高中數(shù)學(xué)教材“推廣型”內(nèi)容的教學(xué)策略

曾榮

數(shù)學(xué)推廣是指在一定范圍內(nèi)或一定層次上對(duì)數(shù)學(xué)概念、定理、法則進(jìn)行拓展，使之在更大范圍或更高層次上成立，它是數(shù)學(xué)研究不可或缺的基本方法[1]。在高中數(shù)學(xué)教材中，設(shè)置了大量的“推廣型”教學(xué)內(nèi)容，如：將0°～360°角推廣到任意角，將銳角三角函數(shù)推廣到任意角的三角函數(shù)，將勾股定理推廣到余弦定理，將平面幾何中的向量方法推廣到立體幾何中的向量方法，等等。教師如能結(jié)合這些內(nèi)容的教學(xué)，讓學(xué)生經(jīng)歷推廣的過(guò)程，體驗(yàn)數(shù)學(xué)在結(jié)構(gòu)上的和諧性，并嘗試通過(guò)類比、歸納、化歸等思想方法解決在推廣過(guò)程中遇到的困難和問(wèn)題，必然對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維具有重要意義。

一、“推廣型”內(nèi)容教學(xué)時(shí)需解決的問(wèn)題

1.推廣的必要性

解決推廣的必要性問(wèn)題，即要解決“為什么需要推廣？”這一問(wèn)題。教學(xué)中應(yīng)從學(xué)生已有的認(rèn)知水平出發(fā)，結(jié)合數(shù)學(xué)發(fā)展的現(xiàn)實(shí)基礎(chǔ)和邏輯基礎(chǔ)，讓學(xué)生深刻領(lǐng)悟到進(jìn)行推廣的必要。例如，在引入大于360°的角和負(fù)角時(shí)，可以舉些學(xué)生熟悉的生活中大于360°的角和負(fù)角，如體操中的轉(zhuǎn)體、跳水中的翻騰、鐘表中的指針、自行車(chē)的輪子、螺絲扳手與曲柄連桿等按不同方向旋轉(zhuǎn)時(shí)所成的角，用以說(shuō)明建立新概念的必要性和實(shí)際意義，這也有利于體驗(yàn)數(shù)學(xué)的人文價(jià)值，開(kāi)闊學(xué)生的視野。

2.推廣的方法性

解決推廣的方法性問(wèn)題，即要解決“如何進(jìn)行推廣？”這一問(wèn)題。從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、研究過(guò)程來(lái)看，經(jīng)常使用如下的邏輯思考方法：

其中突出顯示了聯(lián)系的觀點(diǎn)，通過(guò)類比、推廣、特殊化、化歸等思想方法，可以極大地促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，使他們更有效地尋找出自己感興趣的問(wèn)題，從中獲得研究方法的啟示。例如，關(guān)于平面幾何中的向量方法，我們可以有如下的“聯(lián)系圖”：

3.推廣的應(yīng)用性

解決推廣的應(yīng)用性問(wèn)題，即要解決“推廣后有什么用？”這一問(wèn)題。在聯(lián)系舊知推廣得到新知的基礎(chǔ)上，要重視新知的應(yīng)用，讓推廣的價(jià)值得到充分的展示。這種價(jià)值，不僅體現(xiàn)在新知對(duì)舊知的覆蓋，更要讓學(xué)生感受到一個(gè)數(shù)學(xué)概念的推廣可能帶來(lái)很多更好的性質(zhì)。例如，將勾股定理推廣到余弦定理以后，可以講解這樣的問(wèn)題：用余弦定理證明：在△ABC中，當(dāng)∠C為銳角時(shí)，a2+b2>c2;當(dāng)∠C為鈍角時(shí)，a2+b2

二、“推廣型”內(nèi)容的教學(xué)基本策略

1.創(chuàng)設(shè)具有認(rèn)知沖突的問(wèn)題情境，揭示推廣的必要性

認(rèn)知心理學(xué)家認(rèn)為：當(dāng)學(xué)習(xí)者發(fā)現(xiàn)不能用頭腦中已有的知識(shí)來(lái)解釋一個(gè)新問(wèn)題，或發(fā)現(xiàn)新知識(shí)與頭腦中已有的知識(shí)相悖時(shí)，就會(huì)產(chǎn)生“認(rèn)知失衡”。這種認(rèn)知沖突會(huì)讓學(xué)生產(chǎn)生新奇和驚愕，從而引起學(xué)生的注意、關(guān)心和探究。認(rèn)知沖突是教學(xué)和學(xué)習(xí)的最佳契機(jī)。在進(jìn)行“推廣型”教學(xué)內(nèi)容的教學(xué)時(shí)，創(chuàng)設(shè)具有認(rèn)知沖突的問(wèn)題情境，將有利于推廣必要性的揭示。

（1）情境生活化，使推廣成為需要。解決現(xiàn)實(shí)生活和生產(chǎn)實(shí)際問(wèn)題的需要，常常是進(jìn)行數(shù)學(xué)推廣最直接、最有力的推手。為此我們可以結(jié)合具體的實(shí)例創(chuàng)設(shè)情境，使新知自然生成。例如，我們將0°～360°角推廣到任意角時(shí)，可創(chuàng)設(shè)如下問(wèn)題情境。

