依托幾何直觀 理解意義本質(zhì)

【摘要】本文以“一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)”的教學(xué)為例，論述借助幾何直觀幫助學(xué)生理解算理和掌握算法的方法，建議教師在深刻解讀教材的基礎(chǔ)上，設(shè)置課堂前測環(huán)節(jié)，基于學(xué)生學(xué)情，在具體的教學(xué)題境中借助幾何直觀幫助學(xué)生更好理解算理、掌握算法，從而優(yōu)化教學(xué)效果。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué) 幾何直觀 意義本質(zhì)

【中圖分類號】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A

【文章編號】0450-9889（2021）13-0142-04

人教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級上冊第三單元《分?jǐn)?shù)除法》第三課時(shí)“一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)”的計(jì)算教學(xué)是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)與難點(diǎn)。如何讓學(xué)生形象理解“除以一個(gè)分?jǐn)?shù)，等于乘這個(gè)分?jǐn)?shù)的倒數(shù)”的算理呢？筆者在實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生掌握和運(yùn)用計(jì)算方法相對而言比較容易，然而在理解算理方面遇到了比較大的困難。那么，學(xué)生學(xué)習(xí)“一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)”的知識儲備和認(rèn)知起點(diǎn)是怎樣的？它的教學(xué)目標(biāo)應(yīng)該如何定位？它的計(jì)算教學(xué)到底關(guān)注點(diǎn)在哪里？筆者認(rèn)為，有必要對學(xué)生關(guān)于“一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)”的認(rèn)知水平做一次前測，以便更好地進(jìn)行教學(xué)。下面，筆者結(jié)合多教材的對比溝通，基于學(xué)生基礎(chǔ)，試圖在具體的教學(xué)題境中借助幾何直觀幫助學(xué)生更好地理解算理、掌握算法，優(yōu)化教學(xué)效果。

一、教材解讀

以生為本，關(guān)注學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知基礎(chǔ)是教學(xué)本課需要貫徹的原則。學(xué)生在學(xué)習(xí)“一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)”之前，到底有怎樣的邏輯起點(diǎn)和現(xiàn)實(shí)起點(diǎn)？這正是教師首先要考慮的問題。筆者拜讀了省數(shù)學(xué)特級教師袁曉萍、呂立峰的相關(guān)文章，發(fā)現(xiàn)針對不同的學(xué)生需要不同的學(xué)習(xí)過程，有些策略即使很好，也可能不適合本班學(xué)生，不能全部照搬。針對該教學(xué)內(nèi)容，筆者研讀了幾套不同版本的教材，發(fā)現(xiàn)編委的意圖均有所側(cè)重，各不相同。

北師大版教材將這部分內(nèi)容安排在五年級下冊第五單元，它通過平均分4個(gè)同樣大的餅的問題情境，讓學(xué)生直觀感受“一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)”的意義理解。浙教版教材同樣將此內(nèi)容安排在五年級下冊，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)乘法的基礎(chǔ)上緊接著學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)除法，教材借助一條綢帶，讓學(xué)生直觀理解同分母分?jǐn)?shù)除法的意義，同時(shí)教材突出了算法的重要性，有刻意回避“一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)”的算理之嫌。蘇教版教材以3個(gè)不同的平均分的問題情境，借助格子圖和彩帶圖，利用數(shù)形結(jié)合思想幫助學(xué)生理解“一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)”的算理。人教版教材則呈現(xiàn)了學(xué)生熟知的行程問題。

針對不同教材同一內(nèi)容的呈現(xiàn)，結(jié)合人教版教材，筆者設(shè)計(jì)了如下前測對學(xué)生的學(xué)情基礎(chǔ)進(jìn)行調(diào)查。

調(diào)查問卷（前測）

班級：? ? ? ?姓名：

親愛的同學(xué)，老師想了解你在分?jǐn)?shù)除法學(xué)習(xí)過程中的情況，請你按要求認(rèn)真回答以下問題。記住，獨(dú)立完成哦！

