斜率的討論.運用向量夾角的余弦坐標(biāo)公式處理直線夾角問題，相對于利用直線夾角的斜率公式處理解析幾何中的夾角問題來說方便很多.

例1 如圖1，兩條相互平行的直線l1：3x+4y-7=0和l2：3x+4y+8=0，若存在一條過點P（2，3）的直線l被直線l1和l2截取的線段長度為，試求直線l的方程.

圖1

圖2

解析：令直線l的方向向量μ1=（-n，m）（m2+n2≠0），即直線l的方程為：m（x-2）+n（y-3）=0.設(shè)直線l與直線l1和l2交于M、N兩點，即過M點作于R，如圖2，根據(jù)平行直線之間的距離公式可得設(shè)∠MNR=θ，則則

令直線l2的方向向量μ2=（-4，3）.則7n2+24mn=0，則n=0或?qū)⒋舜雖（x-2）+n（y-3）=0中，可得到所求直線l的方程為：x=2或7x-24y+58=0.

點評：多數(shù)學(xué)生遇到這道試題都會直接設(shè)出直線l的方程，通過與l1和l2聯(lián)立方程組求出交點的坐標(biāo)，再運用兩點之間的距離公式，借助待定系數(shù)進行求解.這種處理手段過程復(fù)雜煩瑣、運算量較大，學(xué)生出現(xiàn)錯誤的幾率自然較高.上述解析過程是借助向量的特征，設(shè)直線l的方向向量，運用向量數(shù)量積的定義表示直線l與l1、l2的夾角的余弦值，從而快速、簡捷地求出直線l的方向向量，這體現(xiàn)了向量方向特征在處理解析幾何問題中的“妙”處.

二、借助“向量”的大小處理解析幾何問題，既可有效簡化問題，又能讓學(xué)生體會到“另辟蹊徑”的益處

點到直線的距離公式是高中數(shù)學(xué)解析幾何中重要的公式之一，教材中點到直線的距離公式的推導(dǎo)是借助合理構(gòu)造一個直角三角形進行證明的，誠然，用這種方式進行推導(dǎo)證明有它的優(yōu)勢，但是在三角形的構(gòu)造過程中必須考慮直線的斜率是否存在的情況，要具體討論，若運用向量的大小來實現(xiàn)這一目標(biāo)，不僅可以避免分類討論帶來的麻煩，而且能夠加深學(xué)生對數(shù)學(xué)概念和規(guī)律的理解.

例2 求證：點P（x0，y0）到直線l：Ax+By+C=0（A2+ B2≠0）的距離

證明：令直線l上存在一點Q（x1，y1），則P—→Q=（x1-x0，y1-y0）.如圖3，點P到直線l的距離d即為向量在直線l的法向量上的投影的絕對值.設(shè)直線l的法向量n=（A，B）.

圖3

點評：本題是教材中一道典型證明題，利用向量這一工具處理問題，體現(xiàn)了在高中數(shù)學(xué)解析幾何問題中“向量”這一處理手段的優(yōu)越性和獨特性，學(xué)生從中體會到從不同方式成功處理數(shù)學(xué)問題的喜悅，激發(fā)學(xué)生對高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣.

三、充分發(fā)揮單位“向量”在解析幾何中的效用，讓問題的處理達(dá)到“簡潔明快、流暢自然”

高中數(shù)學(xué)中的單位向量即為長度等于1個單位的向量，在求解一個向量的時候可以先確定與其同向的單位向量，結(jié)合其模的值確定該向量.在平面解析幾何問題中，單位向量的有效運用能夠化繁為簡、高效解題.

例3 如圖4，在△ABC中，A（5，-1）、B（-1，7）、C（1，2），試求∠CAB的角平分線AD的長度.

圖4

圖5

解析：根據(jù)題意可知：A—→C=（-4，3），A—→B=（-6，8），如圖5，可令

由于平行四邊形AEPF是菱形，則AP為∠FAE（∠CAB）的角平分線，即

點評：本題中巧妙利用單位向量構(gòu)造出菱形，從而方便處理角平分線的問題，起到“避繁就簡、一氣呵成”之功效，這也提醒一線高中數(shù)學(xué)教師在平時的習(xí)題教學(xué)中注重向量工具的合理運用與引導(dǎo).

眾所周知，在立體幾何中空間向量的運用十分廣泛，為求解空間角度與距離的問題帶來了十分便利的效果，其實在平面解析幾何中同樣可以利用平面向量進行處理.本文中的案例充分說明：以平面向量為工具來處理解析幾何問題，往往會起到意想不到的驚奇效果，能夠有效拓展學(xué)生的思維空間.解析幾何作為高中數(shù)學(xué)的一個重要分支，在高考試題中也占有重要的一席之地.作為一線高中數(shù)學(xué)教師，在解析幾何的教學(xué)中，應(yīng)該注重合理運用向量的相關(guān)知識進行處理問題的引導(dǎo)，通過一定量的典型習(xí)題的訓(xùn)練來提升學(xué)生利用向量這一工具處理解析幾何問題的能力，進而提升高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的效益.A