挖掘教材與課標的內涵著力發展學生核心素養

農學寧

【摘要】本文以2020年廣西北部灣經濟區學業水平考試為例，闡述命題的目標、立意、思路以及命題的過程，以幫助教師能更好地了解考試的本質、理解教材與課標的內涵，更好地進行日常教學并做好中考備考，提升課堂教學質量。

【關鍵詞】廣西北部灣經濟區 學業水平考試 命題 課標

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2021）13-0130-02

《教育部關于加強初中學業水平考試命題工作的意見》指出，考試命題要注重引導學校落實德智體美勞的教育體系的全面培養，引導教師積極探索基于情境、問題導向、深度思維、高度參與的教育教學模式，引導學生自主、合作、探究學習，充分發揮考試對推動教育教學改革、提高學生綜合素質、促進學生全面健康成長的重要導向作用。《教育部關于加強初中學業水平考試命題工作的意見》同時指出，取消初中學業水平考試大綱，嚴格依據義務教育課程標準命題，不得超標命題。因此現行的《義務教育數學課程標準（2011版）》和教材（人教版）是考試命題的重要依據。然而從目前學校的中考備考情況來看，大多數學校對課標和教材的教學不夠重視，教學課程內容超標、重結果輕過程、重教輔輕教材、重技巧輕概念的情況依然比較普遍存在。本文從2020年廣西北部灣經濟區學業水平考試命題的主體立意、教材與課標的關系出發，以發展學生核心素養為起點，以試題的命制過程為主線，分析試題命制的立意，深入探討課標與教材的思想內涵，以期幫助老師們更好地理解教材與課標的內涵，便于老師們提升課堂教學質量，并做好中考備考。

一、命題目標與立意

中考是義務教育階段的終結性考試，是全面衡量初中學生在學科學習方面的水平考試，考試結果是高中階段學校招生錄取的主要依據。由此性質決定了中考試題既要注重學生的基礎知識和基本技能的考查功能，又要注重選拔性的考查功能，要求具備一定的難度和區分度。其中幾何綜合題是中考試題中十分常見的類型，其綜合性強，蘊含的知識點多，對學生的幾何直觀思想、邏輯推理、模型思想等能力要求比較高，常常出現在壓軸題中。2020年廣西北部灣經濟區學業水平考試的幾何綜合題有一定難度，其考查的內容以圓的性質和相似三角形相結合為主，其目標是為了考查“幾何直觀”“推理能力”“運算能力”等數學核心素養，以及“數形結合的思想”“轉化與化歸的思想”等數學思想方法。試題相較于往年，既保持了一定的穩定性，又具有一定的層次性和區分度。試題的命制思路主要借助教材例題和練習立意，以改編為主要手段，體現相關知識的核心內容和思想。

二、材料收集及初定框架

在教材中，有兩道關于圓的性質的比較典型的題目，是這次命題的主要參考內容。為了讓讀者能更好地了解命題的基本思路和過程，現分述如下。

〖教材內容參考 1〗（人教版九上P98 練習第 1 題）如圖 1，AB是 ⊙O的直徑，∠ABT=45°，AT=AB。求證：AT 是 ⊙O 的切線。

〖教材內容參考 2〗（人教版九年級 P101 習題 24.2 第 6 題，變式提升）如圖 2，PA，PB 是 ⊙O 的切線，A，B為切點，AC是⊙O的直徑，∠BAC=25°。求∠P的度數。

這兩道題均是教材中的典型練習，主要考查切線的判定和性質、圓周角的性質、切線長定理等。兩道題的解法和證明過程雖然比較簡單，但其可塑性強，考查的內容與方法十分經典。因此確定以這兩道題為母題進行進一步改編。

〖初步思路一〗在教材內容參考1上進行改編。

如圖3，AB 是 ⊙O的直徑，AB=d，∠ABT=45°，AT=AB，連接OT 交 ⊙O于點 C，BC 的延長線交 AT 于點 D。

（1）求證：AT 是 ⊙O 的切線;

（2）求 AD 的長。

顯然在原題的基礎上增加了OT，BD 兩條線段，圖形開始變得有點復雜，主要考查點還是切線的判定，入手不難，但 AD 的長為 [5-12]d，則一下子難度增加過大，需要有一定的過渡。以圓的切線判定為考查的一個重要知識點是恰當的，但第二問的難度過大問題，需要進一步討論。進一步分析發現， [5-12] 這數字正好是黃金分割，這正是我們所需的，讓人十分振奮。因為這可以提高本題的數學文化性質，體現題目的數學文化功能，同時又使運算有一定的難度，確保適當的區分度，體現選拔性的命題特點。

〖初步思路二〗在教材內容參考 2 上進行改編。

如圖 4，PA，PB是⊙O的切線，A，B為切點，AT為直徑，在Rt△PAC中，AC邊長為 4，AP 邊長為 3，這時恰好有AP=AT=2 OA。（顯然這里可以通過連接AB，TB證明）

三、思路整合與優化

以上兩個思路有一個交匯點，即圓的直徑沒有變化，而且還可以繼續使用兩個教材練習的條件。

〖第一稿〗如圖 5，在△ACP 中，以 AT 為直徑的 ⊙O 交 OP 于點D，連接TD并延長與AP相交于點E，連接AD，且∠DAE=∠ACE，PB與 ⊙O相切于點B，AC=4，AP=3。