問題1：3÷[12]=

（1）你會算嗎？（? ）A.會? B.不會

（2）如果你會算，那么請你用自己想到的方法進(jìn)行計(jì)算。寫一寫、畫一畫，你是怎么想的？

問題2：小明[310]小時(shí)行了[910]千米，他每小時(shí)行了多少千米？

（1）你能列出算式來解決這個(gè)問題嗎？（? ）

（2）上面的算式你會計(jì)算嗎？請你用自己想到的方法進(jìn)行計(jì)算。寫一寫、畫一畫，你是怎么想的？

前測的兩個(gè)問題分別指向“整數(shù)除以分?jǐn)?shù)”和“同分母分?jǐn)?shù)除法”的教學(xué)內(nèi)容。教學(xué)前一天，筆者隨機(jī)調(diào)查了本年級兩個(gè)班共82名學(xué)生。通過調(diào)查發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)問題的計(jì)算正確率均達(dá)到了90%以上。

通過調(diào)查，筆者還發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在解決這類題目時(shí)所用的計(jì)算方法多樣，從圖形的描述中也能基本看出學(xué)生對算理的理解是比較清晰的。基于這樣的學(xué)生基礎(chǔ)，初步敲定了本節(jié)課的教學(xué)流程，并制訂了課時(shí)目標(biāo)。筆者簡單通過前測鞏固理解“整數(shù)除以分?jǐn)?shù)”和“同分母分?jǐn)?shù)除法”兩種計(jì)算題的意義，把異分母分?jǐn)?shù)除法作為本節(jié)課的重點(diǎn)進(jìn)行教學(xué)。通過環(huán)環(huán)相扣、層層推進(jìn)的流程，基于同分母分?jǐn)?shù)除法，打通異分母分?jǐn)?shù)除法，從而幫助學(xué)生更好地理解分?jǐn)?shù)除法的算理，使學(xué)習(xí)最優(yōu)化。

教學(xué)流程

基于前測3÷[12]，理解“整數(shù)除以分?jǐn)?shù)”的算法和算理

題境互譯[910]÷[310]，掌握“同分母分?jǐn)?shù)除法”的計(jì)算意義

類比遷移[95]÷[310]，鞏固“異分母分?jǐn)?shù)除法”的法理相通

歸納“一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)”的算法

二、教學(xué)實(shí)踐

基于學(xué)生的現(xiàn)實(shí)起點(diǎn)和邏輯起點(diǎn)，重組“一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)”的教學(xué)設(shè)計(jì)，以此優(yōu)化學(xué)生對此計(jì)算的意義理解，促進(jìn)算法和算理的真正溝通，達(dá)到深度學(xué)習(xí)的目的。

（一）基于前測，理解“整數(shù)除以分?jǐn)?shù)”的算法和算理

【片段一】

1.出示題目，自主探索

前測題目1：3÷[12]

師：同學(xué)們，課前我們進(jìn)行了兩道題目的練習(xí)，這是第一個(gè)題目（出示問題1），答案是幾？猜一猜咱們班的正確率是多少？（39÷41≈95.12%）

師：正確率這么高，那你們再猜一下，解決這道計(jì)算題，我們班一共有多少種做法？我們一起看看吧。

2.作品展示，互動交流

方法一：乘倒數(shù)

師：第一種方法是同學(xué)們用得最多的，請×××同學(xué)說說想法。

生：我們知道，除以一個(gè)數(shù)就等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)，所以3÷[12]=3×2=6。

師：評價(jià)一下他的方法怎么樣？

（板書方法）

方法二：商不變性質(zhì)

師：我們來看這種方法，你看懂了嗎？

出示：3÷[12]=（3×2）÷（[12]×2）=6÷1=6

生：我們把被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘2，利用以前學(xué)過的商不變性質(zhì)，這樣就變成了6÷1=6，所以3÷[12]=6。