案例1 ?角的概念的推廣的問(wèn)題情境

問(wèn)題1 在初中我們是怎樣定義角的？（從如下的靜態(tài)和動(dòng)態(tài)兩個(gè)角度定義。）

問(wèn)題2 ?平面內(nèi)一條射線繞其端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周后回到原來(lái)的位置，所形成的角是什么角？如果繼續(xù)旋轉(zhuǎn)下去，所形成的圖形還是不是角？為什么？

問(wèn)題3 ?生活中存在剛才問(wèn)題中所出現(xiàn)的角嗎？你能試著舉出一些實(shí)例嗎？我們又如何去理解它們呢？

通過(guò)回顧舊知，聯(lián)系生活實(shí)際，引發(fā)認(rèn)知沖突，角的推廣也就成了必然需求。

（2）關(guān)系普遍化，使推廣成為必要。推廣常用的方式是將變量之間、對(duì)象之間的特殊關(guān)系改為一般關(guān)系而獲得具有普遍意義的命題及公式，或是將具體對(duì)象改為一般對(duì)象從而使命題得到推廣[2]。教學(xué)時(shí)，一般先復(fù)習(xí)包容性小、抽象概括程度低的概念，并在此基礎(chǔ)上創(chuàng)設(shè)具有認(rèn)知沖突的問(wèn)題情境。例如，將銳角三角函數(shù)推廣到任意角的三角函數(shù)的學(xué)習(xí)，從認(rèn)知結(jié)構(gòu)發(fā)展的角度來(lái)說(shuō)，是屬于“下、上位關(guān)系學(xué)習(xí)”，“先行組織者”是銳角三角函數(shù)的概念[3]。教學(xué)時(shí)，可創(chuàng)設(shè)如下問(wèn)題情境。

案例2 ?任意角的三角函數(shù)的問(wèn)題情境

問(wèn)題1 ?你能回憶一下銳角三角函數(shù)的定義嗎？

問(wèn)題2 ?你能用直角坐標(biāo)系中角的終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)表示銳角三角函數(shù)嗎？如果按這種方式用坐標(biāo)表示的三角函數(shù)值，在銳角取值范圍內(nèi)和之前的定義吻合嗎？

問(wèn)題3 ?改變終邊上的點(diǎn)的位置，這三個(gè)比值會(huì)改變嗎？為什么？（在定義任意角的三角函數(shù)之前，必須讓學(xué)生感知、確認(rèn)、理解這三個(gè)比值都只與角的大小有關(guān)，而與點(diǎn)在終邊上的位置無(wú)關(guān)，因此它們都是以角為自變量的函數(shù)，從而給出任意角的三角函數(shù)的定義。）

問(wèn)題4 ?角的范圍已經(jīng)推廣到了任意角，那么，仿照以上銳角三角函數(shù)的新的定義方式，你認(rèn)為如何定義任意角三角函數(shù)比較合理？

通過(guò)以上問(wèn)題串，由特殊到一般，思維流暢，層層深入，新概念的得出水到渠成。

2.遷移已有的思想方法，凸顯推廣的方法性

新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)“四基”，即學(xué)生通過(guò)學(xué)習(xí)，獲得必需的基本知識(shí)、基本技能、基本思想方法、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。基本思想方法、活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的獲得，不僅來(lái)源于自己平時(shí)對(duì)知識(shí)的感悟，更多的來(lái)源于平時(shí)教師對(duì)思想方法的提煉、滲透。學(xué)會(huì)推廣實(shí)際上就是學(xué)會(huì)方法。教師在進(jìn)行“推廣型”教學(xué)內(nèi)容的教學(xué)時(shí)，應(yīng)注意遷移已有的思想方法，如類比探究、化歸論證等，讓學(xué)生在推廣的過(guò)程中感悟方法、掌握方法。

（1）類比探究。類比法通過(guò)比較兩個(gè)對(duì)象的部分相同或相似，推出其他方面也可能相同或相似。類比是進(jìn)行數(shù)學(xué)再發(fā)現(xiàn)的有效方式。在進(jìn)行角的概念推廣的教學(xué)時(shí)，為了引出正角、負(fù)角和零角的概念，我們可設(shè)置如下類比式問(wèn)題串。

案例3 ?類比正數(shù)、負(fù)數(shù)、零的概念，得出正角、負(fù)角、零角的概念

問(wèn)題1 ?如何用數(shù)學(xué)的方法將按順指針、逆時(shí)針兩種不同的方向旋轉(zhuǎn)的角加以區(qū)分？你以前有過(guò)類似的經(jīng)驗(yàn)嗎？

問(wèn)題2 ?我們知道，正負(fù)數(shù)和0可借助數(shù)軸有效地進(jìn)行區(qū)分。那么，為了區(qū)分按順指針、逆時(shí)針兩種不同的方向旋轉(zhuǎn)的角，你認(rèn)為可以利用什么載體進(jìn)行區(qū)分呢？如何給它們下一個(gè)合理的定義呢？