（1）求證：AP 是 ⊙O 的切線;

（2）求 AE 的長。

這題有兩問，其中，第一問比較簡單，第二問的答案是在AP=AT 的基礎上進行證明而得到。然而AP=AT的證明（如前）所用的方法和第一問的方法相似，這對于知識點的考查似乎過于單一，而且問題缺乏梯度。如果第二問先證明AP=AT，則第三問的隱蔽性又不太夠，思路引導過于明顯，難度不夠。因此，還要在第二問上下功夫。

[思考]這一稿主要集中在第二問的突破上。在第一稿的基礎上增加連接BT，AB兩條線段，如圖6，這時就會有以下的結論：

（1）BT∥PO;

（2）BA⊥PO;

（3）∠CBT=∠BAT=∠APO;

（4）∠BAD=∠DAE。

其中，（1）（2）（3）（4）問在知識點上相連，方法和模型比較常規。主要運用弦切角定理、切線長定理推論、直角三角形的兩個銳角互余等，與本題中要考查的主要知識點相符。

由此設計出第二稿如下：

〖第二稿〗如圖7，在Rt△ACP中，∠CAP=90°，以AT為直徑的⊙O交OP于點D，連接TD并延長與AP相交于點E，PB與⊙O相切于點B，AC=4，AP=3。

（1）求證：AP是⊙O的切線;

（2）連接AB交OP于點F，求證：△FAD∽△DAE;

（3）求AE的長。

這一稿則基本上解決了第（2）問的問題，而且在通過第（2）問的證明過程，讓學生可以發現△FAD∽△DAE∽△TAE，對第（3）問的解決也有了一定的思路引導。但也存在一個問題，就是第（1）太過于簡單，簡單到幾乎可以不用證明。

經過研究發現，主要矛盾是在Rt△ACP和AC=4，AP=3這幾個條件上，讓本題的運算大大增加，因此考慮能不能不用這幾個條件。同時，我們也發現，由于∠BAT=∠APO，故它們的正切值均為 [12]。如果給出這幾個角中任意一個角的正切值，那么就可以通過主動設元的方法，求出△ATE的線段比，這也同樣得到黃金分割的結果。

四、定稿

如圖8，在△ACE中，以AC為直徑的⊙O交CE于點D，連接AD，且∠DAE=∠ACE，連接OD并延長交AE的延長線于點P，PB與⊙O相切于點B。

（1）求證：AP是⊙O的切線;

（2）連接AB交OP于點F，求證：△FAD∽△DAE;

（3）若tan∠OAF=[12]，求[AEAP]的值。

〖解析〗選擇給出∠DAE=∠ACE的條件，以便第（1）問的證明，其方法是教材內容的通法，比較容易入手。第（2）問則是以第（1）為基礎，結合PB與⊙O相切于點B這一條件，運用切線長定理及等弧所對的圓周角相等等定理也可以輕松證明。由此對與圓有關的幾何性質的運用比較充分，同時難度也不大。第（3）問中就舍棄了Rt△ACP的邊長的條件，而是基于三角函數（定型）和三角形全等（△ABC≌△PFA）的線段轉化或相似方法進行角的轉化來推導求出線段比。目的是引導學生利用設元的方法進行求解，從而增加解題方法。

五、反思與拓展

（一）明確考查目標，關注學科知識的內涵與特征

考試命題是一個融合課標、教材、教學的創作過程，需要明確考查的知識內容標準。國家課程標準是教材編寫、教學、評估和考試命題的依據，是國家管理和評價課程的基礎。它規定本門課程的性質、目標、內容，提出指導性的教學原則和評價建議。教材是教師進行教學的主要依據，它為教師備課、上課、布置作業、學生學習成績評定提供了基本材料。初中階段學生在幾何知識方面的學習，主要集中于空間觀念和幾何直觀。其中，空間觀念主要是指根據物體特征抽象出幾何圖形，根據幾何圖形想象所描述的實際物體及其方位和相互之間的位置關系，描述圖形的運動和變化，依據語言的描述畫出圖形等;幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題，把復雜的數學問題變為簡明、形象的問題，以助探索解決問題的思路，預測結果。

本題是一道與圓有關的幾何綜合題，主要考查了圓周角定理、切線的性質與判定、切線長定理、相似三角形的性質與判定、勾股定理、解直角三角形的應用等，均為初中階段的主干知識。本題以學科核心素養為立意，圍繞學科相關的核心知識點進行設計，充分關注學科知識的內涵與特征;以知識為主線，考查了學生的“幾何直觀”“推理能力”“運算能力”等數學核心素養以及“數形結合的思想”“轉化與化歸的思想”等數學思想方法。

（二）選取合適的素材，關注教材、課標及育人價值

從命題的過程上看，以教材的練習題為起點，考查了課標內容中的主要知識內容，以達成課標的要求;同時又進行了適當的、有梯度的難度拓展，以提升學生的數學素養水平。根據課程標準，注重數學基礎，即注重基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗。這是學生數學素養的重要組成部分，也是發展能力的基礎。本題較好地體現學業考試的性質，發揮考試評價對數學教學的導向作用。

關注數學文化，體現學科育人價值。從文化素養上，本題還融入古埃及中的埃及三角形的文化內涵，以及黃金分割的數學文化，對以后教師在教學中的拓展運用有很大的幫助。

（責編 盧建龍）