師：大家都聽明白了嗎？這是把分?jǐn)?shù)除法轉(zhuǎn)化成? ？

生：把分?jǐn)?shù)除法轉(zhuǎn)化成整數(shù)除法來計(jì)算。

師：你評價(jià)一下他的方法怎么樣？同學(xué)們利用商不變性質(zhì)方法可以嗎？

（板書方法）

方法三：分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系

師：再來看第三種，請×××同學(xué)來說。

出示：3÷[12]=3÷（1÷2）=3÷1×2=6

生：我們以前學(xué)過分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，[12]=1÷2，所以3÷[12]=3÷（1÷2）=3÷1×2=6。

師：利用分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，我們把這樣的分?jǐn)?shù)除法轉(zhuǎn)化成整數(shù)除法來計(jì)算，確實(shí)是一種好辦法。

（板書方法）

方法四：分?jǐn)?shù)化小數(shù)

師：再來看第四種，請×××同學(xué)來說。

生：我們可以把[12]化成小數(shù)0.5，然后3÷[12]=3÷0.5=6。

師：把分?jǐn)?shù)除法轉(zhuǎn)化成小數(shù)除法來計(jì)算，很不錯(cuò)哦。

（板書方法）

方法五：畫圖形

師：再來看第五種，畫圖來解釋計(jì)算，請×××同學(xué)來說。

生：我先畫3個(gè)圓代表3，畫半個(gè)圓代表二分之一，再把3個(gè)圓都平均分成兩份，一共就有這樣的6個(gè)半圓，6個(gè)半圓剛好是1個(gè)半圓的6倍。

師：你是把分?jǐn)?shù)除法轉(zhuǎn)化成? ?？

生：我是把分?jǐn)?shù)除法轉(zhuǎn)化成畫圖來計(jì)算的。

師：利用畫圖的方法也是可行的。

（板書方法）

方法六：線段圖

師：再來看第六種，畫線段圖來解釋計(jì)算，請×××同學(xué)來說。

生1：我先畫3條線段代表3，再畫半條線段代表二分之一，把3條線段都平均分成2份，一共就有這樣的6個(gè)半條線段，所以是6倍。

師：誰聽明白了？

生2：他是把分?jǐn)?shù)除法轉(zhuǎn)化成線段圖來計(jì)算的。

師：聽明白了嗎？這里單位1是什么？為什么要平均分成2份？最后這個(gè)計(jì)算就是在求什么？

數(shù)的轉(zhuǎn)化

形的轉(zhuǎn)化

3.對比溝通，適當(dāng)概括

師：同學(xué)們，原來可以有這么多方法，你想到了嗎？我們不但可以從數(shù)的角度，也可以從圖形的角度來考慮解決這個(gè)問題，都是將新的知識轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學(xué)過的知識。看來，集體的智慧就是強(qiáng)大，給聰明的自己鼓鼓掌吧。

（二）題境互譯，掌握“同分母分?jǐn)?shù)除法”的計(jì)算意義

【片段二】

1.出示題目，進(jìn)行探索

前測題目2：小明[310]小時(shí)行了[910]千米，他每小時(shí)行了多少千米？

師：我們來看一下，這道題你當(dāng)時(shí)是怎么列式解決的？

生：[910]÷[310]。

師：是的，我們也來看一下，這道計(jì)算題，我們班的同學(xué)是怎么解決的？

2.作品展示，互動交流

（依次出示學(xué)生的計(jì)算方法，簡單交流）

方法一：[910]÷[310]=[910][×103]=3（千米/時(shí)）

方法二：[910]÷[310]=（[910]×10）÷（[310]×10）=9÷3=3（千米/時(shí)）

方法三：[910]÷[310]=0.9÷0.3=3（千米/時(shí)）

方法四：

師：有的同學(xué)用了這樣一個(gè)線段圖來解釋計(jì)算，你看懂了嗎？

生：這里的一條線段就表示1小時(shí)，把它平均分成10份，每一份就是[110]小時(shí)，這樣的3份就是[310]小時(shí)。根據(jù)題目意思，[310]小時(shí)行了[910]千米，從線段圖上我們可以很清楚地看到，1份也就是[110]小時(shí)行了[910]千米÷3，也就是[310]千米。然后1小時(shí)有這樣的10個(gè)[110]小時(shí)，也就是[310]千米×10=3千米。所以說，小明[310]小時(shí)行了[910]千米，他每小時(shí)行了3千米。