通過(guò)以上問(wèn)題，利用類比的方法，由正數(shù)、負(fù)數(shù)、零的概念自然引出正角、負(fù)角、零角的概念，同時(shí)也讓學(xué)生體驗(yàn)從低維問(wèn)題向高維問(wèn)題發(fā)展的一般方法。

（2）化歸論證。一般化是數(shù)學(xué)推廣的基本方式。數(shù)學(xué)家G·波利亞指出：”一般化是從對(duì)象的一個(gè)給定集合進(jìn)而考慮到包含這個(gè)集合的更大集合。”由下位公式向上位公式推廣時(shí)常伴隨著猜想，而要對(duì)這種猜想進(jìn)行論證，則常需將上位公式化歸至下位公式。例如，我們?cè)趯⒐垂啥ɡ硗茝V到余弦定理時(shí)，可按如下方式進(jìn)行。

案例4 ?借助化歸的思想論證余弦定理

問(wèn)題1 ?前面學(xué)過(guò)的正弦定理的表達(dá)式是怎樣的？它具有怎樣的功能？

問(wèn)題2 ?在我們所學(xué)知識(shí)中，有沒(méi)有涉及已知三角形的兩邊及夾角，求第三邊的情形呢？能否舉一個(gè)具體的例子？

問(wèn)題3在△ABC中，已知邊a，b，∠C≠90°，是否還能用勾股定理求邊c？（很自然的想法是構(gòu)造直角三角形，以便用勾股定理進(jìn)行計(jì)算。輔助線如下圖，過(guò)程略。）

3.運(yùn)用推廣的結(jié)論方法，強(qiáng)化推廣的應(yīng)用性

舊知推廣為新知以后，內(nèi)涵發(fā)生了改變，伴隨產(chǎn)生了一些新的性質(zhì)。為了讓學(xué)生鞏固新知，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的實(shí)用價(jià)值，我們應(yīng)在推廣之后，在概念的辨析、性質(zhì)的應(yīng)用等方面及時(shí)加以應(yīng)用。

（1）概念辨析，厘清疑點(diǎn)。數(shù)學(xué)概念在得到推廣以后，其內(nèi)涵發(fā)生了改變，容易與原有的概念產(chǎn)生混淆。為了幫助學(xué)生區(qū)分新舊概念的區(qū)別，加深理解，我們可以通過(guò)概念辨析題的方式進(jìn)行新知的應(yīng)用。如，將角推廣到任意角以后，伴隨著產(chǎn)生了象限角、軸線角等概念。這些概念與原有的銳角等概念容易混淆，為此我們可通過(guò)如下判斷題進(jìn)行辨析。

案例5 ?角的概念推廣后設(shè)置的概念辨析題

判斷下列說(shuō)法是否正確：

①銳角是第一象限角。（對(duì)）

②第一象限的角都是銳角。（錯(cuò)）

③小于90°的角都是銳角。（錯(cuò)）

④第二象限的角一定比第一象限的角大。（錯(cuò)）

⑤終邊相同的角一定相等。（錯(cuò)）

⑥終邊相同的角有無(wú)數(shù)多個(gè)，它們相差360°的整數(shù)倍。（對(duì)）

（2）前后呼應(yīng)，變式應(yīng)用。在問(wèn)題情境的創(chuàng)設(shè)過(guò)程中，常借助認(rèn)知沖突，設(shè)置懸念，引發(fā)推廣。在推廣以后，要及時(shí)解決原先的疑問(wèn)，并適當(dāng)深入，變式提升。例如，前面為了將勾股定理推廣到余弦定理，設(shè)計(jì)了這樣的問(wèn)題：已知三角形的兩邊及夾角，如何求第三邊呢？那么，我們可結(jié)合此問(wèn)題的解決，設(shè)計(jì)例題及變式。

案例6 ?將勾股定理推廣到余弦定理后設(shè)置的例題及變式

①在△ABC中，已知邊b=3，c=1，∠A=60°，求邊a。

②在△ABC中，已知邊a=4，b=5，c=6，求∠A。

變式1在△ABC中，已知邊a=4，b=5，c=6，判定在△ABC的形狀。

變式2在△ABC中，已知邊a∶b∶c=3∶4∶5，判定在△ABC的形狀。

知識(shí)、能力與學(xué)習(xí)品質(zhì)的提升是學(xué)生發(fā)展的基本目標(biāo)。通過(guò)“推廣型”教學(xué)內(nèi)容的教學(xué)，讓學(xué)生充分認(rèn)識(shí)推廣的必要性、方法行、應(yīng)用性，在推廣中進(jìn)行再發(fā)現(xiàn)，學(xué)會(huì)探究，對(duì)學(xué)生良好數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升具有較大的幫助。

參考文獻(xiàn)

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[3] 陶維林.任意角的三角函數(shù)的設(shè)計(jì)與反思[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育，2009（4）.【責(zé)任編輯 ?郭振玲】