師：同學(xué)們，你們聽明白了嗎？

（教師此時(shí)再請一名學(xué)生說一遍，并根據(jù)學(xué)生說的及時(shí)形成板書）

板書：[910]÷[310]=[910]÷3×10=[910]×[13]×10=[910×103]=3（千米/時(shí)）

3.對比溝通，內(nèi)在求聯(lián)

師：同學(xué)們，我們不但用了這么多的方法來計(jì)算[910]÷[310]，更可貴的是我們還發(fā)現(xiàn)了它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，大家真的很厲害。

（三）類比遷移，鞏固“異分母分?jǐn)?shù)除法”的法理相通

【片段三】

1.出示題目，有效探索

題目：小丁[310]小時(shí)行了[95]千米，他每小時(shí)行了多少千米？

師：同學(xué)們，這個(gè)問題又該怎么解決呢？它和剛才的算式不一樣在哪里？你會計(jì)算嗎？

出示合作要求：在作業(yè)紙上畫一畫、寫一寫，做完后四人小組說一說做法。

2.操作交流，內(nèi)化算法

方法一：[95]÷[310]=[95×103]=6（千米/時(shí)）

方法二：

3.對比溝通，自然求聯(lián)

師：[95]×[13]是什么意思？你能用粉筆表示求的這一部分嗎？再乘10是什么意思？同學(xué)們請看這一步。

生：就是乘倒數(shù)。

師：是啊，所以線段圖其實(shí)就是在幫助解釋“為什么除以一個(gè)數(shù)等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)”。

板書：[95]÷[310]=[95]÷3×10=[95]×[13]×10=[95×][103]=6（千米/時(shí)）

師（小結(jié)）：同學(xué)們，乘倒數(shù)這么受大家喜歡是因?yàn)樗唵螌?shí)用，它就是分?jǐn)?shù)除法的計(jì)算方法。線段圖是對算法的一種解釋，是算法背后的算理，為我們解釋了分?jǐn)?shù)除法的原理。

三、課后思考

本節(jié)課的教學(xué)，充分借助幾何直觀，降低思維難度，讓學(xué)生在形象感知的基礎(chǔ)上理解“一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)”的抽象意義，進(jìn)一步掌握算法、理法通融。

（一）依托幾何直觀，意義理解應(yīng)景而生

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）（以下簡稱“課標(biāo)”）指出：幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題，借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果。課標(biāo)通過闡述幾何直觀的本質(zhì)，非常清楚地揭示了幾何直觀的重要性和必要性。幾何直觀是數(shù)學(xué)計(jì)算教學(xué)中必不可少的有效工具。

通過本節(jié)課的前測，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生基本掌握了“整數(shù)除以分?jǐn)?shù)”和“同分母分?jǐn)?shù)除法”類的計(jì)算題的算法。學(xué)生想到了用6種方法解決3÷[12]和[910]÷[310]。基于這樣的學(xué)生基礎(chǔ)，筆者在課始就出示學(xué)生的學(xué)前情況，通過題境“小明[310]小時(shí)行了[910]千米，他每小時(shí)行了多少千米”讓學(xué)生充分理解[910]÷[310]=[910]÷3×10=[910]×[13]×10=[910]×[103]=3的計(jì)算過程，然后在此基礎(chǔ)上通過“小丁[310]小時(shí)行了[95]千米，他每小時(shí)行了多少千米”這個(gè)題境慢慢推進(jìn)“異分母分?jǐn)?shù)除法”的意義理解，層次清楚，有效突破了“除以一個(gè)數(shù)等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)”的教學(xué)難點(diǎn)，從而促進(jìn)學(xué)生對知識的深度學(xué)習(xí)。

（二）依托幾何直觀，知識體系自然求聯(lián)

從教材體系中，我們不難發(fā)現(xiàn)，整數(shù)除以分?jǐn)?shù)會用到分?jǐn)?shù)除以整數(shù)算法的經(jīng)驗(yàn)，如教學(xué)3÷[12]時(shí)，學(xué)生想到的種種方法都是可以用包含除的意義去解決的，即3÷[12]就是表示3里面有幾個(gè)[12]。以此類推，同分母分?jǐn)?shù)除法、異分母分?jǐn)?shù)除法如果用這個(gè)方法去解決，表面上看似沒有問題，實(shí)質(zhì)上卻和題目的意義（速度時(shí)間路程）有了矛盾。

那么，究竟應(yīng)該怎樣緩解這對矛盾，溝通新舊知識的聯(lián)系，在新舊知識的連接點(diǎn)上發(fā)展新知，打通知識關(guān)聯(lián)的體系？本節(jié)課在探索“一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)”的計(jì)算方法中，教師充分借助線段圖，幫助學(xué)生進(jìn)行自主探索，學(xué)生在具體可見的線段圖中對“除以一個(gè)數(shù)等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)”的計(jì)算法則有了直觀的理解。通過不斷地表達(dá)、質(zhì)疑，讓學(xué)生在充分理解“除以一個(gè)數(shù)等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)”的算理的基礎(chǔ)上，掌握法則，驅(qū)動學(xué)生從“算法”走向“算理”，進(jìn)而打通了三類分?jǐn)?shù)除法計(jì)算題之間的內(nèi)在聯(lián)系。

（三）依托幾何直觀，數(shù)形之間有機(jī)結(jié)合

數(shù)形結(jié)合思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法。著名數(shù)學(xué)家華羅庚非常重視“數(shù)形結(jié)合”，他認(rèn)為：數(shù)無形是少直覺，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休。借助直觀形象模型理解抽象的數(shù)學(xué)概念，體會數(shù)學(xué)計(jì)算的意義，顯然是小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方法。

在本節(jié)課[95]÷[310]的教學(xué)中，筆者借助線段圖，讓學(xué)生在自主探索中發(fā)現(xiàn)，這里的一條線段就表示1小時(shí)，把它平均分成10份，每一份就是[110]小時(shí)，這樣的3份就是[310]小時(shí)。根據(jù)題目意思，[310]小時(shí)行了[95]千米，從線段圖上可以很清楚地看到，1份也就是[110]小時(shí)行了[95]千米÷3，也就是[35]千米。然后1小時(shí)有這樣的10個(gè)[110]小時(shí)，也就是[35]千米×10=6千米。所以說，小明[310]小時(shí)行了[95]千米，他每小時(shí)行了6千米。借助線段圖來理解算法，讓學(xué)生知其然，更知其所以然，讓學(xué)生的思維在整個(gè)幾何直觀的理解中走向深度，從而促進(jìn)學(xué)生對分?jǐn)?shù)除法意義的深入理解，同時(shí)鞏固算法。

【參考文獻(xiàn)】

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[2]呂立峰，郭春.讀懂學(xué)生，讀透教材，讓學(xué)生真實(shí)發(fā)生——“分?jǐn)?shù)除法”單元整合課的研究歷程[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2020（1-2）.

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[4]劉穎.幾何直觀在小學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算教學(xué)中的應(yīng)用策略[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2020（5）.

[5]顧曉東.數(shù)形結(jié)合思想的內(nèi)涵意蘊(yùn)及培養(yǎng)策略[J].教學(xué)月刊，2020（6）.

【作者簡介】袁春胭，浙江省杭州市濱江實(shí)驗(yàn)小學(xué)數(shù)學(xué)教師，大學(xué)本科學(xué)歷，一級教師，杭州市教壇新秀、區(qū)優(yōu)秀人民教師、區(qū)名師名校長培養(yǎng)對象，主要從事教師隊(duì)伍建設(shè)、學(xué)科教學(xué)與教育研究。

（責(zé)編 楊 春）